平面几何解题思维障碍的成因及解决策略，本文主要内容关键词为：平面几何论文,成因论文,障碍论文,思维论文,策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
思维是人脑对客观事物的本质属性、相互关系及其内在规律性的概括和间接的反映.所谓数学思维，就是以数量关系和空间形式为思维对象，以数学的语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维.数学思维障碍是指数学思维主体内部状态的紊乱和失调，阻碍数学思维活动正确进行的主观体验.学生的几何学习，是以认识和发展平面几何知识为目的的一种思维活动，在这个过程中，学生将思维建立在几何概念和定理的基础上进行逻辑推理.然而推理的过程并不是一帆风顺的，学生解题过程中会暴露出思维障碍，严重影响学生逻辑思维能力的健康发展.认真分析这些思维障碍的成因，有助于在教学中有的放矢，有效地避免和减少学生在几何学习中出现的思维障碍，对几何课堂教学具有非常重要的现实指导意义.
一、概念理解错误造成的思维障碍
概念是思维的细胞，是思维的基本单位.几何概念是几何教学的核心，是构成判断、推理的要素，概念明确是思维合乎逻辑的基本要求.如果几何概念不清，就容易陷入思维混乱，在学生的解题过程中会造成各种各样的思维障碍，究其原因是概念的理解不深刻.
案例1 如图1所示，已知AF//BC，AE平分∠GAF，BD平分∠ABC.试说明AE//BD.
对于此题，有学生的解答如下：
解：因为AF//BC，
所以∠GAF=∠ABC（两直线平行，同位角相等）.
又因为AE平分∠GAF，BD平分∠ABC，
所以∠GAE=∠ABD（等量代换）.
所以AE//BD（同位角相等，两直线平行）.
三线八角中的同位角、内错角、同旁内角，是几何入门阶段的第一道门槛，突破这道门槛，是学好平行线性质和判定的一个重要基础，又是以后学习三角形、平行四边形等不可缺少的知识.学生学习这几个概念的思维障碍主要来自以下三点：
一是概念本身.因为这三类角的定义方式是指示性定义，而且是在标准图形中定义.概念中讲的截线的同旁、两条直线的同侧，上述两个角∠EAF、∠DBC是满足条件的，但却不是同位角.学生在标准图形中识别是没有问题的，一旦有干扰线出现，就会给学生的识别带来一定的困难.
二是不会从复杂图形中分离出与解题有直接关系的基本图形.学生的识图能力差，观察图形时目标不明确，抓不到概念本质属性进行观察，因此分离不出基本图形，给识别三类角造成障碍.
三是对这三类角在教学中利用正反例变式时，正例变式图充分，但反例变式图不充分，概念外延不清，因此造成概念识别的思维障碍.
解决策略：（1）在概念教学中要进一步总结这三类角的特点，每一对角都有一条公共边（即两个角有一条边在一条直线上，两个角没有公共顶点）.识别它们的关键首先找截线，观察两个角的两边有没有一条边在同一直线（无公共顶点）上，如果没有就不是这三类角，如果有，这条线就是截线，再看是否符合定义；
（2）学会复杂图形基本化方法，从复杂图形中分离出基本图形，分离时只分离两个角，然后再对照三类角的基本图形（同位角F形、内错角Z形、同旁内角U形）及其变式，或运用定义识别.上题只要看一下这两个角即知两个角无公共边，因此不是同位角.
二、定理理解肤浅造成的思维障碍
定理是平面几何中进行推理论证的依据，要达到对定理的深刻理解，并在证题过程中能够灵活运用.如果对定理的理解肤浅，不能领会其实质，不能完整地掌握定理的条件、结论、适用范围，在证明过程中就会出现这样或那样的思维障碍，使解题过程出错.
案例2 如图2，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB//DE，且AB=DE，BE=CF，试说明△ABC≌△DEF.
对于此题，有学生的解答过程如下：
解：因为AB//DE，
所以∠ABC=∠DEF.
在△ABC与△DEF中，
所以△ABC≌△DEF（SAS）.
学生产生错误的原因是没有注意到BE、CF并不是三角形的边，也没有深刻理解三角形全等的判定条件.正确的应是利用BE=CF推得BE+EC=CF+EC即BC=EF，然后把条件中的“BG=CF”换成“BC=EF”就正确了.
解决策略：学生在学习定理时，有时不能准确掌握定理的条件与结论，对定理一知半解，是造成上述错误的主要原因，教学中如能提前知道学生易犯的错误，就可提前提醒学生不要犯类似的错误.另外，在错误发生后，应“亡羊补牢”，进行错例分析，加深学生对定理的理解.再有就是要求学生把定理用“如果……那么……”的形式进行叙述，准确把握定理的条件与结论，并用符号语言进行表达.
三、思维定势造成的思维障碍
所谓思维定势，就是按照积累的思维活动经验和已有的思维规律，在反复使用中所形成的比较稳定的思维路线、方式、程序、模式.有些学生往往在学完全等三角形后，形成了一定的解题思维，在进入等腰三角形的学习后，难以放弃全等三角形的解题经验，导致思维僵化，不能利用等腰三角形的三线合一知识灵活解题.
案例3 如图3，已知AB=AD，CB=CD.试说明AC和BD互相垂直.
对于此题，有学生的解答过程如下：
解：在△ABC与△ADC中，
所以△ABC≌△ADC（SSS）.
所以∠BAC=∠DAC（全等三角形对应角相等）.
又因为AB=AD，
所以∠ABO=∠ADO（等边对等角）.
在△ABO与△ADO中，
所以△ABO≌△ADO（ASA）.
所以∠AOB=∠AOD（全等三角形对应角相等）.
又因为∠AOB+∠AOD=180°，
所以∠AOB=90°.
所以AC⊥BD.
此题显然学生受到了思维定势的影响，在证完第一个全等三角形后，如利用等腰三角形三线合一，很简单即可得AC⊥BD：
因为∠BAC=∠DAC,AB=AD，
所以AC⊥BD（等腰三角形三线合一）.
解决策略：出现该种解法的主要原因是受全等三角形解题思维的影响，而没有想到利用等腰三角形的三线合一来证明.要使学生克服思维定势的影响，在教学中，应注意以下3点：
一是进行负迁移实例分析，以引起学生注意，也易于被学生接受.
二是要让学生深刻地理解几何学中的定理的实质，简言之，就是要知道定理的用处，如等腰三角形的三线合一，可用来证明角相等、线段相等、垂直等.
三是培养学生良好的思维品质，培养学生思维的广阔性、灵活性，使学生善于多角度地思考问题，并从中筛选出最好的办法.
四、图形干扰造成的思维障碍
学习几何学，对学生来说，从数转入形，观察的对象上发生了变化.一些学生看不懂几何图形，不能从图形中看出图形性质，空间想象能力差，因此解题过程常只从文字和数字上考虑，不善于想象出相匹配的图形，而使几何学习成为无本之木、无源之水.当图形中有重叠时，易受背景的困扰，不会从图形中分离出与解题有直接关系的点、线、角、三角形等，从而使解题思维受阻.
案例4 如图4，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外做等边三角形，试说明BE=CD.
学生在解答此题时，由于受图形重叠的干扰，找不到△ABE≌△ADC，进而得到BE=CD，以致无法解答此题.究其原因，是不会从复杂图形中分离出解题需要的两个基本三角形造成的思维障碍.
解决策略：在全等三角形教学中，要加强三角形运动图形的教学.三角形基本运动包括平移、旋转、翻折及它们的混合运动，上题两个全等的三角形实际上是一个旋转运动（如图5），学生对这个运动图形没有感性认识，因此就分离不出这个基本的运动图形.这个运动图形是由△ABE绕点A顺时针旋转一定角度（或相反运动）而成，是一个基本运动图形.在教学中，首先，要培养学生善于发现基本图形，并熟练掌握这些基本图形的构成、形式及其性质.其次，要加强观察图形的训练，在全等三角形教学阶段，观察的目的要明确，主要是观察三角形，把要说明的线段、角，转化到两个三角形中去，然后通过说明两个三角形全等，使问题得到解决.
五、发散思维不流畅造成的思维障碍
发散思维是指从同一材料探求不同答案的思维过程，思维发散于不同的方向，即从不同的方面进行思考.在几何学习中发散思维表现为依据定义、定理、公式和已知条件，思维朝着各种可能的方向前进，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种可能的途径.发散思维的流畅性，是指思维者心智活动畅通无阻、迅速灵活，善于联想，能在较短的时间内表达较多的概念和原理.流畅性是发散思维的基础.
在几何教学中，发散思维的流畅性不够，主要表现在思路不活跃，反应不灵敏，不善于联想.
案例5 如图6，已知MA为⊙O的直径，过点M作MC、MD与⊙O分别交于点C、D，且∠CMA=∠DMA，求证：MC=MD.
对于此题，有学生的解答过程如下：
证明：如图7，过点O作OE⊥MC，OF⊥MD，垂足分别为点E、F.
因为∠CMA=∠DMA，OE⊥MC，
OF⊥MD，
所以OE=OF.
因为OE、OF分别为弦MC、MD的弦心距，
所以MC=MD.
学生在证明此题时，常常只想到利用全等三角形、等腰三角形，而联想不到利用弦心距相等、对应的弦相等.究其原因，主要有以下3点：
（1）概念定理等掌握不熟，或没有真正理解定理的用处，或没有掌握证明某类问题的方法；
（2）联想思维不灵活，联想是问题转化的桥梁，灵活运用有关知识，做出相应的联想，才能为解决问题打开缺口，不断深入；
（3）思维广度不够，不能多角度、多方位、多层次地探求解题思路与方法.
解决策略：针对以上原因，在教学中，首先，要夯实“双基”；其次，要教给学生证题的方法，例如，证两直线平行有哪些方法，证两条线段相等有哪些方法等；再次，要小结遇到什么条件，就应想到什么性质或结论，为得到某个结果，需要什么条件，或需要作怎样的辅助线等.
六、转化问题过程中出现的思维障碍
几何问题的解决过程，实质上是一个问题不断转化的过程，转化的方向有两种：一是从条件出发，由因转化到果；二是由果出发，由果转化到因.这是分析问题的两种逻辑思维方法，与此对应的就是综合法和分析法.综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知.分析法是指从问题的结论出发，寻求其成立条件的方法.有的问题在解决过程中比较复杂，使用一种方法显得无能为力，这时可以将两者结合起来，从已知出发，从结论入手，结合图形，寻找出解决问题的一个会合点，进而达到解决问题的目的，即“两头凑”的方法.学生在转化问题的过程中，思路中断的原因比较复杂，归结起来有以下几种可能：
一是知识的断层，思路无法畅通.思维需要从大脑的仓库里提取相应的知识，如果所要提取的知识在大脑中还是空白或不清晰，那么，思维的线索也就会因此中断.
二是思维活动的广阔性、深刻性不够.一个具有广阔性、深刻性思维的学生，才能全面、细致、从容地考虑问题，照顾到和问题有关的所有条件，系统而深刻地揭示题目的本质和内在的规律性关系.
三是当一种解题思维受阻的情况下，不能及时调整思维方向，寻找更合理的解题方法.
解决策略：
（1）要求学生熟练掌握基础知识，在深入理解的基础上能灵活运用.
（2）注重培养学生良好的思维品质.在具体教学中，可通过一题多解、一题多变（条件变式，结论变式，图形变式，变式题组）等培养学生的良好的思维品质.此外，教学中，教师要充分暴露解题思维的全过程，分析各种可能的解法，包括走不通的思路也要展示给学生，然后放弃，不可只提供给学生一种最优化的解题方法.
（3）做好解题后的小结，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结.对自己能解答的题也要多问一下为什么能解答出来，是怎样思考的，总结思维的方法，从而总结解题规律；对不能解答的题也要总结（为什么没有解答出来，是什么地方思维有障碍），总结失败的原因，提高解题能力.
（4）提高学生元认知能力，加强解题过程中的自我认识与调控.平时教学、作业中的错误由学生独立订正，并且要剖析错误的原因.学生有问题时，要启发学生自我反思，找到问题所在，而不是把解答过程直接给学生.
综上所述，在几何教学中，学生的解题思维障碍是客观存在的.教学中要针对思维障碍的成因，对症下药，采取有效策略，切实有效纠正学生思维过程中的错误，提高学生的数学思维品质，从而提高几何教学质量.