概率与统计中综合问题的求解策略，本文主要内容关键词为：概率论文,策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文就概率统计综合问题的求解，举例导析解题过程中的思维策略，梳理知识、掌握方法，希望能对同学们的学习有所启示.
例1 （2001年高考题（新））如图1，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N[，1]、N[，2].当元件A、B、C都正常工作时，系统N[，1]正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N[，2]正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90.试分别求系统N[，1]、N[，2]正常工作的概率P[，1]、P[，2].
附图
分析 本题主要检测运用概率知识分析和解决实际问题的能力.只须分清事件的性质，利用概率公式解题.
解 分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件P（A）=0.80，P（B）=0.90，P（C）=0.90.
（1）因为事件A、B、C是相互独立的，所以系统N[，1]正常工作的概率为P[，1]=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.故系统N[，1]正常工作的概率为0.648.
（2）因为元件A正常工作与元件B、C至少有一个正常工作相互独立，而B、C没有一个正常工作的概率为P（
·
），于是B、C至少有一个正常工作的概率为1-P（·），从而系统N[，2]正常工作的概率为P[，2]=P（A）·[1-P（·）]
=P（A）·[1-P（）·P（）].
又P（）=1-P（B）=1-0.90=0.10，P（）=1-P（C）=1-0.90=0.10，
故P[，2]=0.80×（1-0.10×0.10）=0.792.
于是，系统N[，2]正常工作的概率为0.792.
评注 ①解题关键点：正确理解相互独立事件同时发生的概率和互斥事件至少有一个发生的概率及其计算方法.
②解题方法：在（2）问中，关于元件B、C至少有一个正常工作的概率也可这样进行计算：P（B）[1-P（C）]+P（C）[1-P（B）]+P（B）P（C）=P（B）+P（C）-P（B）P（C）=0.99，（以下略）.
③解题技巧：将元件B、C至少有一个正常工作的概率，转化为元件B、C没有一个正常工作的概率，利用了补集的思想.
④解题易错点：容易混淆“相互独立事件同时发生”和“互斥事件至少有一个发生”的区别和联系，并用错它们的概率计算公式.只有互斥事件A与B，才能运用公式P（A+B）=P（A）+P（B）；只有相互独立事件A与B，才能运用公式
P（A·B）=P（A）·P（B）等.
例2 （2004年高考题（津））从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率.
分析 本题考查等可能事件的概率计算.
（Ⅰ）所选3人都是男生的概率为
（Ⅱ）所选3人中恰有1名女生的概率为
（Ⅲ）所选3人中至少有1名女生的概率为
评注 剖析事件，分清事件属于哪种类型，会用排列组合的公式计算等可能性事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
例3 （2004年江苏南通调研题）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为（
）.
A.5/7 B.7/10 C.24/35 D.47/70
分析 4个点不共面的情形比较复杂，不妨考虑问题的反面，用分类讨论法求解.
解 从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有C[，10][4]=210种，它可分为两类：4点共面或不共面.
如图2，4点共面的情形有三种：
附图
取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD内），这样的取法有4C[，6][4]种；
取出的4点所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH与AC、BD平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD、BC与AD、AB与CD）；
取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），这样的取法共6种.
综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为C[，10][4]-（4C[，6][4]+3+6）=141种.
故所求的概率为141/210=47/70，答案选D.
评注 ①解题关键点：将概率的计算正确地转化为组合问题的计算，以及对共面情形的正确分类.
②解题技巧：解答该题时，对于4点的共面或不共面的关系虽然只有两种，但4点不共面的情况较为复杂，故可考虑问题的反面：4点共面的情况，它不仅分类清楚，而且容易计算.故本题的间接解法（含分类讨论的思想）优于直接解法.
③解题探源：该题是1997年高考题的改编.原考题为：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（
）.
A.150种
B.147种
C.144种
D.141种
因此，掌握好排列组合的应用题至关重要！事实上，概率中有相当一部分问题，是由排列组合问题经改编而来的，这类概率问题往往是排列组合等应用问题的深化.
④解题易错点：分类不正确，本题中出现更多的是遗漏.
例4 将两颗骰子投掷一次，求：
（1）向上的点数之和是8的概率；
（2）向上的点数之和不小于8的概率.
分析 骰子共有六个面，每个面上分别标有1，2，3，4，5，6的数字，投掷两颗骰子共有C[，6][1]C[，6][1]=36种情况，分清点数之和为8以及不小于8的各有那些情况，然后利用等可能事件的概率及互斥事件至少有一个发生的概率进行计算.
解 将两骰子投掷一次，共有36种情况，向上的点数之和的不同值共11种.
（1）设事件A=｛两骰子向上的点数之和为8｝，事件A[，1]=｛两骰子向上的点数分别为4和4｝，事件A[，2]=｛两骰子向上的点数分别为3和5｝，事件A[，3]=｛两骰子向上的点数分别为2和6｝，则A[，1]与A[，2]、A[，3]、互为互斥事件，且A=A[，1]+A[，2]+A[，3]，故
P（A）=P（A[，1]+A[，2]+A[，3]）=（1/36）+（2/36）+（2/36）+（5/36）.
（2）设事件S=｛两骰子向上的点数之和不小于8｝，事件A=｛两骰子向上的点数之和为8｝，事件B=｛两骰子向上的点数之和为9｝，事件C=｛两骰子向上的点数之和为10｝，事件D=｛两骰子向上的点数之和为11｝，事件E=｛两骰子向上的点数之和为12｝，则A，B，C，D，E互为互斥事件，且
S=A+B+C+D+E，P（A）=5/36，P（B）=1/9，P（C）=1/12，P（D）=1/18，P（E）=1/36，故P（S）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）+P（E）=（5/36）+（1/9）+（1/12）+（1/18）+（1/36）+（5/12）.
评注 ①解题关键点：两骰子向上的点数之和的各种不同值的事件是互为互斥事件，分析清楚点数之和为8及不小于8的所有可能情况.
②解题规律：两骰子向上的点数之和的各种不同值事件的概率分别为（P（n）表示两点数之和为n的概率）：n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12P（n） 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/9 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
显然，P（1）+P（2）+…+P（11）+P（12）=1.
③解题易错点：两骰子向上的点数之和的各种不同值事件的概率是不相同的.如两骰子向上的点数之和为1的事件的概率为0，它是不可能事件；而点数之和为12的事件的概率为（1/36），它仅有一种发生的可能.
例5 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男孩、又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝，对下述两种情形，试讨论A与B的独立性（考虑先后出生的顺序）：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
分析 所谓两个事件A与B相互独立是指：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，它们的概率满足P（AB）=P（A）P（B），于是本题可直接利用定义法求解.
解 （1）有两个小孩的家庭，其小孩有｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝四种情况，由等可能性知，概率各为（1/4）.这时：
A=｛（男，女），（女，男）｝，B=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝，AB+｛（男，女），（女，男）｝.于是P（A）=1/2，P（B）=3/4，P（AB）=1/2，由此可知P（AB）≠P（A）P（B），所以事件A、B不相互独立.
（2）有三个小孩的家庭，其小孩的情况有｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝八种的情况，由等可能性知，概率各为（1/8）.这时A=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）｝，含有6个事件；B=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，含有4个事件；AB=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，含有3个事件.于是，P（A）=6/8=3/4，P（B）=4/8=1/2，P（AB）=（3/8），满足P（AB）=P（A）P（B），所以事件A、B是相互独立的.
评注 ①解题关键点：准确理解样本容量的含义并列出所有样本，正确理解等可能事件及相互独立事件的意义，正确运用概率计算公式。
②解题规律：定义法就是直接运用定义来解决问题的一种方法，包括对数学概念、定义、法则的深刻理解，及对某一具体事项操作过程或演变规律的正确把握.“回到定义去！”是著名数学教育家G·波利亚先生提出的一个忠告.用定义法解题，体现在数学的各个方面，它是一种最直接、重要且基本的方法.
③解题易错点：两个事件是否相互独立，不能凭主观猜测，而应运用相关知识去正确地判断.