直觉主义逻辑中的否定词，本文主要内容关键词为：直觉论文,逻辑论文,主义论文,否定词论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B815.9 文献标识码：A 文章编号：1000-7600(2003)03-0122-07
直觉主义逻辑HQC与CQC的区别并不完全在否定词上，例如
确实“否定词比其他的直觉主义逻辑联结词有更多可疑之处”(Dummett 1977P.291)。
直觉主义逻辑否定词存在的可能性
研究HQC中的否定词的一种方法是将它看作暗含在HQC的公理和定理中，这是一种语法定义。因为直觉主义认为数学推理不能被完全形式化，所以语法定义违背了直觉主义的精神。直觉主义对逻辑常元的接受是从外部给出的，我们必须研究被直觉主义者所给予的否定的的非形式定义。
Heyting认为：命题“C不是有理数”指称期望从假定“C是有理数”推出一个矛盾，断定“C不是有理数”指这种期望得到了实现(Heyting 1931)。
该定义的麻烦在于是循环定义，因为我们理解矛盾的概念又要涉及到一个断定和它的否定，但Heyting在面对质疑时仍坚持“矛盾”是一个初始概念，是足够清晰的，它非常难归于更简单概念(Heyting 1956 p.98;1974 p.39)。显然这难以说通。Dummett对此的解决方案有两个：
第一种方法是选择某一个荒谬语句，如0=1,
的证明，Dummett为它提供了合理性：①我们有系统的演绎方法从0=1推出任何关于数的等式并且我们从0=1能够证明每一个算术语句；②非算术语句通过标准的推理能从0=1推出并非显然，但我们将0=1的任何证明同时视为任何其他语句的一个证明。
第二种方法是：假定原子命题的真假可以通过可计算程序给出，此时，
(Dummett 1977 PP.13-4)。
正如Hossack所指出的，Dummett仅仅说当我们有一个
也可以，关键问题在于：Dummett想说明0=1可以推出所有这些荒谬的语句，并没有说明所有这些荒谬的语句可以推出0=1，所以第一个解决方案是不能令人满意的。第二个解决的前提假设有问题，因为并非每一个原子语句的真假都可以通过可计算程序给出(Hossack 1990)。
第三种定义是C.wright给出的，“p的否定在下列情况下是可以合法地断定的：∑是知识状态且能被确认地断定，∑能确认地保证：p不能被接受”。
该定义有两个问题：①除非我们已经首先构造了系统∑的一致性的证明我们是从来不能断定任何命题的否定；②该定义也是循环的，因为它用了“不能”，而这是要用否定说明的。
由此，Hossack认为直觉主义否定只有在通过一个类似于语义上升到元语言的过程才能被理解。这一点在C.wright的定义中是明显的，因为首先要判定一个知识系统才能判定p的否定。Dummett的定义也是如此，论证如下：假定L(t)指数学语言中满足下列条件的那部分：首先，任何属于L(t)的命题p的意义不是通过真值条件而是通过可断定条件给出，其次
的意义的解释不是断定无论什么时候p本身不可以断定，而是如果我们有p→0=1的一个证明就可以被断定，所以否定有一个可分离的正的断定条件；再次，变元t意指时间。如果惟一可得到的语言是L(t)，那么对于任意一个命题来说表达思想“它的断定条件没有得到”将是不可能的。“断定条件得到”的思想在某种意义上能通过命题本身表达，但是没有语句表达“断定条件没有得到”的思想，对这样一个语句的惟一可能的候选者是那个命题的否定，但这样的思想本身不能在L(t)中表达，定义M(t)为足够表达对于L(t)的有才能的用者所有可表达的思想，那已经是语言不同层次上的使用，从某种意义上说M(t)是L(t)的元语言(Hossack 1990)。
我们可以真正有一种能力纵览所有存在的证明，并且用所有先前的证明的整体去构造一个新的证明，但是这要求我们采纳元语言的立场，新的证明必须在元语言M(t)中表达，因为它不能在L(t)中表达。L(t)的用者必然有一些思想仅仅能在M(t)中表达，而不能在L(t)本身中表达，第一个我们认明的这样的思想就是“某一命题的断定条件没有得到”，它能在M(t)中通过“p还没有被证明”表达，然而它不能在L(t)中表达。注意这里直觉主义否定与经典否定有明显的不同，经典否定的用者也需要有能力表达那种思想：p的真值条件没有得到，但如果系统配备一个经典否定的符号，那么这个思想就总是能在经典语言本身中表达，所以，经典语言的用者，不像L(t)的用者，没有那种在经典语言中不能被表达的任何思想。
直觉主义一直强调数学的构造性，那么否定词是不是必需的呢？
Griss反对在数学中用否定词，他完全同意Brouwer关于数学本性的基本思想，但他坚持每一个数学概念都可以有一个数学构造的起源，这个构造能实际上实现，如果构造是不可能的，那么那个概念就不可能是清楚的。他试图重建没有否定词的直觉主义数学，并且在这一方向上取得了一些重要的成果。
对于Griss的观点，Brouwer表示明确的反对，他指出有本质上否定性的性质，他举了一个例子加以说明。假定α是一个不能检验的数学断定，即，没有方法被知道去证明它的荒谬或它的荒谬的荒谬。
理想数学家IM能与α相联系按照下列规则创造出一个无穷进展有理序列：
……。
(1)理想数学家IM在选择
的过程中若既没有得到α的真也没有得到它的荒谬，那么每个选为0；
如果ρ＞0成立，那么ρ＜0将是不可能的。因此α从来不能被证明是荒谬的，α的荒谬的荒谬就会被知道，α将是检验的，而实际上我们假定它不是，所以ρ＞0不成立；
同理可证ρ＜0不成立；
最后假定ρ＝0成立，在这种情况下，既不是ρ＞0也不是ρ＜0能被证明，因此，既不是α的荒谬也不是α的真能得到证明，α的荒谬和α的荒谬的荒谬将被知道，这是矛盾的，所以ρ＝0是荒谬的，换言之，ρ和0是不同的。因此，对于ρ和0，否定性的性质ρ≠0成立，而ρ＞0和ρ＜0都不成立，更不用说它们的构造性质
虚序关系＞也是一个本质上否定性的关系(Brouwer 1948)。
这里，无限序列的构造依赖于不能检验的数学命题存在的可能性，如果我们肯定这类命题存在，那么确实会有本质上否定性的性质存在。但是直觉主义者并未明确说这类命题存在，若他们肯定存在则有悖于他们的基本精神。所以对于直觉主义者来说更准确的说法是可能有这类命题存在，所以也是可能有本质上否定性的性质存在，而不能说一定有这种性质。
从ELMQ看HQC的否定词
Heyting指出直觉主义的假是“道理上的”，而不像经典逻辑是“实在上的”，直觉主义的“否定”是一种强否定。由于弱否定，即事实上的假在直觉主义者那里是不可接受的，所以在Heyting所构造的系统中并没有两种否定存在，而仅有一种强否定。Von.wright区分了强否定和弱否定，构造了含有两种否定词的逻辑系统，并与HQC进行了比较，我们从此角度来看看Heyting系统的合理性。
Von.wright是从主谓形式的命题区分强否定和弱否定，讨论它们的性质，然后不加论证地推到其他所有命题。主谓命题：x有性质p，它的否定有两种形式：x没有性质p；x有性质非p，这两种命题虽然不同，但它们之间有联系，后者可以推出前者，但反过来不成立，也就是说，后者比前者更强，将前者称为弱否定，后者称为强否定，强否定既是肯定又是否定，称为否定性的肯定或极小肯定；弱否定仅仅是否定。由此，Von.wright构造了包含两种否定词的命题逻辑系统和谓词逻辑系统。
1.ELP(Extended logic of proposition)：
公理：
推理规则：
R1.代入规则；R2.分离规则；R3.等价置换规则。
可以由该公理系统得到一些重要定理，例如：
由于～（a∧～a）是ELP的定理，而CPC（经典命题逻辑）中的所有重言式等价于～（a∧～a），所以CPC是ELP的子系统。
2.CLMQ (Classical logic of monadic quantification)：
（注意：B1被分成C1和C2两条公理，B2被分成C3和C4两条公理）
推理规则：R1.代入规则；R2.分离规则；R3.等价置换规则；R4.将ELP中的定理中的命题变元换为ELMQ中的命题变元所得到的公式。该条保证了ELMQ是基于ELP的。
下面重要公式是ELMQ的定理：
等都不是ELMQ系统中的定理(Von.Wrigit 1959)。
Von.wright的强否定和弱否定的区分与直觉主义对强否定和弱否定的区分是不同的,Von.wright的强否定与直觉主义的否定是不相同的。但是HQC与ELMQ之间有很多相同的性质，例如，排中律不成立；矛盾律成立；
尽管有这些不同，Von.wright并未放弃ELMQ应该是直觉主义逻辑的形式化的断言，相反他对HQC持怀疑态度。我们知道Von.wright是从主谓形式的命题出发来区分两种否定的，没有多大论证地将由此得出的不同也推广到非主谓形式的命题上，而且，强弱本是一个相对的概念，他把强否定和弱否定绝对化，所以不可避免地认为直觉主义如果要区分强否定和弱否定，由此构造的逻辑系统就应该是ELMQ。HQC与ELMQ是不同的，所以在Von.wright看来HQC是错误的，原因在于HQC中仅有一个否定词。
Von.wright认为，构造一个仅包含直觉主义强否定的形式系统是合法的，但是如此的形式系统有几个缺陷。首先，表面看来，HQC与CQC是两个关于同一个否定的两个相互竞争的理论，直觉主义者就倾向于这么看，事实上两种理论所对待的是不同的对象，即两种否定概念。其次，仅仅包含一个非经典否定的形式系统是难以处理的，也是意思不清楚的。再次，不能确定的是我们想对非经典否定说的每一件事情在没有经典否定的帮助下能完全表达。指出这三点缺陷后，Von.wright认为任何仅包含非经典否定的形式系统很难避免在它自身的否定和经典否定之间偶然的混淆，所以它的否定概念很可能是经典否定和它所要区分的否定概念之间不怎么适当的混合物。Von.wright对HQC所作的批评是很有见地的，我们在关于直觉主义的文献中，特别是在与其他逻辑的比较中，经常看到HQC的否定词是一个混合物。
Von.wright批评直觉主义对于接受
直觉主义的否定词确实是一个与经典逻辑不同的否定词，可直觉主义者认为经典否定在数学中根本没有地位，不应该存在，所以直觉主义的否定根本不能与经典否定来比较强弱，强调直觉主义的东西与经典的不可比，从经典逻辑角度来理解直觉主义逻辑是直觉主义者不能接受的，直觉主义者就经常强调这种不可比性。但对经典逻辑学家来说，理解直觉主义的
东西就是在经典的假设下强调构造性，即可构造的理论，从这个角度来看，确实
不成立，也就是说，存在的不一定是构造的，但构造的一定是存在的。
直觉主义的否定尽管与Von.wright的强否定有一点相似的地方，但两者提出的角度是不一样的，直觉主义的否定与Von.wright的强否定都强调比经典否定有更多的认识上的特性，前者强调“道理上的假”而非仅仅“实在上的假”，后者肯定了
与a是同类的，例如“这片叶子是红色”的强否定是“这片叶子是非红色”，说明这片叶子仍然是有颜色的，只不过不是红色。将对主谓形式的命题两种否定的区分所得到的强否定的性质不加论证地推广到所有比经典否定要强的否定词上是没有根据的。
直觉主义是不接受经典否定词的，所以他们构造的形式系统只有一个否定词，但仅含有一个非经典否定的系统存在Von.wright所说的缺陷，真正符合直觉主义精神的形式系统应该是包含有两个否定词的，即使将经典否定作为虚拟的也好，然后我们可以将系统内含有否定词的定理分为三类：①仅含直觉主义否定的；②仅含经典否定的；③既含经典否定又含直觉主义否定的。①作为直觉主义的推理规则；②作为经典的推理规则；③作为从经典否定角度来理解直觉主义否定的推理规则。
ELMQ仅在否定词上作出区分，而我们知道直觉主义的蕴涵、析取、存在等与经典的也不相同，按照Von.wright的观点，在形式系统中也要作出区分，如果含有两个否定、两个析取、两个存在等的形式系统存在，也是非常复杂的，而且很可能它们之间的关系根本就没有办法形式地表达出来，从这种角度来看，ELMQ作为直觉主义逻辑的合理性也是成问题的。
本文认为严格按照直觉主义的观点，直觉主义逻辑HQC面临着两难的境地。若仅从公理和推理规则来理解直觉主义否定则又违背直觉主义精神；从外部给出联结词，仅用一种联结词，则可能被误为经典联结词与非经典联结词的混合物；若用两种联结词，两种联结词之间的逻辑关系很可能根本就没有办法形式地表达出来；若从Heyting系统能得到什么定理和哪些原来是经典逻辑的定理现在不是Heyting系统中的定理来看待，以此发现它们之间的区别，这样的理解是不自觉地将直觉主义的联结词完全等同于经典逻辑的联结词，但抛弃经典逻辑的定理而赋予所有逻辑记号以它们的通常意义是不可能的，因为一个逻辑记号的意义是由引进它的逻辑公式所决定的，而由引进的逻辑公式所决定的联结词的意义是完全不同于经典逻辑的(Kneale 1962 P.840)；最后一种理解是独断论的理解，直觉主义逻辑与经典逻辑是不可比的，直觉主义推理规则是依赖于个人的心智构造，不可理解也不可交流的，此时直觉主义逻辑是神秘主义的。
否定词规则：语法规则还是逻辑规则？
Heyting系统与ELMQ的显著差别在于对
的接受和拒绝上，本文认为Von.wright的论证和Heyting的论证都是没有多大说服力的，但同时又都有一定道理。Huw price的观点为他们之间的争论提供了一个很好的视角，Huw price认为，否定算子原初是表示或明或暗被察觉到的不一致性，我们应该将它按不一致性的原始概念来解释。Huw price证明了相信
不是一个逻辑规则，因而不能按照一般证成逻辑规则的方法去证明，它是一个语法规则，语法规则在某种程度上由语言的功能所限制，经常反映特定语言任务的需要(Huw price 1990)。从这种角度来理解，HQC、CQC和ELMQ各自的选择都有一定的合理性，但都不是绝对的。从逻辑到语法的改变戏剧性地转换了几种逻辑之间争论的性质，没有人期望语法规则在推理中扮演一个重要角色或展示必然性和富有成果之间的结合，而这种结合在作为逻辑规则的时候是有疑问的，逻辑原理是需要证成的，而不管它是否是一个好的规则，相反，语法原理仅仅需要从侧面给予支持，例如简单性、明晰性等等。Huw price的看法是，经典逻辑似乎有更多的优点，但并不排除直觉主义和Von.wright的对待，可以说Huw price对待否定的问题上是多元主义的观点。我们认为，仅仅在二值假定下的经典真值表规定下，
a的接受都不是绝对的，都只有某一角度的合理性。
HQC中两条公理的合理性问题
按Brouwer的观点，否定命题是存在的，此时我们才能讨论关于否定的推理规则的合理性。Heyting系统中的两条公理是不是符合直觉主义精神呢？
首先看
的证明，但是构造α和构造β并不一定相同，所以没有理由保证一定存在一种构造γ加到p的构造性证明上会得到q的证明且
的证明。
结论
直觉主义否定只有在通过一个类似于语义上升到元语言的过程才能被理解，要想在一个系统中断定一个语句的否定必须引进元语言，这个元语言可以对整个系统纵览，否定存在的前提是封闭类。否定算子原初是表示或明或暗被察觉到的不一致性，我们应该将它按不一致性的原始概念来解释，否定词是一个语法上仅使肯定和否定联结在一起的算子。
从逻辑上是不可解决的，它们不是逻辑规则，因而不能按照一般证成逻辑规则的方法去证明，它们是语法规则，语法规则服务于语言的功能。直觉主义逻辑面临着两难的境地，若仅从公理和推理规则来理解直觉主义否定则又违背直觉主义精神；从外部给出联结词，仅用一种联结词，则可能被误为经典联结词与非经典联结词的混合物，若用两种联结词，很可能它们之间的关系根本就没有办法形式地表达出来。由此我们能体会Heyting晚年（1978年）对直觉主义逻辑的悔恨，“我懊悔我的名字主要与直觉主义逻辑形式化而为大众所知，而这一工作是非常不完美的，并且包含了很多错误，它对我终其一生为达到对Brouwer的观念的理解和正确的欣赏并没有多少帮助，这一工作转变了公众的注意力，即从主导的观念到形式系统”(Troelstra 1990 PP.4-5)。