关于分数教学中的科学性问题，本文主要内容关键词为：性问题论文,分数论文,科学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教育的首要问题，是教学内容本身的科学性。然而小学数学教育历来对此不重视，其理由大概是认为小学数学简单，不会出现科学性问题。然而由多年的观察和分析发现，不但教师中存在许多错误观点，小学数学教材中也有不少问题。问题最多的是分数部分，下面我们谈几个主要的问题。
一、“一定要是平均分才能用分数表示”
这是多年来教师在课堂上经常向学生强调的一句话。笔者曾经用右边的图1来向教师说明这是错误的：EF是△ABC的中位线，它将△ABC分成不相等的两部分，因此不是平均分。但是△AEF的面积恰好是△ABC的四分之一，因此它的面积可以用分数
来表示。
图1
但是有的教师反驳说：“这是隐蔽的平均分，其实也是平均分。”我再问：“那么怎样才是不平均分呢？”对方想了一阵，觉得无法举出来。既然没有不是平均分的情况，为什么还要说“一定要是平均分”呢？
不过这个问题是有来由的，并不能怪教师。来由就是考试中经常出这样的题：判断某个图中的阴影部分能否用某个分数表示。这些图有平均分的，有不是平均分的。而凡是平均分的都是对的，凡不是平均分的都是错的。教师为了让学生考出好成绩，就想出了这个看起来非常简单有效的判断方法。但是我们毕竟不能教给学生错误的东西。并且即使这样说了，学生还是会犯这种错误——否则教师就不会如此强调这一点了。对于这种错误，我们首先应该弄清，儿童为什么会把不是平均分的阴影部分用分数来表示？
二、“分数产生于平分整体”
这是小学教师普遍持有的一种观点，因为小学数学教材就是这样认为的：把一些事物看作一个整体，再把它们平均分成若干份，表示其中一份或几份的数就是分数。
然而一盒乒乓球可以看成一个整体，假设有12个，把它们平均分成4份，每份是3个，并没有产生分数。
不仅如此，把一个苹果平分成两半，表示其中的一份也不一定要用分数。有一位教师在课堂上举了这个例子，然后不作任何引导，让学生用一个数来表示半个苹果。结果学生提出的一种表示方法是：一个苹果是2，半个苹果是1；一个苹果是4，半个苹果是2；一个苹果是6，半个苹果是3……
由此可以看出，是否产生分数，取决于单位的选择，如果乒乓球用“盒”做单位，那么3个乒乓球就是盒；如果苹果用“个”做单位，那么半个苹果就是
个。也就是说，分数是为了表示小于单位的量而引入的（从这个例子可以看出小学生已经懂得可以根据需要来选择单位）。“整体”与单位是有区别的，看成整体并不等于以它作单位。以集合的观点来看，任何整体都是一个集合，但不能说任何集合都是单位。
三、“”与“二分之一”。
湖南第一师范学院曾出了一套测试题测试小学教师的数学专业知识，其中一个选项是“比10多的数是10”。结果只有不到五分之一的人选它作正确答案。不选的人认为，比10多的数应该是15。有人反对，认为如果是15，那就应该说“比10多它的”。
究竟应该怎么说呢？与整数对比一下就清楚了。在整数里，比10多2的数是12，所以在分数里，比10多的数是10；在整数里可以说“比10多它的2倍的数是30”，而不能说“比10多它的2的数是30”，所以在分数里只能说“比10多它的十倍的数是15”，而不能说“比10多它的的数是15”。但是后一种说法是非常普遍的。为什么都这样说呢？
原因是这里把“”等同于“二分之一”了。利用“二分之一”这个词我们可以直接说“比10多二分之一的数是15”。这里的“二分之一”不是一个数，而是一个表示倍数关系的分率，就像百分数不是分母为100的分数，而是一个百分率一样（由此也可以看到，“百分数”这个名称不如“百分率”或“百分比”好）。在规范的汉语中，“二分之一”是不能用“”来代替的。例如首届华罗庚金杯赛初赛试题第13题如下：
有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13亩。麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12亩。那么菜地是几亩？
原文如此。其中的两个“三分之一”都不能换成“
”。
然而近一二十年来，这种贪图简便的代替却越来越多，特别是小学数学教材普遍采用这种写法，使得这种错误泛滥成灾。
四、单位“1”是什么？
我国的小学数学教材曾长期采用这样的分数定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。此定义出来后，就引起了单位“1”是什么的长期争论。有的认为单位“1”就是自然数“1”，有的认为不是。引起争论的原因，首先是因为单位“1”的说法本身就不妥，意义不清；其次是对分数概念认识不透彻。
从前面对分数概念的分析可清楚地看到，分数是由平分单位产生的。因此，“单位‘1’”应为“单位”。其实，1979年版的《辞海》就将“分数”定义为：“把单位分成若干等分，表示这样的一份或几份的数称为‘分数’。”（夏征农主编：《辞海》（1979年版缩印本）。上海辞书出版社，1980年。275页右。《辞海》的数学分科主编为苏步青。）
按这一定义，“单位”究竟是什么要视具体情况而定。可以是长度单位、重量单位，等等。如果平分的是自然数的单位，则“单位”就是自然数“1”，因为“1”是自然数的单位。例如
个1，单位“1”省略了。
曾有一篇文章指出，如图2所示的阴影部分，如果不指出单位是一个圆还是两个圆，就无法确定应该用
来表示还是用
来表示。但是类似的不带单位的图在小学数学教材的分数部分大量存在。如图3，教材的意图是要求学生在括号里填
。但是如果以1个小正方形为单位，则应填3；以2个小正方形为单位，则应填
；以3个小正方形为单位，则应填1……
图2
图3
五、为什么可以把整个工程看作“1”
传统算术应用题中的工程问题有一种特殊解法，即把整个工程看作“1”。例如：
甲乙两个工程队修一条水渠。若甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成。现在由乙队先做3天，余下的工程两队一起做，还需要几天可以完成？
还可以设整个工程为其他数，例如30，则甲队每天完成3，乙队每天完成2，算式是：
事实上，可设整个工程为任意非零数。这样小学生会感到奇怪，一项那么大的工程，为什么可以看作“1”呢？甚至可以随便设呢？我们从来没有对此作出合理的解释。
“选单位”的方法不仅可以用于解答工程问题，还可以用于解答其他应用题。例如：
图4是一个园林规划图，其中正方形的四分之三是草地；圆的七分之六是竹林；竹林比草地多占地450平方米。问：水池占地多少平方米？
图4
这是第五届华罗庚金杯赛的一道初赛题，解法是：以水池的面积为1个单位，那么草地的面积是3个单位，竹林的面积是6个单位。竹林比草地多3个单位。这3个单位是450平方米，所以一个单位是150平方米。这就是水池的面积。
再如：一个人在临死时对妻子说：你不久要生孩子了，如果生的是男孩，就把我的财产的三分之二给他，你拿剩下的三分之一；如果是女孩，就把我的财产的三分之一给她，你拿三分之二。可是，生下来的却是一男一女双胞胎，这笔财产究竟应该怎样分呢？
这道题看起来比较复杂，可是如果我们采用“选单位”的方法，却很容易解答：以女孩的财产为1个单位，则妻子的财产应为2个单位，男孩的财产应为4个单位。于是只要将全部财产分成7个单位，按以上确定的单位数分配即可。
从上面这几个问题的分析我们看到，“平均分”并不是分数概念的关键，“单位”才是分数概念的关键。恰当地选择单位是解答应用题的好方法。不仅如此，分数的加减运算也是建立在“分数单位”的基础上的，分母相同就是分数单位相同。单位相同就可以直接相加，这与量的加法一样，儿童很容易理解。
上述例子表明，这些问题不仅是关系到教学内容的科学性，而且对教学也有很大影响。内容科学，儿童就容易理解；否则，学生即使会做，也是知其然而不知其所以然。