略论数学反思能力的培养，本文主要内容关键词为：能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
反思是个体，乃至整个群体成熟的一个重要标志.人类自古以来就具有反思意识，在我国古代有“反求诸己”“扪心自问”“吾日三省吾身”等至理名言.近年来，有关“反思”的研究日渐增多，但绝大部分是从哲学、心理学、教育学的视野中研究得出的一般性结果，或在普遍性结论中辅以学科例子的佐证.而以数学为直接研究对象，对中学生数学反思能力培养的研究则较少.数学学习中的反思、反思能力是近年来越来越受关注的一个课题.《普通高中数学课程标准（实验）》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知，……反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”，同时提出，评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”，“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”.
一、关于反思
历史上较早研究反思的有洛克（J.Loke）、斯宾诺莎（B.Spinoza）等.洛克在《人类理解论》中谈到，“反省”是获得观念的心灵的反观自照，在这种反观自照中，心灵获得不同于感觉得失的观念的观念，是人们自觉地把心理活动作为认识对象的认识活动，是对思维的思维.可见，洛克的反省是把思维活动作为思维对象，反省主要着力于人的观念的来源.
斯宾诺莎把自己的认识论方法称做“反思的知识”，而“反思的知识”即“观念的观念”，是认识所得的结果，它本身又是理智认识的对象，对于作为认识结果的观念的再认识和对于这种再认识之所得观念的再认识，这种理智向着知识的推进，即是“反思”.由此可见，斯宾诺莎的反思是把思维所得的结果作为思维对象，反思主要着力于既得真观念的理性升华.由此可见，斯宾诺莎的反思和洛克的反省的主要方面是基本相同的.他们都是从知识的来源和知识的升华的角度给反思以重要的地位.
此后，杜威较系统地对反思进行了论述.他认为教育即经验之改造，而经验又是人与环境之间的相互作用，这种相互作用的实现要通过“反省”思维，即对某个问题进行反复的持续不断的深思，由此可见，问题情境是诱发反思的根源，“反复性”“持续不断性”说明“反思”的困难程度和频繁程度，以及所需要的毅力.
杜威将“反思”概括为一种特殊的思维形式，认为反思起源于主体在活动情境过程中所产生的怀疑和困惑，是引发有目的的探究行为和解决情境问题的有效手段，是“对任何信念或假定的知识形式，根据支持它的基础和它趋于达到的进一步结论而进行的积极的、坚持不懈的和仔细的考虑”，它“包括这样一种有意识和自愿的努力，即在证据和理性的坚实基础上建立信念”.
杜威的反思更加明确了反思的“问题情境性”等特点.使这种心理活动更具有可操作性的特点，便于教学中教师和学生实施.杜威的反思中包含这样几层意思：一是反思是一种思维活动（深思熟虑）；二是反思具有对象性（针对自己的行为及情境进行的）、自觉性（有意识和自愿的积极性）、技巧性（从支持反思的对象的“基础”及“趋于达到的进一步结论”上着手）和目的性（在证据、理性和坚实基础上建立的信念，以批判为手段，以解决问题、自我发展和提高为目的）；三是反思具有探究性，反思不仅仅“回忆”或“回顾”已有的“心理活动”，而且要找到其中的“问题”以及“答案”，是为了指导未来的行动；四是反思以“道德感”为突破口，需要一些非智力因素的支持，例如意志努力（坚持不懈的和仔细的）、习惯（良好的）和情感（积极的）等.
伯莱克（J.Berlak）认为“反思是立足于自我之外的批判地考察自己的行动及情境的能力”.
博伊德与费勒斯认为反思是“创造性地并根据最终是一个变化的理性观念的自我（与自我联系的自我和与世界联系的自我）澄清经验意义的过程”.博伊德与费勒斯的反思突出了“自我”的价值，明确了反思的对象是“自我”反思的，目的是“澄清经验的意义”构建“自我”连续体，突出了反思的完整的过程.
现代认知心理学则从元认知的视角来探讨有关反思的范畴.
二、关于数学中的反思
数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用.荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）教授指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”.美籍数学教育家波利亚（C.Polya）也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”.
曹才翰先生也非常重视并倡导培养学生对学习过程的反思习惯，认为“培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率，培养数学能力的行之有效的方法”.郑毓信教授从建构主义与数学教育的角度指出，“数学抽象就其本质而言是一种建构活动，但这种建构不仅仅是纯粹个人的行为，而必然是一个在不同个体之间进行表述、交流、批判与反思，以及不断改进的过程，个人的创造建构只有得到数学共同体接受，才能真正成为数学的组成部分”.也就是说，学生在数学学习过程中，只有不断地反思，才能够使自己建构的知识不断地与数学共同体所拥有的知识靠近，最终达到一致.涂荣豹教授以数学学科为具体背景，提出了反思性数学学习的概念，探讨了反思性数学学习的意义和基本特征，并提出了反思性数学学习的具体内容.
反思不仅仅是对数学学习一般性的回顾或重复，而是深究数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质；反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或培养元认知意识，更重要的是指向未来的活动，是为了更好地提高学习效益.
反思性数学学习是相对于操作性数学学习而言的.操作性数学学习是学生凭借自己有限的经验进行简单重复的学习活动，这种活动所依赖的是那些通常并不清楚的经验和理解而进行的自动化的、直觉的操作活动.大多数学生在活动中做出的决策是刺激——反应式的而非反思的，直觉的而非理性的，例行的而非主动自觉的.
反思性数学学习的基本特征是它的探究性，在数学学习活动中探究其中的问题和答案，不断调整自己的学习策略；建构自己对问题的理解，产生超越已有信息以外的信息，反思性数学学习可以帮助学习者从例行公事的行为中解放出来，帮助他们学会数学学习；可以使学习者的数学学习活动成为有目标、有策略的主动行为；可以使学习成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力；可以有利于学习者在学习活动中获得个人体验，使他们变得更加成熟，促进他们的全面发展.
操作性数学学习是相对单一的学习，而反思性数学学习则是多维的学习；操作性数学学习只要完成了学习任务就达到了学习的要求，而反思性数学学习不仅要完成学习任务，而且使学习者的理性思维得到提高；操作性数学学习是被动的、消极的，而反思性数学学习以“学会学习”为目的，既关注直接结果又关注间接结果，即眼前的学习成绩和学生自身未来的发展.实际上，如果不能“学会学习”，就不能真正“学会知识”.显而易见，操作性数学学习的含金量不高，而反思性数学学习更具有启智价值，含金量高.
三、关于数学反思能力
能力可分为一般心理能力和特殊心理能力.一般心理能力是顺利完成各种活动任务所必备的基本心理能力，如注意力、记忆力、想像力和思维力等.特殊心理能力是指顺利完成特殊活动所必备的基本心理能力，数学能力就是一种特殊的心理能力，它是顺利完成数学活动所必备的能力.
一种更被普遍认同的中学生数学能力是：“运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力”或“运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、运用数学知识来分析和解决实际问题的能力”.数学能力是一种复合能力.数学反思能力属于较高层次的能力——元认知能力，它与认知能力是有区别的.实验研究表明，认知与元认知是可以分离的两个概念.实验发现，元认知可以弥补一般能力的不足，它作为与一般能力相对独立的一种因素在起作用，即元认知通过对认识活动的调控，促进学生获得认知活动的进展信息，间接地促进和推动了这种能力的发展，使认知主体完成认知任务，实现认知目标.
元认知是对认知过程的自我调控，因而元认知过程离不开认知过程.数学认知能力的发展为数学反思能力的发展提供了基础，只有具有了很强的数学观察能力、数学记忆能力，才能提高对问题情景中各种线索的敏感度，抓住反思的时机，及时调节思维的方向，对解决问题的各种策略进行权衡、预见，从而提高控制水平，丰富元认知知识，加深元认知体验.数学思维能力的发展特别是抽象思维能力的发展，极大地丰富了学生反思的技能，为提高学生的反思水平和预见能力打下了基础.数学化能力的发展为反思提供了更大的广阔空间和机会，另一方面数学反思能力的发展，提高了认知效率，缩短了认知时间，因此，数学反思能力和数学认知能力是相互促进，互为基础.
数学反思能力是学习者在数学学习活动中对自己数学认知过程的自我意识，自我监控能力.它以反思的技能和反思的毅力为基础，并在对数学认知过程的评价、控制和调节中显示出来.它对数学认知活动起指导、支配、决定、监控的作用.
四、数学反思能力培养的实施途径
通过我们的实践表明，学生的数学反思能力有必要而且有可能进行培养.以下是我们的一些主要做法，仅供参考.
1.建立学习档案
给自己建立学习档案，是养成良好反思习惯的途径.学习档案内容可丰富多样.如自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，容易解错的习题，学习失败的教训等.
2.听课反思
没有反思的听课是被动的，肤浅的.从教师讲解中反思思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解.
例如，极坐标系这节课，反思应多集中在为什么引入极坐标系，极坐标系的特点与直角坐标系的特点有何不同，以顺利适应极坐标系处理问题的方法.
3.解题反思
对问题解答后的结论的正确性的检验或提出疑问；是否还有其他解法或更佳解法；能否对问题的题设或结论进行变式；能否把当前的命题推广到一般情况；进一步考虑问题的题设的完备性（充分性）及结论的精确性等.
4.数学周记
反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步.学习是一个系统工程，培养反思习惯的措施，是全方位，多角度，多层次的反思.课堂上教师示范解题反思的过程中学生自己想到，但来与教师交流的问题，作业中对某些习题不同解法的探讨，学习情感、体验的感受，都可以通过数学周记（或数学日记）的形式宣泄出来，记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁.
目前数学教学中最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动的最重要的环节.由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的高中生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次地反复思考、深入研究、自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征.