期货投资组合交易保证金设置研究——基于Copula模型和极值理论的分析，本文主要内容关键词为：极值论文,保证金论文,投资组合论文,期货论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
近年来伴随着社会财富的不断增加和金融市场的快速成长，我国的投资基金行业和期货市场得到了迅猛发展。截至2010年底，我国各类基金已达704只，比2009年增长26.4％；2010年期货市场交易量达295万亿元，比2009年增长126.8％①。与此同时，以期货合约为投资标的期货投资基金也开始出现。在欧美金融市场中，期货投资基金却是期货市场重要的机构投资力量。因此，有理由相信，伴随着我国资本市场的改革和国际化进程的加快，期货投资基金必将迎来快速发展的时期。
基金投资的一个显著特点就是组合投资，即将基金资产投资于不同的金融上具，以分散非系统性风险。类似地，无论是以投机还是套利为目的的期货投资基金也是分散投资于多个期货合约。众所周知，作为期货市场风险管理措施之一的保证金制度是期货市场中最基本也是最为重要的交易制度，其原因就在于保证金比例的高低直接影响着期货市场的流动性和交易风险的管理。
那么该如何设置期货投资组合的保证金比例呢?是按照组合中各个合约的保证金比例进行线性相加，还是综合考虑投资组合资产的整体风险大小统一设置?本文将就期货投资组合的保证金计算问题进行方法探讨与实证分析。
二、文献回顾
当前国际上金融衍生品组合保证金的计算方法中最为成熟的是上世纪90代初发展起来的SPAN系统，现在逐渐成为国际上金融衍生品组合保证金计算的标杆。但由于我国现阶段衍生品品种并不丰富导致SPAN系统不能充分发挥其在计算多种期货、期权组合方面的优势，以及卖空等市场机制尚未健全等原因，该系统并未在我国正式应用。近十年来我国一些学者对SPAN系统进行了研究。洪靖华(2000)在对 SPAN系统的研究中发现该系统可以全面的衡量组合风险来源并且操作简单、易于使用者理解等优点，但同时也指出SPAN系统计算风险值比较依赖该系统对风险参数的设置，如果参数设置不准就会使风险计算结果产生偏差。针对参数设定问题，龚朴、黄荣兵(2009)采用半参数、非参数VaR方法和Copula-GARCH模型对SPAN系统主要输入参数的方法进行研究，发现这些方法在主要参数的估计上取得了较好的效果，但该研究在采用Copula模型时并未运用相关检测立法对Copula模型的拟合优度进行检验。
另外，SPAN系统在计算衍生品组合风险时采用的是简单线性相加，而没有考虑到品种之间的相关特别是非线性相关关系可以在一定程度上使组合中的各个资产的风险得以对冲，因此有时会过高估计组合风险。针对此问题，迟国泰等(2006)运用VaR、非参数核估计和加权指数平滑模型(EWMA)对多品种期货组合的风险进行预测，并根据预测值和均值—方差相关系数矩阵计算保证金，结果发现计算出的保证金不仅能够有效覆盖组合风险，而且使保证金水平比现行水平有所降低，在一定程度上降低了投资成本。但其在运用历史数据通过EWMA估计未来交易日数据时，选取的历史样本数据容量过小，这会导致估计偏差过大。
上述研究在取得大量成果的同时也存在如下几点共同的不足之处。首先，上述研究普遍运用非参数的核估计方法对未来的对数收益率进行预测，但是该方法需要主观设定一个窗宽参数，如果取值过大会使分布不能很好地反映样本的尖峰性，过小则使分布的尾部估计出现较大偏差。其次，实证研究中用于单个合约VaR估计的历史样本数据较少，会导致估计结果的偏差。
鉴于现有文献的不足之处，本文首先选取较大容量的期货样本数据构建投资组合，然后采用Copula理论中的相关函数来分析期货组合中各项资产的线性和非线性相关关系，同时运用欧氏平方距离等参数指标评价并选取模型。最后结合Monte Carlo模拟技术和极值理论方法来估计投资组合的风险进而计算期货投资组合的保证金。
三、Copula函数理论
(一)Copula函数定义。
一般地，利用Copula函数对金融变量建模至少具有两个优点：
第一，对变量的边缘分布和连接它们的Copula函数允许分开建模以求出联合分布函数，避免直接求联合分布函数所产生的困难。
第二，边缘分布的选取更为灵活。从上述的 Sklar定理可以看出Copula函数实际上是以边缘分布函数为自变量的，而无论什么形式的边缘分布函数的值域均为[0，1]。因此Copula模型并未对边缘分布函数的形式有严格的规定，从而提高了建模的灵活性。
同时Copula函数中的参数还与一些可以反映变量间非线性相关关系的指标存在一一对应关系，比如 Kendell、Spearman相关系数等。这为研究变量间的线性和非线性关系提供了便利。
经济、金融分析中常用的Copula函数包括多元正态Copula、t-Copula和阿基米德类Copula函数等等，Nelsen(2006)、韦艳华等(2008)在其著作中详细介绍了这些Copula函数的分布函数和概率密度及 Kendell等相关系数的理论。因篇幅所限这里不一一介绍，相关内容可以参考这些文献著作。
(二)Copula模型的估计方法。
由于Copula模型具有允许分步建模的优点，因此就可以利用这一优点对模型进行分步估计，对数据进行拟合。通常Copula模型可以运用两步极大似然估计法进行估计，即首先利用极大似然估计法对模型的边缘分布进行参数估计，然后再利用该方法对相应的Copula模型的似然函数进行极大化估计，从而得出参数估计结果。Copula函数的似然函数如式(1)，式中c(…)代表与Copula模型分布函数所对应的概率密度，
代表第一步极大似然法估计的边缘分布参数，β代表Copula模型的参数。求出使式(1)最大化的β即为Copula估计参数。
(三)Copula模型拟合效果评价。
四、实证研究
(一)研究思路。
为了具体说明利用Copula模型和极值理论进行期货组合保证金的计算方法，本文采用实际期货合约数据进行实证研究，研究中采用Eviews6.0和 Matlab2010b进行数据处理和模型估计。具体研究思路如下：
第一步，选取不同的商品期货合约构成多变量投资组合，并假定该组合是期货投机组合。
第二步，利用极值理论中的GPD分布模型对各个变量收益率序列中的极端波动样本进行拟合，并利用该模型生成累积分布函数值。
第三步，将各个分布函数值代入不同的Copula函数，采用极大似然估计法估计参数，并通过计算欧式平方距离的方法选取最优Copula函数。
第四步，利用该Copula函数结合Monte Carlo模拟法计算期货组合极端损失的VaR和ES值作为组合的保证金水平。
第五步，利用Kupiec回溯测试检验计算出的保证金能否在一定违约概率下覆盖组合的风险。
(二)数据的选择和数据统计特征。
为了构建期货投资组合，本文分别选取2005年1月4日至2012年2月27日间上海和郑州两个交易所上市的铜、棉花和天然橡胶(简称天胶)连续期货合约的收盘价共1730个数据作为原始样本数据，将这三个序列取对数并做一阶差分运算得到各个品种的对数收益率序列(分别用dlmian、dltong和dlti标记)，并以这三个品种构成期货投资组合计算组合保证金。为了直观了解数据的统计特性下面给出数据的描述统计量(见表1)，从表1中可以看出三个收益率序列均呈现出尖峰厚尾的统计分布特征，因此可以初步判定三者均不服从正态分布。同时从统计量中可以看出dlmian的收益率的偏度为0.302363大于0，说明dlmian成右偏分布，其右尾较左尾厚，也就是说所持有棉期货空头的风险要大于多头；而从dltong和dltj的统计数据可以看出这两个合约的分布成左偏分布，说明这两种期货多头的风险要大于空头。因此，在设定保证金水平时有必要将保证金分为多头和空头保证金分别加以计算。
(三)边缘分布的估计。
根据前文可知期货保证金主要是用来防备市场极端波动条件下，期货合约头寸的巨额损失，因此保证金水平的大小与正常价格波动下的损失无关，所以计算保证金的前提是要运用适当的方法刻画极端价格波动(或称为尾部价格波动)。李晓渝等(2006)、韩德宗、陈弢(2006)等运用能够拟合尾部样本数据的极值GPD分布，并结合超越门限POT模型研究单个期货保证金设置问题时发现，该方法相比正态分布假定的方法史更为准确衡量了风险水平。因此，本文在拟合各个合约左、右尾收益率样本时也采用GPD分布②。下面简要介绍GPD分布及估计方法。
其中，κ被称为形状参数，σ为标度参数。κ影响着GPD分布的具体形式。例如当σ=1时κ＞0时 GPD分布可以用来描述存在尖峰厚尾特征的金融时间序列；当κ=0时从(2)式可以看出GPD分布为参数为1/σ的指数分布；如果κ＜0，则变成薄尾的GPD分布。那么如果运用GPD分布拟合具有厚尾特征的金融变量时，则κ一定大于0。这一点可以被用来检验模型估计的正确性。
从上面的GPD模型介绍可以看出，在运用模型进行数据的拟合前必须要确定样本数据的阈值即Z。确定Z的方法主要有两种：第一种是Hill图方法，该方法是将不同阈值水平下计算出的与相对应的m(阈值)绘成图形从中找出适当的阈值。Hill(1975)提出了κ的估计式：
，m＞2。如果Hill图中的κ在某个m后变得比较稳定不再发生剧烈的变化，那么这个m值便是所选中的阈值。第二种方法是利用超越阈值期望函数图进行判断。
由于超越阈值期望函数图在实际绘制中会出现很多断点，从而对阈值的判断产生较大影响，因此本文采取Hill图方法进行判断③，根据Hill图阈值判断方法可以确定各个序列的GPD分布阈值并找出原始数据中超过阈值的样本个数(见表2)。
在确定阈值后，将各个超限数据减去各自阈值代入式(1)采用极大似然估计法估计GPD模型的参数κ和σ，估计结果见表3。为了检验GPD分布模型对超限极端数据的拟合程度，图1-6给出GPD样本拟合图。图中散点代表极端样本数据，而曲线代表以估计参数所形成的GPD曲线。从图中可见，除了天胶左尾部分数据偏离曲线外，其余数据均紧绕曲线，说明拟合效果较好。从表3的估计结果可以看出，铜和天胶的右尾均呈现薄尾特征，而各个合约的左尾均为厚尾分布，这说明各个合约出现极端负向价格变动的概率要大于极端正向的概率(即持有期货多头的损失概率要大于空头)，符合前文收益率序列的统计特征。
表3 GPD模型参数估计结果
图1 棉右尾拟合情况
图2 棉左尾拟合情况
图3 铜右尾拟合情况
图4 铜左尾拟合情况
图5 天胶右尾拟合情况
图6 天胶左尾拟合情况
(四)Copula模型的估计与检验。
估计Copula模型要求边缘分布的样本容量相同，从表2可知各个合约超限样本数并不相同，但是由于上文的GPD估计结果与样本数据拟合较好，因此，可以利用上文估计出的GPD模型生成服从各自GPD分布的同样本容量累积分布函数值用于Copula模型的估计。为了保证估计结果的精确性，这里利用棉、铜和天胶左、右尾的GPD分布生成2000个累积分布函数值(即Copula模型中的
)，同时对这些数据进行K-S检验，以检验它们是否服从0-1分布，检验结果见表4。K-S检验的原假设为：被检验序列服从0-1均匀分布。从表4的p值可以看出，在0.05的显著性水平下各个分布函数值序列均服从0-1均匀分布，可以用作Copula函数的估计。
为了比较各Copula函数对模型的拟合质量，下面分别以棉花、铜和天胶的左右尾数据作为3元数组代入上文介绍的常用的N元Copula函数，并通过Matlab利用极大似然法估计模型参数，结果见表5-6。首先分析正态和t-Copula的估计结果，从表5中的参数p和通过p计算出的Kendell相关系数可以看出，棉花和铜之间的相关性还不到±0.01，呈现较弱的相关关系。棉与天胶间右尾的相关性较低，仅为0.0028和0.0033，而左尾的相关性相比较高，两个模型均超过了0.017。铜与天胶之间同样也是右尾的相关性较低而左尾的相关性相比较高。这说明投资组合在左尾的资产间相关性较右尾高，因此投资组合左尾的风险应大于右尾。同时值得注意的是在右尾，铜和天胶的kendell相关系数为0.0075和0.0082，这比棉与铜和天胶之间的右尾相关系数要高很多。出现这种情况是因为铜和天胶均为重要的工业原材料，其价格主要与宏观经济特别是制造业景气度、国家产业政策和货币政策等密切相关，所以其价格呈现较明显相关性。而棉花作为经济作物，其需求是较为稳定的，因此其价格更多的是与天气、劳动力价格等成本和供给方面的因素相关，所以其表现出与其他品种一定的弱相关性。
从表6看出，Gumbel的估计参数为1，Clayton的估计参数为0.0016，Frank的估计参数为0.0274和0.0172。根据kendell与阿基米德模型参数的关系可以计算得知用阿基米德类模型拟合的三个合约均呈现明显的独立特征，这与事实明显不符，说明阿基米德类模型不能很好的拟合数据。
另外通过表5、表6中计算出的欧氏平方距离可以看出，t-Copula模型在左、右尾的模犁的拟合度上均优于其他模型，而阿基米德类Copula模型的拟合程度整体较差，所以选取t-Copula模型作为最终的组合保证金计算模型。
(五)期货组合保证金的计算。
根据上面的步骤就可计算出一定显著性水平下固定权重④的期货组合的VaR和ES。
另外下面还会利用John Cotter、Kevin Dowd(2006)给出的GPD分布的VaR和ES计算方法：
其中，Z代表GPD分布的阈值，h等于样本总数与超过阈值样本数之比，α代表显著性水平。
分别计算出三个合约多、空序列的VaR和ES值作为各合约的多空保证金，并按照固定权重将各个合约保证金简单线性相加得出组合保证金。这样是为了与Copula模型组合保证金计算方法作对比来检验各种方法的优劣。
从表7中可以看出，有尾的保证金(即空头保证金)水平明显低于左尾的保证金(即多头保证金)水平，说明在既定比例下期货组合保证金多空头寸所面临的风险是不同的，应该分别制设置不同保证金水平。从回溯测试可以看出以VaR作为多空保证金符合既定的1％的违约概率，虽然ES保证金水平没能通过检验，但是从其超出保证金样本个数均只有1个可以看出，其没有通过检验的原因是因为ES保证金水平在违约概率为1％时过度覆盖了投资风险。因此，可以将VaR作为一般保证金，而将ES作为市场出现小概率极端波动情况下的谨慎保证金。
从表8中可以看出，单一GPD方法计算出的保证金水平普遍比Copula方法计算出的保证金要高，同时除了左尾VaR外其余均未通过回溯测试，这说明在0.01违约概率下单一GPD方法计算出的保证金水平过度的覆盖了市场极端波动风险，这样会增加期货组合的投资成本，降低投资积极性。因此在一定的显著性水平(违约概率)下Copula与极值理论结合的方法要优于单一使用GPD方法。
五、结论
目前国内棉、铜和天胶的最低交易保证金均为合约价值的5％，而在市场异常时或邻近交割时保证金水平会达到8％-10％以上甚至更高。那么如果采用分别收取单一品种的保证金的办法，按照现行最低5％的水平，本文构建的期货组合的保证金水平也为组合价值的5％。但从表7中看出，以Copula模型结合极值GPD模型计算出的多、空VaR保证金水平均要小于5％，即使是左尾ES=5.40％谨慎保证金水平也要比现行的市场异常或邻近交割时的保证金要低，且在1730个交易日数据中违约数据仅有1个。说明 Copula模型结合极值GPD模型计算出的多、空期货投资组合的保证金既可以充分覆盖市场波动带来的违约风险，又能降低期货组合的投资成本，提高投资者的积极性。因此，Copula结合极值理论在组合保证金设置方面具有重要的应用价值。
通过上述分析，可以看出Copula理论结合极值模型计算出的期货组合保证金在对投资组合风险的覆盖、组合成本的节约方面均要优于现行保证金水平。由于该方法较为准确地估计了组合的风险水平，所以该方法至少在以下两个方面有重要的应用价值：
首先，期货等衍生品投资组合的保证金的计算。随着未来白银、原油，玻璃等商品期货，国债、外汇等金融期货的推出和上市，市场迫切需要一种符合国内市场交易环境和条件的衍生品组合保证金计算方法。本文论述的Copula结合极值理论模型可以为此提供参考。
其次，投资组合风险的衡量和计算。随着投资者风险管理意识和相关知识的增强，组合投资将越来越受到重视。Copula结合极值理论模型在描述多个资产相关性、刻画资产收益率的极端波动方面具备一定优势，可帮助投资者及时了解组合风险的变化，及时降低或提高组合中某种资产的持有比例，最大限度地规避非系统性极端波动风险。
注释：
①数据来自《中国统计年鉴2011》。
②为了作图和计算的便捷，将左尾数据取绝对值用于分析和计算。
③因篇幅所限Hill图不便全部列出，有需要可向作者索取，E-mail：Ldhy66＠163.com。
④这里计算组合的VaR和ES时，任意选取棉、铜和天胶的权重分别为0.25、0.5和0.25，因为本文主要探讨组合保证金的计算，在资产权重的选取上不做重点分析。
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