自主招生考试面试题中与数学相关知识的考查分析与备考建议，本文主要内容关键词为：相关知识论文,中与论文,自主招生论文,面试题论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2011年11月22日，教育部网站公布消息指出高校自主选拔录取改革试点是高考制度的重要补充，要在统一高考的基础上，着力完善高校招生综合评价体系，积极探索高校自主考核与高考、高中学业水平考试、综合素质评价相结合的人才多元化评价、多样化选拔录取模式，促进创新人才选拔和实施素质教育，确保择优和公平公正.高校的自主招生考试一般包括笔试和面试两个部分.如果说笔试让高校间接认识了考生，那么面试则是二者直接的碰撞，能否擦出火花直接决定了自主招生考试的最终结果.因此，面试是高校自主招生中十分重要的环节.研究自主招生考试的面试题有助于理清自主招生面试的命题规律与发展趋势，帮助考生明确面试准备的方向，有利于引导中学教育改革向纵深挺进.
本文旨在对近几年自主招生考试中与数学知识相关的部分面试题从多角度展开分析，并提出备考建议.
一、考查分析
（一）追本溯源
在英国哲学家霍布斯眼中，数学俨然是“上帝迄今愿意赐予人类的唯一科学”.有一次他偶然翻阅欧氏的《几何原本》，看到毕达哥拉斯定理即勾股定理，他惊呼：“上帝啊！这是不可能的.”于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终被其证明过程的清晰、严谨所折服.自主招生考试的面试题中也有不少题目考查的就是基本的公式定理.
1.有理数和无理数的定义区别是什么？3的平方根为什么是无理数？（2011年复旦大学自主招生面试题）
2.三维是什么？2/3维是什么？（2011年南京大学自主招生面试题）
3.什么是勾股定理？勾股定理也叫什么定理？（2009年兰州大学自主招生面试题）
4.你是怎么理解数学中的极限？（2009兰州大学自主招生面试题）
5.在讨论函数性质时应从哪些方面进行？（2008年兰州大学自主招生面试题）
6.公理和定理有什么不同？（2006清华大学自主招生面试题）
7.为什么三角形的面积是底乘以高除以2？（2006清华大学自主招生面试题）
追本溯源问题主要考查数学知识的基本原理，包括基本概念、定理、性质等，要求考生具有扎实的数学功底，能够把握数学知识的本质，理清知识脉络.如题7可以从两个角度考虑：首先，探索三角形的面积公式从直观上可以以长方形的面积公式为切入点.中学数学中要对图形的面积进行严格的定义是一件困难的事情，面积的严格定义是测度论研究的内容：面积是某集合类上定义的集合函数，它满足非负性、有限可加性、运动不变性以及对边长为1的正方形取值为1，即：
（3）对于Ω中边长为1的正方形E，有f（E）=1，则称Ω中任一图形G在映射下的象.f（G）为图形G的面积.
由此可以给出长方形面积公式，即长乘以宽.进而利用图形的裁剪拼接推导得到平行四边形的面积公式.而任意的两个全等的三角形，都可以拼接成一个平行四边形.从而利用平行四边形的面积公式，得到三角形的面积公式.
另外，从定积分的角度看，三角形的面积公式可以由定积分推导得到：它等于底乘以高除以2.
追本溯源问题的考查还要求考生对数学知识涉猎广泛.“知识面”是考查学生学习能力的一个重要指标，在学习中学生要注意多总结、多思考，提高自学能力，拓宽知识面.如题2：空间的维数本应是一维，二维，三维等整数维的，怎么会有分数维呢？
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标的数目.普通几何学研究的对象一般都具有整数的维数.比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体等.在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学，空间维数不再只能是整数，分数维数同样可以存在.这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念.为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.
（二）纸上论“知”
自主招生考试首先通过笔试检测考生的解题能力，但面试题中也不乏通过具体的题目近距离地了解考生的解题思路.较之笔试中严谨的思维过程，面试中虽然也考查学科中理论知识的应用，但追求的是检测考生思考问题的敏锐性及信息的选择性，逻辑推理方面则较少涉及.正所谓“数学的精髓是使复杂的东西变得简单，而非把简单的东西变成复杂.”
1.请快速地说出7的平方，7的三次方，7的四次方，7的五次方的结果分别是什么？（2011年复旦大学自主招生面试题）
2.把一个正方体涂成红色，然后分成125块，有多少块两面都是红色的？（2011年山东大学自主招生面试题）
3.今天是星期三，140年前的今天是星期几？（2009年复旦大学自主招生面试题）
4.圆锥面上任意两点有没有最短距离？如果有，最短距离是什么？在圆柱面上呢？（2008年北京大学自主招生面试题）
5.1个细菌在1分钟后分裂为2个，2分钟后分裂成了4个，那么依次分裂n分钟后，细菌的个数应当是多少？（2008清华大学文科自主招生面试题）
6.一个人在平地上步行的速度为每小时4公里，上山的速度为每小时6公里，下山的速度是每小时3公里，请问，他步行5小时走了多少公里？如果把步行速度改为X，上山速度改为Y，下山速度改为Z，该如何计算？（2007年清华大学自主招生面试题）
这类试题考生相对比较熟悉，来源主要有两个方面：一是对考生平时的练习题做适当的变形.如题5、题6；二是数学竞赛题的延伸与扩展，如题3.
题5与人教A版必修一第58页的练习3（某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推，写出1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数解析式.）是同一题目不同的表述，是一道基础的指数函数的题目.而题6则更类似于开放题，它的条件和结论都是开放的.题中只是给出这个人在平地、上山、下山的步行速度（以每小时计算），但他步行5小时的具体情况是未知的，因此需要分类讨论其可能的诸种情况.考生在解决本题可能会考虑到倘若这个人在不同的地段上走的时间是用分钟为单位的，那么这5个小时内他行走的路程将会更加复杂.因此，题6也是检测考生对于信息的选择、处理能力，更内在的是对考生的数学建模能力的考查.而在最后的问题中，当三种类型的速度也成为未知量时，所体现的数学建模的韵味就更加浓厚了.
题3要求解决有关星期几的问题，它的实质就是初等数论中的“同余类”问题.同余理论一直是数学竞赛中考查的重要内容，尤其热衷于对于日期的推测判断.如果某一天是星期一，那么在它以后的第8天，第15天，第22天，第29天……以此类推，必定是星期一.原因在于这些星期一的“天数”有个共性：它们被7整除后所得的余数都是1，即属于“模7同余1”这一类.如此，有关星期几的问题就可以得到解决.例如：假设今天是2011年12月10日，星期六，求明年的今日是星期几？因为2012年是闰年，所以从今年的12月10日到明年的12月10日共过了366天，366/7=52余2，因此明年的今日就是星期一.
（三）实“境”演练
“数学精妙何处寻？纷纭世界有模型”，数学与生活是密不可分的.近几年的自主招生面试题越来越侧重从实际生活中寻找模型，检测考生是否具备用数学的思维方式解决问题、认识世界的能力.正如俄国数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachev—sky）所说的：“任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天在现实世界的现象中找到应用.”
1.假设广场上有一个巨大的球体建筑物，如何测出它的体积和表面积？（2011年复旦大学自主招生面试题）
2.有两个不规则的容器，其中一个装有7毫升水，另一个装有5毫升水.旁边还有足够的水供你使用，如何量出6毫升水？（2011年复旦大学自主招生面试题）
3.污水井的盖子为什么做成圆形的？（2010年西北工业大学自主招生面试题）
4.杯子和下水道的盖子为何多为圆形？（2010年厦门大学自主招生面试题）
5.如何统计上海公交车数量？（2010年复旦大学自主招生面试题）
6.坐标系有什么实用价值？（2008年兰州大学自主招生面试题）
7.三角函数有什么应用？（2008年兰州大学自主招生面试题）
8.说明生活是三角形物体.（2006年复旦大学自主招生面试题）
这类试题的考查，并不是想从考生那寻求“标准”的答案，而是希望通过此类试题考查考生能否找到好的解题方案，能否创造性地思考问题，是否具有较强的可塑性.如题3、题4两题的表达有些差异，但实质相同，它其实就是微软公司的一道面试题.理查德·范曼在微软公司面试时就曾经被问道：“下水道的井盖为什么是圆的？”此类题目的回答，并无固定的答案，只要言之有理即可.不妨从圆的特点为切入点，从安全（稳定性）的角度展开加以分析：
（1）圆周上过各个点的圆的直径的长度是相等的.只要将井盖外沿所在的圆的直径稍大于井口的直径，无论井盖如何放置都不会掉进井里.而在同样的材料条件下，正方形等图形则由于它的边长与对角线不等长，移动时就可能会使井盖掉入井里，所以将井盖做成圆形是最安全的.
（2）一样数量的材料做出的井盖为圆形时的面积最大.因此，无论将井盖如何放置于井口，在井下操作的工人都是安全的.
（四）包罗万象
英国数学家巴罗说过：“数学是科学不可动摇的基石，促进人类事业进步的丰富泉源.”而美籍华裔数学家陈省身老先生也曾题诗一首：“物理几何是一家，一同携手到天涯；黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞；进化方程孤立异，曲率对偶瞬息空；筹算竞得千秋用，尽在拈花一笑中.”数学虽是强调逻辑思维的学科，但它在现代社会中也充分展现出“自由”的本色，随处可见.面试题中不乏关于对“数学”学科发展的认识的考题.不仅考查考生对数学的认识，突出对学科的理解和掌握，同时也关注考生对“数学”的学习兴趣.
1.数学、物理、化学，你更喜欢哪门学科？（2011年复旦大学自主招生面试题）
2.数学在你平时的学习中起什么作用？请举例说明.（2009年兰州大学自主招生面试题）
3.数学与其他学科有什么关系？（2008年兰州大学自主招生面试题）
4.数学跟经济的关系.（2008年湖南大学自主招生面试题）
5.古代文人不学数学，现代文人要学数学，为什么？谈看法.（2008年北京大学自主招生面试题）
6.你最喜欢的一个数学公式是什么？为什么？（2006年清华大学自主招生面试题）
7.请谈一下数学以后的发展方向.（2006年复旦大学自主招生面试题）
这类题型的解答因人而异，故也相当开放.考生只要根据自身的实际情况，针对对数学的认识如实回答即可.如题6，十几年的寒窗苦读，考生脑中积聚的数学公式必定为数不少，但每个人对“美”的感知不同.笔者本人就偏爱著名的欧拉公式：
一个公式奇妙地将“五朵金花”同时绽放其中（五朵金花：0，1——都来自算术；i——来自代数；π——来自几何；e——来自分析学），各部分之间和谐而有序，美得深刻.它是自然界的神奇巧立和人类聪明智慧的综合产物，是数学中的一大杰作.透过这五朵金花，你可以窥视五彩缤纷、雄伟神奇的数学世界.
此外，此类考题可能会与考生报考的具体专业相关.因此在报考前，考生必须对自己所报考学校和专业有一定的了解，把握所报考专业今后主要的应用方向.由此也要提醒考生，要明确所报考专业的专业性科目，了解公共科目及相关内容.并且要对高中时期的数学知识进行深度的剖析，把握专业性科目同高中知识的承接，为后续学习做好准备.
（五）妙趣横生
2002年世界数学家大会在中国召开，参加中国少年数学论坛活动的陈省身老先生在会见孩子们时，曾用那支颤抖的笔和孩童般稚趣的语言为孩子们题词：“数学好玩”.可见，数学是充满趣味的.它以其稚趣的形式“娱人”，以其丰富的内容“引人”，以其无穷的奥秘“迷人”，以其潜在的功能“育人”.在自主招生面试试题中，对于数学知识、能力在趣味性中的应用也不乏其数.
1.3，4，5，6算24点.（2006年复旦大学自主招生面试题）
2.如何移动一根火柴，使得62—63=1这个等式成立？（2009年复旦大学自主招生面试题）
3.一根火柴在不能折断的前提下，如何摆成一个三角形？（2010年清华大学自主招生面试题）
4.4个杯子口朝上，每次翻3个，有没有可能全部朝下？（2011年上海交通大学自主招生面试题）
数学本身的应用十分广泛，因此趣味性的问题在生活中可以找到雏形或者就是生活中常见的游戏，如题1的24点问题.“24点”的起源已无从考究，但它具有独特的数学魅力和丰富的内涵早已令其风靡全球.简单的4个正整数，通过加、减、乘、除四则运算之后得到值24，这不仅是对数学思维能力的训练，也要求考生灵活运用四则运算，而不再作为单纯的计算工具.3，4，5，6可以通过如下运算：（3+5—4）×6得到值24.
题2、题3提到了“火柴”.题2是“火柴移动”问题，它一直是趣味数学或脑筋急转弯的常客.本题蕴含着许多数学的基本特征，其中主要是“数感”的考查.首先是对于数的形式的认识，“2”与“3”的火柴图形在只能移动一根火柴的条件下只能变成“3”与“2”或“5”，但这对于解决问题则依然束手无策；其次是对于数的关系的认识，“62”与“63”是相邻的两个数，相距“1”，因此可以发现62—63=-1或者62=63—1；最后是对于数学符号的认识，等式中涉及减号“-”与等号“=”，从图形上看二者恰好相差“-”.综合所得，只要移动原等式中等号上的一根火柴到原减号上面，等式当然成立.而题3更确切地说是物理中的光学问题.若为三角形，则图形必须存在3条两两相交的直线（线段），题设中的火柴是不能折断的，因此确实存在的火柴仅能构成三角形的一边，其余两边只能通过媒介制造出火柴的“影子”，进而由火柴与火柴的“影子”构成三角形.而“影子”的产生自然而然地需要从物理的光学知识中去寻找发现，因为光线下的图形是可能发生折射、反射等情况的.题4用列举法可以发现，4个杯子口全部朝下的情况是可能发生的（对杯子进行标号①②③④）：
事实上，当n为偶数时，n个杯子口朝上，每次翻n-1个，则n个杯子口朝下的情况是可能发生的.本题的本质就是整数的同余类问题.
二、备考建议
越过笔试的“高山”，迎面而来的就是面试的“险峰”.俗话说“不怕山高，就怕腿软”.要在面试中取得高分，简言之：“胸中有墨，从容自信”.具体的应对策略包括几个方面：
（一）注重积累，融会贯通
面试是一个互动的测试，题目是无法预测的.它与笔试不同，依靠应试来复习，拼命做题、背记公式也是行不通的，主要还是看考生平时的积累.首先，要掌握基础知识、基本技能，实现真正的融会贯通；其次要有科学的态度，追根到底的精神；再次，要关心身边的科学现象，多思多想，扩展知识面.
（二）“培养”创新，提升能力
面试的标准与其他考试不同，其中的问题，多数都保留有较大的自由发挥的空间.考生回答的对与错固然重要，但并不起决定作用.面试过程中自然而然地体现了考生思维的发展及思想的深度，专家会依据经验分析考生的可塑性.因此，独特的见解、创新的思维备受专家的青睐.这也要求考生在平时学习中要注重能力的培养，包括观察能力、表达能力、想象能力、协作能力和创新能力等.
（三）把握细节，平和心态
所谓“细节决定成败”.面试前：准备要充分，包括对面试的学校和专业的了解等；面试时：举止要得体，要有礼貌，态度和眼神要在自信中流露出谦逊，回答的内容要真实可信，回答问题时要用简洁而富有逻辑的语言把握问题的本质.
所谓“心态决定状态”，自主招生考试增加了考生被录取的机会，因此对自主招生考试不要过于轻视也不要太过重视.保持平和的心态，冷静的思考，严谨、全面的回答问题是整个面试的关键.