数学模型思想及其教学策略初探，本文主要内容关键词为：数学模型论文,思想论文,教学策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”中提出“发展学生的‘模型思想’”，并指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的联系的基本途径.那么，到底什么是模型思想？小学数学教学中模型思想有着怎样的教学意义？教学实践中又该如何发展学生的模型思想？这些问题，引发了笔者的深入思考.
一、数学模型思想的意义及表征方式
数学模型是“针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出一种数学结构”，且应该是一种“借助于数学概念和符号刻画出来某种系统的纯关系结构”.数学模型思想，即是以数学概念和符号刻画数学结构为内容的，在扬弃一切非本质属性的同时，逐步抽象、提炼出数学结构的思维过程.研究表明，建立数学模型的过程一般分为三步：一是提出问题并用精确语言表达；二是分析数量关系并进行数学抽象；三是求解并解决实际问题.
从模型思想的概念及数学模型建立的过程来看，小学数学中许多知识的学习均体现了数学模型思想.笔者现以《加法的认识》为例，具体分析数学模型思想的意义及表征方式.
首先，加法的产生源于实际问题的解决.如下图，用“2个方块与3个方块合成一个长方体”的问题情境：
其间，“2个”方块和“3个”方块分别作为两个不相交的有限集合A和集合B中的元素，在合并成一个新的集合C（即集合A与集合B的并集）后，成为一个大长方体.这个过程，当我们用精确的数学语言来表达时，便产生了“2+3=5”这样一个数学模型.显然，“2+3=5”是有限集A（2个元素）和B（3个元素）合并成并集C（5个元素）的过程的抽象与提炼，是一种形式化的表达.而当有了“2+3=5”这样一个模型来表达“‘2个’元素与‘3个’同类元素合并产生了‘5个元素’”的新形式之后，以下类似问题便同样有了解决的依据及表达的形式.
（1）小军扎了2朵小红花，小英扎了3朵小红花，两人一共扎了几朵小红花？
（2）爸爸出差，坐火车用了2个小时，坐汽车用了3个小时，一共用了几个小时？
（3）保安叔叔要用绳子捆扎废品，扎旧报纸用了2米，扎硬纸板又用了3米，一共用了多少米的绳子？
这些问题在解决的过程中，均是属于“2个”元素集与“3个”同类元素集进行“合并”的问题，抽象成数学表达式，即为“2+3=5”.事实上，只要是属于“2个”元素集与“3个”同类元素集“合并”成新的集合的问题，均可以用“2+3=5”来表达.也就是说，“2+3=5”这个算式虽源于具体的情境问题解决的需要，但当其从情境中提炼出来后，作为模型则又蕴含着更高一层的价值了.这就是模型思想的基本意义.
再则，从对“加法”的认识来看数学模型的建立过程，其又体现了数学模型的两种表征方式：一是思维表征，它体现在思维过程中，具有隐性特征.“加法”作为一种数学模型，首先是一种思维模型.因为“加法”表达的是两个数合并成一个数的过程，在数学上，只要是属于把两个数（或量）合并起来，即可以用加法进行运算.二是形式表征，它反映在模型的形式表达中，具有显性特征，也即加法其实是一种形式模型，表现在加法可以通过一个“a+b”这样的表达式来表示两个数合并的过程.
事实上，数学模型这种“思维模型与形式模型双重表征”的构建过程，在其他数学模型的构建过程中同样有所体现.如“加法交换律”，在思维模型层面上，因为有“一个加数与另一个加数交换了位置之后，和不变”的过程经历，所以在形式模型的层面上才有“a+b=b+a”的表达式；再如“长方形面积的计算公式”，同样有思维模型“长方形的‘长’与一行摆面积单位的个数，‘宽’与可以摆这样的几行”的过程的经历及体验之后，才从本质上有深刻认识形式模型“长方形的面积=长×宽（或S=a×b）”含义的可能.
二、数学模型思想的教学策略
在教学实践中，数学模型无论是思维表征的过程，还是形式表征的归纳，均需要有以下两个基本的教学过程作支持.
（一）从“境”到“型”，通过抽象归纳，感悟、理解数学模型结构化、简约化的特征
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的联系的基本途径”，其过程中最基本的路径是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题或数学事实，然后用数学语言表示出数学问题中的数量关系或变化规律.这也是数学模型思想建立的第一个层次.实践中，我们可以从以下两个方面来引导学生去体验.
1.拉长从“境”到“型”的过程，引导学生充分体验
对于小学生而言，其数学学习的过程，不仅仅是一个形式学习的过程，更多的是经历、体验、探索数学知识产生的过程，是在积累丰富的数学学习经验的基础上，习得数学学习技能与方法的过程，模型思想的发展也不例外.比如学生对“运算律”的学习，因为“运算律”是一种高度抽象的数学模型，但它源于运算，所以与四则运算一样，它与现实生活有着密切关系.因此在教学中，我们突出“运算律”产生的现实背景，为学生建构“运算律”提供经验支撑，从而很好地拉长数学模型建立的过程，为学生深刻理解掌握“运算律”创造条件.
比如“加法结合律”，人教版教材用了这样一个现实问题来引入（如下图）.因为求“三天一共骑了多少千米”就是把每天骑的路程合并起来，在合并计算时，既可以先合并第一天与第二天行的路程，再与第三天合并；当然也可以先合并第二天与第三天行的路程，再与第一天合并，用算式表示即为：（88+104）+96=88+（104+96）.当学生借助这样的现实情境来理解“三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变”的道理，便有了生活经验作支持.
再如“减法的性质”，教材又提供了这样一个现实问题（如下图）.因为要算“还剩多少页没有看”就是要从总页数中去掉已经看过的页数，那么可以从总页数中先减去第一天看过的页数，再减去第二天看的页数；还可以先把两天看的页数合并起来，再从总页数中一起减去；又可以先减去第二天看的页数，再减去第一天看的页数，都能得到最终结果.因为有了具体情境作支持，要理解a-b-c=a-（b+c）=a-c-b这样的结构模型也就不太难了.
2.实施多“境”成“型”的教学活动，引导学生充分体验归纳数学模型的思维过程
数学模型的抽象提炼不只限于对某一个问题的分析与归纳，它更应该是在对同类事件的共同特征进行分析研究的基础上，归纳提炼而成.因此，在引导学生归纳数学模型的教学活动中，一般需要提供多个具有同类数学原型的实际问题，引导学生在解决问题的过程中发现规律、抽象规律、表达规律.
如上面提到的“长方形的面积计算”，作为一种数学模型，它的归纳提炼是经历了多个相似事件的研究后才形成的.实践中，我们可以这样来设计教学过程：
为每位学生提供四个没标数据的长方形学具（长3厘米，宽2厘米；长4厘米，宽3厘米；长5厘米，宽4厘米；长15厘米，宽10厘米），然后引导学生经历以下学习过程.
（1）用面积单位摆满，体会所用面积单位的个数就是该长方形的面积.
（2）先估后操作验证，反馈操作方法，引导学生比较“摆满”与“只摆一行一列”两种操作方法的异同，重点突出“一行摆几个，可以摆这样的几行”的观察与思考.
（3）先口述方法，再操作，重点突出“先横着摆一行，再摆几行”的方法，引导学生体会所列算式求得长方形面积与每行所含面积单位个数及行数之间的“关系”.
（4）直接说方法，并思考“知道长15厘米，可以知道什么；知道宽10厘米，又能够知道什么”，重点理解“长与沿长边可以摆的面积单位个数，宽与沿宽边可以摆面积单位的行数”之间的对应关系.
在这四个活动中，虽然学习方式有所不同，但基本目标均在引导学生体验“一行一列与长方形面积计算方法之间的关系”，为学生归纳提炼公式“长×宽”作准备.活动中，情境在变化，但思维模型却一以贯之，于是形式模型“长×宽”的得出就显得比较自然了.
综上所述，我们不难发现，在从“境”中提炼出“型”的过程中，无论是思维表征，还是形式表征，学生思维的介入及其从隐性思维层面到显性思维表达的活动设计，是帮助学生感悟、理解数学模型结构化、简约化的必要条件.
（二）从“型”到“境”，通过演绎解构，深化理解数学模型包容性、应用性的特征
以数学模型的形成来看，从“境”到“型”的过程，更多是数学模型从思维模型状态向形式模型状态转变的过程；而从“型”到“境”则是数学模型从形式模型状态再次回到思维模型状态，是帮助学生进一步积累模型经验，从而提升数学模型的应用水平的过程.教学中，这样的过程一般实现在两个应用水平层次上.
1.数学模型的基础性应用水平
在课堂教学中，当学生基本掌握了相关的数学模型之后，需要引导学生把数学模型推广到一般情况中去，从较普遍的意义上理解数学模型，从而掌握相应的规律性知识.这也是学生体验应用数学模型解决数学问题的基本层次.实践中，一般反映在基本练习的设计中.如教学《平行四边形面积的计算》时，当学生通过研究归纳了平行四边形的面积计算方法“底×高”之后，设计如下一组练习：
（1）计算下面各平行四边形的面积.
（2）一个平行四边形的底是4厘米，高是3厘米.它的面积是多少平方厘米？这个平行四边形的形状是怎样的？请你在方格纸上画出来.
这样的练习，是应用面积计算公式S=ah尝试解决一般问题的过程，是数学模型基本应用的体现，同时也是对数学概念基本模型认识的强化.
2.数学模型的拓展性应用水平
检验学生对数学模型本质内涵是否真正理解的重要方式则是数学模型的拓展应用.如在“乘法分配律”的教学中，当学生掌握了它的基本模型——乘法对于加法的分配律后，呈现这样一个问题：李大爷家有一块菜地（如下图），种了茄子和西红柿两种蔬菜.
问题一：这块菜地的面积是多少平方米？
问题二：种茄子的面积比种西红柿的面积多多少平方米？
学生对第一个问题的解决是乘法对加法的分配律的巩固而已，然而在解决第二个问题时，学生是否能够建立起21×9-19×9和（21-19）×9两种方法间的联系，建构“乘法对减法的分配律”，从而认识基本模型的变式（a-b）×c=a×c-b×c，则是学生是否真正理解乘法分配律本质内涵的体现.这样的认识层次，是需要教师作一定的引导和点拨的，这也是应用数学模型解决问题的真正价值.
又如减法的性质，其基本模型是a-（b+c）=a-b-c，而其变式却有a-（b+c）=a-c-b、a-（b-c）=a-b+c、a-（b-c）=a+c-b等.这些数学模型间的沟通仅仅通过一个或两个问题情境来实现，显然是不可能的.它需要在后续的练习中多次应用，从而帮助学生不但在本质上把握减法的运算性质，而且在应用模型解决问题的过程中，提高灵活解构数学模型的能力.
总之，数学模型思想是数学学习的基本思想之一，它应该与“数感、符号感、空间观念、统计观念、运算能力及推理能力”等一起，需要一线教师在小学数学教学中进行适时适度的培养.