同课异构引领下的信息技术与数学教学整合的设计与反思，本文主要内容关键词为：信息技术论文,数学教学论文,异构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、内容和内容解析
“用二分法求方程的近似解”是新课标人教A版《数学必修①》中新增的一节，教材安排这节内容的目的，一是使学生认识到“二分法”是求方程近似解的一种方法，加强函数与方程间的联系性，感悟函数与方程思想，深刻体会函数的应用.二是这部分内容可较好地体现逼近思想，为后续的算法学习作准备.重点是运用二分法求函数零点的近似值，形成用函数观点处理问题的意识.相应教参指出的难点是由于数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以，教学中宜合理运用各种信息技术组织教学.
二、学情和学情分析
学生刚刚学习了函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想.对于求函数的零点，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.用“二分法”求方程近似解的过程中，数值计算的复杂程度可能是前所未有的，再者，过去是已知精确值，按要求取近似值，而这里是无法求得精确值的前提下，不得不求出近似值，并且这样的近似值可以有无数个，这对学生已有的思维体系是一个冲击，恰当地使用信息技术工具也对学生提出了新的挑战.
三、目标和目标解读
1.知识能力层面：（1）结合具体例子，让学生体会“用二分法求方程的近似解”的思想内涵，熟悉“用二分法求方程的近似解”的基本步骤；（2）能借助信息技术、用“二分法”求出给定方程的近似解.
2.信息技术层面：（1）掌握运用几何画板画函数图象的方法、Excel软件的数据处理方法；（2）能借助信息技术进行数学的观察分析与思考研究.
3.信念方式层面：（1）问题解决有困难时，增强转化化归意识；（2）在应用技术工具的过程中，从向书本学数学走向应用技术工具研究数学，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神.
四、教学过程设计
1.诱发冲突，呼唤新法
解一解：
，（2）lnx=6-2x.
方程（2）直接求解失败（冲突①），学生们画出左，右两边函数的图象，看它们的交点也得不出精确解（冲突（②，师画出图1）.
设计意图：诱发冲突，让学生认识到用已有的方法求不出有些方程的精确解，呼唤新方法.
想一想：能否想办法求其近似解呢（精确到0.1）？
生1：看图1，交点的横坐标像是2.4，或2.5，或2.6，但不知具体是哪一个（冲突③）.（众生附和）
生2：分别求出取三个值时y=lnx与y=6-2x的函数值，然后比较它们的大小…
师：这种方法可行，只是要比较几次两个函数值的大小，有繁琐之嫌，并且2.4，2.6时的大小比较也不容易（冲突④）.如果改变精确度如“精确到0.001”，还能这么观察、检验得到需要的近似解吗？
学生们普遍面露困惑（冲突⑤）.
师：其实，我们知道，求方程的解实际上就是求某个对应函数的零点，你能找到这样的函数吗？
学生们不难找到函数f（x）=lnx+2x-6，但其图象难画（冲突⑥）.师说画这个图象可以借助几何画板，接着介绍几何画板的用法，并引导学生用几何画板画函数f（x）的图象：打开几何画板，依次点击：绘图（G），绘制新函数（F），函数（F），ln，x，+，2，*，x，-，6，确定，即出现函数f（x）的图象如图2，易知零点在区间（2，3）上.
设计意图：引导学生用函数与方程思想思考求方程的解，学习用几何画板画函数图像的方法，初步感悟信息技术的优越性.
2.合作探究，引出新法
议一议：你觉得如何能求出这个零点呢？（精确度0.1）
生：看图2，零点像是2.5，但f（2.5）=ln2.5-1＜0，故零点不是2.5.
师：2.5是区间（2，3）的什么点？
生：中点.
师：零点是在区间（2，2.5）上还是（2.5，3）上？
生：看图2知f（3）＞0，结合f（2.5）＜0以及零点存在定理，可知零点在区间（2.5，3）上（众生认同）.
师：这样，零点所在区间就缩小为原来的一半了，那接下去呢？
生试探着说：接着取新区间（2.5，3）的中点.
师：很好，这样，就将零点所在区间又缩小了一半，如此将零点所在区间继续“减半”下去，我们就能求出方程的符合精确度要求的解了，这种方法就是我们今天要研究的“二分法”.
设计意图：借助学生合作交流中的思维碰撞，引出新课“二分法”.
3.操作实验，感悟逼近
悟一悟：图2中，引导学生点击：构造（C），中点（M），…，度量（M），横坐标（X），…，相应函数值的正负性显然，零点所在区间显然，因为（2，3）
（2.5，3）（2.5，2.75），零点所在的范围显然越来越小（部分画面如图3）.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围将会越来越小，即区间中点逐步逼近根的精确值.
设计意图：借助信息技术，无需复杂的计算，让学生从整体上直观感悟“逐步逼近”，再次体验信息技术的魅力.
4.理论构建，渗透算法
试一试：你能借助这个具体例子，归纳出用二分法求函数零点的步骤吗？
第一步：取区间（2，3）的中点2.5，由图2知f（3）＞0，用计算器算得f（2.5）≈-0.084＜0.故零点在区间（2.5，3）内.第二步：取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512.因为f（2.5）·f（2.75）＜0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.第三步：略（详见教材）.
设计意图：理顺探究过程，基于具体例子的解法，归纳用二分法求函数零点的步骤.
理一理：你能根据具体例子中的步骤，归纳出一般性的步骤吗？
教师引导学生，将刚归纳的基于具体例子的步骤，依次向一般性情况作迁移，如将初始区间（2，3）换为[a，b]……（详见教材）.这样，我们就得到了“按照一定规则解决一类问题的明确和有限的步骤”，这就是以后要继续研究的算法，有了算法就可以借助计算机轻松解决这类问题了.
设计意图：由具体到一般，探索归纳用“二分法”求函数零点的一般性步骤，渗透算法思想，激起学生对信息技术更多魅力的憧憬.
5.学以致用，延伸拓展
练一练：请借助信息技术工具，用二分法求方程
的近似解（精确度0.01）.
教师引导学生将方程变形为
，并令
，接着利用几何画板画出g（x）的图象（如图4），观察发现有三个零点，两个为2和4，另一个在区间（-1，0）上，并且函数g（x）在区间（-1，0）上递增，最后用“二分法”（用Excel软件计算数据）求出精确度为0.01的第三个零点，以此作为原方程的第三个近似解.
设计意图：学以致用，再次体会函数与方程思想，体验函数模型和信息技术的应用.
思一思：在怎样的条件下，可用二分法求方程的近似解呢？如方程（1），能用二分法求其近似解吗？
学生归纳，教师完善，发现二分法求方程近似解的局限性，即无法求出方程偶次重根的近似解.
设计意图：总结本次课的内容，完善学生对所学内容的理解.
读一读：课外阅读教材第91、93页的阅读材料，反思本节课的学习，并将所获所感写成小报告或小论文，课代表选择几篇优秀的成果，张贴在教室里的“数学园地”.
设计意图：引领学生在反思中深化理解，并利用教材资源，让学生感受数学文化的熏陶.
五、异构过程的反思
反思1 关于确立目标的异构
初始预设：通过具体实例掌握用二分法求方程近似解的方法，会解高考标高的相关试题.
异构思考：该目标主要是基于显性知识和应试需要，而高考中“二分法”的标高是“了解”，仅仅基于此的教学太简单也太枯燥.张奠宙先生指出：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，更包括不可言传的默会知识.基于默会知识的教学目标往往是隐性的，这节内容的隐性目标是将新课程理念、算法思想、现代教育技术的使用等相互融合.
反思2 关于课题导入的异构
初始设计：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
异构反思：在手机大众化的今天，该情境有不真实（落后）之嫌.
异构预设1：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需要及时修理，为了尽快断定故障发生点，应该如何检查接点？
异构预设2：竞猜情境导入，即猜一款流行手机的价格，由实际生活中的“对半砍”价引入“二分法”.
异构再思：猜价活动往往受生活经验影响，一般不会严格按“二分法”去“逼近”商品价格.而《数学必修①》教材的一个总体目标，是以函数为中心，二分法是作为运用函数思想求方程近似解的一种方法呈现，突出函数模型的应用；二分法的教材定位，是要以函数与方程的联系及零点存在定理作为思维基础.预设1虽然避免了落后之嫌，但它与猜价活动一样，既没有有效把握教材，也没有体现问题本质.
反思3 关于逼近过程的异构
初始预设：先借助教材中的表3-2（表略），让学生通过数据比较，发现逼近；接着在解决“试一试”时，同步依次画线段图（最终如图6），在线段逐步减半中，让学生直观地感悟逼近.
异构反思：表3-2的数据分析欠直观，图6蕴含的信息技术含量稍差.
异构设计：从图2出发，依次减半区间，借助几何画板的“构造（C）”和“度量（M）”功能，让学生无需复杂的计算也能从整体上直观感悟到区间中点逐步逼近根的精确值，从理论上，这是一个极限过程.
反思4 关于算法渗透的异构
初始预设：根据目标定位中的“算法渗透”，教学中不宜点到即止.预设为在概括二分法求方程近似解的一般性步骤之后，链接《必修③》中的算法案例，尽量让学生对算法有个较为清晰、全面的认识.
异构思考：这有一步到位之嫌，与新课标教材螺旋上升的编排特色以及分散这类难点的编排意图相背，螺旋上升式的循序渐进更适合学生的思维特点.
异构设计：先归纳具体，再迁移到一般性情形，让学生认识到这种方法的有序性、规律性，能进行判断和循环运算的特性，因而是求此类问题的一种算法.
反思5 关于技术整合的异构
初始预设：教师操作几何画板和Excel软件，通过课件向学生展示几个关键图片.
异构反思：这只是运用了信息技术的“文本功能”.
异构设计：将信息技术与教学整合，师生共同操作相关软件探索新知识.
点评：师生同步，应用信息技术研究数学问题，可强化和提高学生树立应用信息技术探索数学问题的意识和能力.
（1）提高作图、计算的时间性和准确性，突破描点法作高次函数与超越函数图象的局限性.利用计算器和Excel软件的数据处理功能，快速进行复杂的计算，避免进行枯燥、繁琐、重复的计算可能产生的不悦情绪以及对灵性的压抑，方便方法构建，凸显问题本质，增进学生理解，提高思维深刻性，利于把握重点、突破难点.
（2）给学生提供了一类验证的工具，即可快速或直观地检验某些结论的正确性，提高学生自查和反思的效果，有效提高学习热情和学习效率.
（3）将数学思维可视化，降低了数学思维的难度.如判断函数f（x）=lnx+2x-6零点所在区间的数学思维：①由对数函数lnx的定义域得函数f（x）的定义域（0，+∞）；②函数y=lnx在定义域上单调递增；③函数y=2x-6在定义域上单调递增；④所以f（x）在定义域上单调递增；⑤选几个大于0的数，并求其函数值，如f（1）=-4＜0，f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0；⑥根据f（2）＜0，f（3）＞0，⑦根据零点存在定理及④，⑧确定零点在（2，3）上，其间还运用了常数e∈（2，3）等.但由几何画板画出的图2，一看便知，简缩了数学思维，彰显了数形结合、信息技术的优越性.
（4）可提高学生运用信息技术探究数学的能力.如有几个小组的学生发现，只用几何画板，也可以得到函数零点的某些近似解：在图2中，若拉动单位点（1，0），可得到许多不同精确度下的图象，如由图7知零点约为2.535等.也有学生发现，在图1中，若拉动单位点（1，0），由于电脑画面大小等的制约，没有图2优越.这既说明求方程的近似解，一般转化为用“二分法”求一个对应函数的零点为好，也说明部分学生的类比发现、操作实践与开拓创新的能力较强.
