代数结构思想及其方法论意义，本文主要内容关键词为：方法论论文,代数论文,意义论文,思想论文,结构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
20世纪数学的两大特征是：强调结构和对基本结构和模式的分析[1]。而这两个特征均与代数结构思想的形成与发展密不可分。所谓代数结构，就是对任意一个集合附以的一个或多个合法法则（运算）。集合与法则的任意性使研究对象更加广泛与抽象，对结构与模式的分析，形成一系列统一、完整的数学语言，使数学研究变得更加经济、有效。代数结构思想起源于方程理论的研究，由于其概念与方法的新颖、独到，直接对整个数学的发展产生深远影响，至20世纪形成数学结构的思想，导致对数学认识的深刻变化。
2 代数结构思想的形成
解析几何与微积分的创立，使整个18世纪几乎都是分析学的时代，尽管从某种意义上说，解析几何和微积分都可看成是代数学发展的重要成果，前者成功地将代数方法揉合于几何问题的处理之中，后者则可作为代数的直接扩充[2]。但在这一个多世纪内，作为经典代数学主体的代数方程论的发展却步履缓慢，没有任何重大进展，分析学的巨大成就呼唤着代数学必须产生新的观念、新的方法与新的理论。代数学经过高次方程求根公式的探索，不可求解观念的确立，最终形成了代数结构的思想，而完成这一重大使命的是两个20多岁的年轻人，阿贝尔（Abel，1802-1829，挪威）和伽罗瓦（Galois，1811-1832，法国）。|2.1 方程求根公式的探索
方程求解在相当长的历史时期内被认为是代数研究的中心问题，公元前2000-1800年就出现了方程求解，古希腊及印度、阿拉伯、中国都早已有二次方程的解法。而三次、四次方程的求解，由于费奥尔（Fior，1465-1526，意大利）和塔尔塔里亚（Tartaglia，1499-1557，意大利）赋有传奇色彩的竞赛，而成为16世纪最壮观的数学成就。
由于一般四次方程的解法依赖于解一个相关的三次方程，这促使人们思考，能否继往开来，将一般高次方程的求解归结为低一次方程的求解。对此欧拉（Euler，1707-1783，瑞士）、拉格朗日（Lagrange，1736-1813，法国）、高斯（Gauss，1777-1855，德国）等都曾作过尝试，结果都失败了。甚至有人突发奇想，希望通过变换把高次方程化为只含x的一个乘幂与一个常数的二项方程求解，如英国的格雷戈里（Gr-egory,1638-1675）和德国的契尔恩豪森(Tschirnhausen,1651-1708)，结果发现这个变换本身还得依赖于解某些辅助方程，对于五次方程需要先解一个还不知如何解的六次方程，契氏的奇想也因此破灭。|2.2 不可求解观念的确立
众多的失败使数学家们认识到，四次以上方程并非像传统解方程问题那么简单，拉格朗日、范德蒙（Vandermonde，1735-1796，法国）都已明显感到问题的复杂性。他们指出，原有的解法对四次以上方程不可能有效，并预言“用根号解四次以上方程是不可能解决的问题之一”。数学家徒劳了三个世纪的问题，被拉格朗日称为是“向人类智慧挑战”的难题。
鲁菲尼（Ruffini，1765-1822，意大利）在拉格朗日的影响下，于1799-1813年间致力于证明四次以上高次代数方程不可根式求解，终未成功，但他获得了一个极为重要的结论：如果一个方程能用根式解出，那么根的表达式中的根式一定是已知方程的根和单位根的有理函数。然而，他未能给出证明，这个结论后来被年轻的数学家阿贝尔所证实。原来，令众多杰出数学家为之奋斗了三个世纪的数学难题之所以不能获解，是因为它根本就无解。
在确立一般高次方程不可根式解观念的过程中，最值得一提的是，拉格朗日在分析三、四次方程解法时所考虑的“拉格朗日预解式”：
a+εb+ε[2]c+…+ε[n-1]l|其中a，b，c，…，l是方程的根，ε是l的任一n次方根。他明确指出这些式子与用根式解方程有密切关系，甚至感到“方程根的排列理论比方程用根式解的理论更有意义，是整个问题的哲学”[3]。这实际上已开始孕育结构思想，事实证明他的预感是正确的。|2.3 代数结构思想的产生
尽管阿贝尔在某种意义上已完全解决了根式解问题，但并没有排除特殊高次方程的根式可解性，阿贝尔和高斯都给出过这样的方程。如此，确定哪些方程可用根式求解，或许比阿贝尔不可解定理更有实际意义，即寻找方程能用根式求解的充要条件。至此，问题已十分清楚，方程问题，不再是一个简单的求解问题。方程问题，首先是一个有解判别问题，而要在不解方程的前提下，直接从给定的原方程判断根的存在与否，必须先解决根的结构，即根对方程系数的依赖关系。这个问题由另一位年轻的天才数学家、法国的伽罗瓦彻底解决。
遗憾的是，这两位数学家都英年身瘁，过早离开人世，他们的功绩都是在他们死后许多年才得以公认。
伽罗瓦临终前，曾多次向法国科学院提交关于方程可根式解的研究报告，用现代数学中代数结构的思想阐述了方程论中带普遍意义的问题。由于其思想已远远超越了同时代人，结果被认为是难以理解而退回。韦尔（Weyl，1885-1955，德国），20世纪最伟大的数学家之一，在谈到这篇遗作时说过：就这篇著作所包含的独特而又深刻的见解而言，它也许是人类文献中内容最为丰富的一篇作品[4]。伽罗瓦自己对此也充满信心，他在留给好友的遗言中就这样说：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi，1804-1851，德国）或高斯，不是对这些定理的真实性，而是对它们的重要性表示意见。在这以后，我希望有一些人将会发现把这堆东西注释出来对他们是有益的”[5]。他还明确指出：他的工作不打算成为解方程的一个实际方法。
伽罗瓦的代数结构思想是在拉格朗日、高斯、柯西（Cauchy，1789-1857，法国）、阿贝尔等人的工作启发之下产生的，他引入了置换群、子群、正规子群等全新的概念，发现了代数方程可用根式解的基本原理——伽罗瓦基本定理，不仅彻底解决了方程根式解问题，同时，为现代数学研究创立了一种全新的思想——代数结构思想。
3 代数结构思想的方法论意义
阿贝尔在他的工作中引入了两个新的概念，域和不可约多项式，同时，开创了“不可能性”证明的新的数学思想。伽罗瓦则通过引入一系列抽象代数的基本概念，及处理问题的方法，使数学家逐步醒悟到代数结构思想的重要作用，他们的工作具有划时代的意义。
代数学从阿贝尔、伽罗瓦时代起，其主要任务不再是以解方程为中心，而成为一门研究各种代数系统的科学。
下面从数学抽象的层次观念、数学问题的否定解法、数学对象的整体处理及数学概念的广泛应用四个方面，论述代数结构思想的方法论意义及对数学发展的深刻影响。|3.1 数学抽象的层次观念
代数结构思想的产生，使人们发现，代数能够处理的不一定是以实数或复数为对象所组成的集合，也不一定要处理现实中存在的各种运算关系，可以任意地定义运算，满足一定运算和运算规则的任何对象都可作为代数的研究对象。这样，代数研究的不再是离现实较近的、具体的数量关系，也研究某些离现实越来越远、越来越抽象的可能的量的关系，即现代数学的研究对象已扩展到了一切可能的结构[6]。
阿贝尔、伽罗瓦的代数结构，仅是把数集作为一个基本的对象，逐步发现，这样的限制是多余的，对任意的集合都可规定相应的结构，在同一个集合上还可规定不同的结构。数学本来就很抽象，经过这样处理，抽象的对象又可再作抽象成为新的研究对象，同样还可作多次抽象来获得新的代数结构。现代数学的许多新的分支就是这样发展起来的。
哈密尔顿（Hamilton，1805-1865，英国）的四元数，经他的神奇处理，成为人们无法拒绝的新“数”，堂而皇之地登上了数学的殿堂。四元数作为原有数集的新的扩张，不再保留原有数集的全部性质（如不再有交换律），而构成一种全新的代数结构——非交换代数。
范畴与函子，是现代数学的一种专门语言，它把抽象的集合、群、环、空间等结构作为对象集，而这种带有一定结构的对象的“集合”间的关系则通过函子加以联结，它相当于集合间的映射，群、环间的同态、同构，从而使范畴与函子变为更加抽象、更加形式化的代数结构。
代数结构思想不仅对代数自身的发展产生深刻影响，也对整个数学的发展产生影响。19世纪数学的各个分支已经得到了充分的发展，同时也不可避免地出现了一些毛病（如悖论），希尔伯特（Hilbert，1862-1943，德国）为了修正这些毛病，保全大量的数学成果，提出了著名的“希尔伯特纲领”，试图以数学本身作为对象，给数学研究勾画出一个基本结构，从而开创了元数学这一新的数学分支。希尔伯特的“纲领”最终由于哥德尔（Godel，1906-1978，奥地利）“不完全性定理”的发现而化为泡影，但哥德尔的成就同时也使元数学理论成为一门重要的科学。本世纪30年代起，法国布尔巴基学派则试图用数学结构的观点构建整个数学，把数学统一在序结构、代数结构和拓扑结构这样三个基本结构之上。这些都是更高层次的抽象。
结构思想的出现，促进了数学的快速发展，从而也导致了数学抽象层次观念的产生，为此，徐利治先生专门撰写了《数学抽象方法与抽象度分析》。|3.2 数学问题的否定解法
一个数学命题或者为真，或者为假，二者必居其一。通常，要说明一个命题为真，必须经过严格论证，否则可举出反例说明其不成立。要证明一个命题必定成立有时很困难，但要说明一个命题一定不成立，有时可能更困难，因为反例的构造无章可循。经典数学中常用归谬法证明某些不可能性，如欧几里得著作中就用此法证过√2为无理数、素数无限等命题。
阿贝尔通过引入抽象代数的概念，证得了一般高次方程无根式解，开辟了“不可能性”证明的新思路。伽罗瓦则进一步把这种方法明晰化，形成一种可操作的程式。考察伽罗瓦证明方程问题的思想，可以发现他在处理代数方程根的问题遇到阻碍时，就将它与系数域对应起来构作相应的置换群，把方程有无根式解问题转化为对群的结构的分析，方程有无根式解各对应怎样的群结构。这样，就把某个不可能性命题的证明，转变为对相应对象的性质分析，在某种意义下，这要比纯粹去构造反例容易把握。
伽罗瓦的这种思想在解决尺规作图问题中更加明确地得到了体现。对于某个作图问题，只要将它归结到代数方程，接着考察相应的不可约因子，看此方程能否用平方根解出，这一事实可由伽罗瓦理论表明：一方程能用平方根求解的充要条件是方程的伽罗瓦群的阶是2的方幂。由这个判别法可以证明：素数p边的正多边形能用尺规作出的充要条件是p具有2[2[n]]+1的形式。由此可知，n=0，1，2，3，4，即p=3，5，17，257，65537时，正p边形可尺规作图，n大于4时，p不一定为素数。对于p=7，11，13，…等素数则不能尺规作正多边形。高斯曾获得过这一可尺规作图的结论。
用同样方法可以证明三等分任意角和倍立方体这两个著名的尺规作图问题都是不可解的。
这些例子表明，伽罗瓦处理问题的方法，不是仅局限于问题本身成立与否，而是将问题置于一个适当的环境中，从它与周边对象的关系中来揭示问题自身的特性。就像孤立的一个人，其个性无所谓优劣，只有当他（或她）同周围人进行交流、发生关系时，才显露其优劣，能与周围环境相容的，通常认为是“好”的，否则，就是“不好”的。伽罗瓦处理“不可能性”问题的方法，已明显包含“整体性”思想，这种思想逐步成了20世纪数学研究的重要特色。|3.3 数学对象的整体处理
阿贝尔和伽罗瓦引入的域与群的概念，都是常见的代数结构，而且群是最基本的结构，域可以由它生成。他们的成果开创了用结构思想处理问题的新方法，成为现代数学研究常用的方法。例如，在拓扑空间中，可将一个n维流形通过同胚映射将它映射成一个局部欧氏空间，欧氏空间属于比较容易处理的一种结构。
代数结构思想不是在伽罗瓦以后马上被认识的，仅到19世纪末，数学家们才认识到，对许多不相联系的对象抽出它们的共同内容来进行综合研究，可以提高效率到一个新的水平。在此之前，数学家已经发现，数学许多分支的发展都与群有密切联系，如李群，把群与几何联系在一起研究；庞加莱（poincar'é，1854-1912，法国）和克莱因（F.klein，1849-1925，德国）利用群论，开创了自守函数论，解决了函数论中的单值化问题等；还有著名的《爱尔兰根纲领》，这是F·克莱因自认为最得意的成果，也是应用群论思想于数学其他分支的一个杰出作品。
19世纪中叶前后，新的几何学不断涌现，非欧几何、射影几何、黎曼几何等相继诞生，群的一般概念也得到了充分发展。克莱因在研究了各种几何学及变换群等问题后，觉得可以用变换群的观点对几何作统一的研究，并具体阐明了每一种几何都可由变换群来刻划，一种几何所要研究的不外乎是在这个变换下的不变量。在此观点下，非欧几何就是关于测量群不变量的科学；射影几何就是关于射影群不变量的科学。克莱因以此为内容，在爱尔兰根大学作了题为“近代几何研究成果的比较分析”的就职演说，并以《爱尔兰根纲领》著称于世。
这种从整体上对研究对象进行处理的方法，是现代数学的一大特点。正如崇尚结构主义的法国布尔巴基学派的主要成员迪多内(Dieudonn'é,1906-?)所说，对研究对象“深刻的理解往往是将这些对象放在比较广阔的范围内时产生的”。[7]现代公理化方法实际上也是由代数结构思想发展而来的。
尽管从整体上处理问题不是数学的唯一方法，代数结构思想也不是仅有的数学思想，但用结构思想处理问题的有效性却是无可非议的。一个结构可以将相关的对象紧紧地拴在一起，对象的性质可以从它在结构内的地位、作用加以刻划；通过对结构自身的考察，如完整性、简洁性、和谐性、同构性等，还可以发现新的问题与结论。著名的费马大定理，正是发现了它在某些结构中的地位（如与椭圆曲线的联系）后，才被最后攻克，成为本世纪纯粹数学最伟大的成就之一。考察20世纪数学的发展可以发现，数学结构思想就像一条红线贯穿于整个世纪。|3.4 数学概念的广泛应用
群的产生与发展，与非欧几何一样，其动力不是来自现实世界，而是数学自身发展的需要，它不是对真实事物的直接抽象，而是适应数学发展需要，对数学概念的再抽象。这种抽象，往往使概念远离现实世界，从而变得神秘而难以接受。群的概念与方法，实际上也是代数结构的思想，经过了很长时间才被接受，但真正显示其重要性的，还是当它在整个数学乃至自然科学中得到广泛应用的时候。
结构思想的产生，首先打破了经典数学思维的局限性，不再限于现实的、直观的研究对象，这大大提高了数学研究的自由度。伽罗瓦给出的不过是具体的数的置换群，英国数学家凯利(Cayley,1821-1895)却发现，任意集合给定适当规则后都能成为群，即抽象的群。从此，数学研究进入了“自由”创造的时代，各种各样的群、环、域、模、空间、代数以及它们的衍生品，如拟群、半群、李群、李代数、拓扑空间等数学结构，如雨后春笋，层出不穷，形成代数研究的独特风景线。
其次，代数结构的思想不仅开辟了代数研究的新纪元，也改变了整个数学研究的面貌，由代数结构衍生出许多其他的数学结构，结构的思想已渗透到数学的各个分支，以至于现代数学某些分支间的界限变得非常模糊。如李群，代数中最重要的一个对象，它不仅有丰富的代数结构与拓扑结构，而且还有微分流形与测度结构，同数学的许多分支密切相关，在物理中也有重要应用。现代数学的许多分支，就是这样通过渗入各种结构而“成为一种富有诱惑力的鸡尾酒。”
此外，数学家创造的、越来越抽象、越来越远离现实的各种数学结构，不仅没有全部脱离实际，相反在各门自然科学中有着不可思议的应用，也正是这些应用使抽象的数学概念有了蓬勃发展的原动力。群的概念首先被用于晶体研究，法国物理学家、矿物学家布拉维(A.Bravais,1811-1863)和俄国结晶学家、几何学家费德洛夫(E.S.Féderov,1853-1919)分别确定了自然中晶体结构的种类及规则的空间点子的分类。这些应用对群论的发展起了很大作用，群概念无论在理论上还是实践中都成了极为重要的思想与方法，庞加莱干脆热情地宣称，群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学[8]。
结构思想在物理学中的应用最为显见。哈密尔顿的四元数问世后，就被他的学生、英国物理学家麦克斯韦(Maxwell,1837-1879)巧妙地用来建立了著称于世的电磁场理论。如果说本世纪20年代还有人试图将“群害”从量子物理中驱逐出去的话，那么今天，群在物理学中的威力已成了无可争议的事实，利用群概念发现了许多基本粒子，其中“最激动人心的是关于核物理与基本粒子物理的内对称群”。[9]而且，现代理论物理中应用的已远不止群这样简单的代数结构，李群、微分几何、Kac-Moody代数、非线性数学等数学结构广见于各种物理学论文。诺贝尔奖获得者杨振宁在创立规范场理论后，建立了规范场理论与纤维丛理论的对应关系[10]。物理学与数学如此高度的吻合令数学家惊奇，规范场的杨—米尔斯方程及量子统计力学中的杨—巴克斯特方程作为基本的数学结构，很快就进入数学研究的主流，数学家已不再是数学结构的唯一创造者。
代数结构思想的广泛应用，使20世纪的数学研究呈现丰富多彩的繁荣景象，也使数学与其他各门科学的关系更加密切。如果说数学是为其他各门科学制造工具的，那么，抽象代数就是为数学研究提供语言与工具的，而代数结构思想则是制造这种工具的工作母机。
阿贝尔和伽罗瓦开创的事业是代数学，乃至整个数学发展史上的一个里程碑，它与非欧几何一起，就像两块敲门砖，叩开了现代数学的大门。