新疆实验中学 么晓江
自从2001年开始使用现行统编教材新一轮课改以来，相对于老教材新增加的内容如导数及其应用，向量，以及概率论与数理统计在近几年的高考试题中所占的比例越来越大，特别是应用问题的安排，在自主命题的各省市高考试卷以及全国卷中，除了个别省市的试卷，概率论与数理统计的问题已逐步替代了传统的应用问题。相比传统应用问题，由概率论与数理统计的知识点设计的应用问题更容易上手，掌握好了是一主要得分点，因此在教学中对这部分内容要引起足够的重视。但在教学中发现学生在对某些知识点的理解上出现了一些偏差，为了让学生更好的掌握这部分内容，根据现行统编教材（人教版）的知识结构，结合本人在教学中体会，我认为在教学中须对以下问题加以说明。
一．A+B与A·B的含义．
在进行互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的教学中，课本上给出了概率计算的加法公式和乘法公式，但并没有对事件“A+B”和事件“A·B”进一步说明，很容易让学生错误地认为只有互斥事件才有“A+B”，相互独立事件才有“A·B”。因此在教学中应补充以下两个概念：
1．对于任意n个事件A1，A2，A3，··.，An，定义事件A1+A2+A3+···+An为“事件A1，A2，A3，···，An中至少有一个发生”这一事件（类似于集合运算中的并集运算）；
2．对于任意n个事件A1，A2，A3，···，An，定义事件A1?A2·······An为“事件A1，A2，A3，···，An同时发生”这一事件。（类似于集合运算中的交集运算）。
因此，对任意n个事件A1，A2，A3，···，An ，都有
P(A1+A2+A3+···+An)=1- P( )
二．互斥事件与相互独立事件的关系．
根据两种概念的定义，若事件A与B互斥则一定不相互独立；而A与B相互独立则它们一定不互斥。
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三．n个事件相互独立的定义．
课本在介绍n个相互独立事件同时发生的概率计算公式时，并没有像介绍n个互斥事件至少有一个发生的概率计算公式时那样先给出n个事件互斥的定义再给出n个互斥事件有一个发生的概率“加法公式”，而是直接给出了乘法计算公式，这就很容易让学生们认为：如果n个事件两两独立，则这n个事件就整体独立。事实上，n个事件两两相互独立它们并不一定整体独立。要说明这个问题须从相互独立事件的原始定义入手。
1．两个事件A与B相互独立的定义是利用条件概率来定义的，即：如果事件B的发生不影响事件A发生的概率，即
P（A|B）=P（A），
则称事件A对事件B是独立的。
2．而n个事件A1，A2，A3，……，An称为是独立的（即整体独立）是指：如果这些事件中的任意一个事件Ai（i=1,2,……,n-1）与其他任意k(k=1,2,……,n-1)个事件的积是独立的，即
=P( Ai )
其中 表示除事件A外的其他n-1个事件中任意m(m=1,2,…，n-1)个事件的积。
例如，三个事件A，B，C是独立的，下列等式必须都成立：
P(A)=P(A|B)=P(A|C)=P(A|BC)，
P(B)=P(B|A)=P(B|C)=P(B|AC)，
P(C)=P(C|A)=P(C|B)=P(C|AB).
只要有一个不成立，事件A，B，C就不是整体独立的。
因此，两两独立的n个事件，其整体却不一定是独立的。
例如：掷两枚骰子，记事件A={掷得点数之和为7}，B={第一枚骰子的点数是4}，C={第二枚骰子的点数是3}，则容易计算得这些事件的概率及条件概率为：
P(A)=P(A|B)=P(A|C)= 16，
P(B)=P(B|A)=P(B|C)= 16，
P(C)=P(C|A)=P(C|B)= 16．
所以事件A，B，C是两两独立的。但是事件A与事件BC，事件B与事件AC，事件C与事件AB都不是相互独立的，这是因为P(A|BC)=P(B|AC)=P(C|AB)=1≠16.
四．关于数学期望和方差的补充内容．
教材中在介绍方差的计算公式时，只给出了原始定义式即：
D(ξ)= ，事实上D(ξ)也是期望，是(ξ-E(ξ))2的期望，根据期望的计算性质可得：
D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2=E[ξ2-2ξE(ξ)+(E(ξ))2]=E(ξ2)-E(2ξE(ξ))+(Eξ)2=E(ξ2)-(E(ξ))2
利用此公式计算Dξ一般来说比用原始公式简单，这是因为一般计算xi2pi要比计算(xi-Eξ)2pi容易。
以上是本人这些年在对概率论与数理统计部分的教学中的一点体会，有不当之处还望各位同仁批评指正。
论文作者:么晓江
论文发表刊物:《创新人才教育》2019年7期
论文发表时间:2019/9/22
标签：事件论文; 独立论文; 概率论文; 定义论文; 发生论文; 互斥论文; 概率论论文; 《创新人才教育》2019年7期论文;