概率综合题——2005年高考试题的新亮点，本文主要内容关键词为：考试题论文,概率论文,新亮点论文,综合题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2005年数学高考考试大纲指出：“对能力的考查，强调‘以能力立意’，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。”
考试中心也强调“发挥知识的整体功能。实行标准化考试的前几年对扩大覆盖中学数学知识点的刻意追求，有积极意义，但因为比较注重对单个知识点的考查，不利于真实反映考生掌握知识的整体水平。现代脑科学研究表明，人脑系统是非加和性的，不能把系统简单地视为其构成部分的迭加，这意味着通过把各知识点和能力点的测试结果迭加起来作为对人的知识和能力整体功能的衡量并不科学。有的学生对各个知识点的学习都比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题的能力较差，原因在于其知识的整体系统的结构不合理，较低层次的知识点和能力元难以组成较高层次的功能系统，各知识点和能力元在系统中不能形成耦合和互补的关系，因而一旦解决问题受阻，就无法另辟蹊径。数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系。要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架。”
注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络交汇点设计综合试题，是高考数学试题的主要特点之一，这样做，可以从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，可以揭示数学各知识之间深刻的内在联系，可以体现数学各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系，可以体现数学本身的特点，例如理性思维，存在性，充要性，不变性和思辨性等特点，可以使考查达到必要的深度，高考数学综合试题的强化，不仅有利于高校选拔人才，而且也有利于在中学数学教学中，提高中学生的数学素养。
在2005年的高考数学试题中，概率试题及概率与统计试题出现了一些综合题，这些题目综合的角度与前几年有所不同，是今年高考试题命制的新亮点。例如，概率与方程的综合（江西卷，山东卷，全国卷Ⅲ）；概率，离散变量的分布列，期望与函数综合（湖南卷），与线性规划综合（辽宁卷）等等。
例1 （全国卷Ⅰ文科第18题）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125。
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。
分析及解 （Ⅰ）与常见的概率题不同的是，本题给出了复合事件的概率求单一事件的概率，所以需要通过列方程和解方程求解。
记甲、乙、丙三台机器在一小时内需要照顾的事件为A,B,C由题设，事件A,B,C是相互独立事件。由题意，可得方程组
附图
附图
以上四例题，从不同的角度进行了概率与方程的综合，有的以某事件的概率为未知数（例1，例4），有的以重复的次数为未知数（例2），有的以元素的个数为未知数（例3），通过建立方程或方程组求解，激活了概率问题，
例5 （湖南卷理科第18题）某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响。设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数
在区间［2，＋∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率。
分析及解 第（Ⅰ）问比较常见，ξ的可能取值为1,3。
当ξ＝1时，客人游览了2个景点，没有游览1个景点，或游览了1个景点，没有游览2个景点。P（ξ＝1）＝0.4×0.5×0.4+0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.6+0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4+0.6×0.5×0.4=0.76
当ξ＝3时，客人游览了3个景点或没有游览3个景点P（ξ＝3）＝0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24
ξ的分布列是Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48。ξ
1
3P
0.76
0.24
第（Ⅱ）问是概率与函数的综合题，有两种思路：
附图
从而P(A)=P（ξ＝1）=0.76。
思路二是对离散变量ξ的取值分别进行讨论。
当ξ＝1时，函数在区间［2，＋∞）上单调递增；
当ξ＝3时，函数在区间［2，＋∞）上不单调递增。
所以P(A)=P（ξ＝1）=0.76。
本题是概率，分布列，数学期望和函数的综合题，在第（Ⅱ）问，离散变量ξ成为二次函数的参数，通过对ξ的范围的讨论，判断单调性，不同的是ξ必须取整数，在解题时要特别注意。
例6 （辽宁卷第20题）某工厂生产甲，乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工均有A,B两个等级。对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲，乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲，乙产品为一等品的概率
；
表1
第一工序
第二工序甲
0.8
0.85乙
0.75
0.8
表2
一等
二等甲
5（万元）
2.5（万元）乙
2.5（万元）
1.5（万元）
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ，η分别表示一件甲，乙产品的利润。在（Ⅰ）的条件下，求ξ，η的分布列及Eξ，Eη；
表3
工人（名）
资金（万元）甲
8
5乙
2
10
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示，该工厂有工人40名，可用资金60万元，设x,y分别表示生产甲，乙产品的数量，在（Ⅱ）的条件下，x,y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时需给出图示）。
分析及解 本题主要考查相互独立事件的概率，随机变量的分布列及期望，线性规划模型的建立与求解等基础知识，是一道较新颖的综合题。
（Ⅰ）是相互独立事件同时发生的概率问题。
=0.8×0.85=0.68,
=0.75×0.8=0.6。
（Ⅱ）是随机变量的分布列及期望问题。
随机变量ξ，η的分布列是ξ
5
2.5P
0.68
0.32ξ
2.5
1.5P
0.32
0.4Eξ＝5×0.68+2.5×0.32＝4.2,Eη＝2.5×0.6+1.5×0.4=2.1。
（Ⅲ）是用线性规划模型求解的问题。由题设知，
附图
目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y。
作出可行域（图略），由图可知，直线z=4.2x+2.1y经过直线5x+10y=60与直线8x+2y=40的交点M(4,4)时，z的值最大，z的最大值为25.2。
例5、例6把离散变量的分布列，期望等与函数，线性规划综合在一起，题目的每一个局部都不困难，但是由于立意较新，有利于考查考生灵活与综合运用基础知识的能力以及分析问题和解决问题的能力。