陈显华
摘要：一元二次方程根与系数的关系是初中数学教学中的重要内容之一，也是每年中考的热点，其应用较为广泛。笔者在教学实践中将其应用总结为七种，现与同行进行分享。
关键词：一元二次方程；根；系数；应用
一、检验方程的根
若x1 、x2同时满足x1+x2=－ , x1?x2= ，则x1 、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根，否则就不是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根.反过来也成立.
例1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是另一个根的2倍，则( )
A.4b2=9c B. 2b2=9ac C. 2b2=9a D. 9b2=2ac
解：设原方程的一个根是2x1 ,则另一个根是x1,由一元二次方程根与系数的关系知
由①，得 x1=－ ??????③
将③代入②中得 2(－ )2= ,
化简后得 2b2=9ac .
所以选答案B.
二、求方程的根
例2. (河南省)已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2，设方程的另一个根是x1,则有( ).
A. x1= ,k=-7 B. x1=- ,k=-7 C. x1=- ,k=7 D. x1= ,k=7
解：由题意得 2x1=- ，
∴ X1=- .
又 (- )+2=- ,
∴ k= -5[（- ）+2]=-7 .
∴ 选答案B。
例3.已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
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解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程
X2-8x+9=0
的两个根.
解这个方程，得
X1=4+ , x2=4- .
因此，这两个数是4+ ，4- .
三、求关于根的对称式的值(或最值)
例4.(河北省)若x1 、x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( ).
A. B. C. D.7
分析：因为x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,所以由根与系数的关系写出x1+x2，x1?x2后代入即可.
解：∵ x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根 ,
∴ x1+x2= ， x1?x2= .
∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2= .
∴ 选答案A.
例5.已知方程x2-(k-2)x+k2-k-5=0的两实根是α、β，求α2+β2的最大值.
解：因为方程x2-(k-2)x+k2-k-5=0有两实根，所以其判别式
△=[-（k-2）]2-4（k2-k-5）≥0 .
即 -3k2+24≥0 .
所以 -2 ≤k≤2 .
又因为α，β是方程x2-(k-2)x+k2-k-5=0的两实根，所以
α+β=k-2 , α?β= k2-k-5 .
因此，α2+β2=(α+β)2 -2αβ
=-(k+1)2+15 .
所以，当k=-1时，α2+β2的值最大，且最大值为15.
四、求作一元二次方程
例6.(西宁市)以5-2 与5+2 为根的一元二次方程是( ).
A.x2-10x+1=0 B. x2+10x-1=0 C.x2+10x+1=0 D. x2-10x-1=0
解：以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0 .
∴ 所求方程是x2-[（5-2 ）+(5+2 )]x+（5-2 ）(5+2 )=0 .
即 x2-10x+1=0 .
∴选答案A.
五、确定方程中字母的取值
例7.关于x的一元二次方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求m的值。
解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则由题意有
把①两边平方得
cos2α+2cosαcosβ+cos2β= ??????③
又 sinα=cosβ且 sin2α+cos2α=1 ??????④
由②、③、④得 1+2? = .
解此方程得 m = ± .
但cosαcosβ>0,所以m= .
六、证明同一方程中系数之间的特殊关系
例8.如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2︰3，求证6b2=25ac.
证明：设原方程的两根分别为2k、3k(k≠0),由根与系数的关系知
2k+3k=- ??????①
2k?3k= ??????②
从①中求出 k = - ??????③
将③代入②中并化简得 6b2=25ac .
七、判断一元二次方程实根的符号及性质
设方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式为△，x1 、x2为其二实根，则⑴当△≥0，x1+x2>0,x1?x2>0时，两实根同正；⑵当△≥0，x1+x2<0,x1?x2>0时，两实根同负；⑶当△>0，x1+x2>0,x1?x2<0时，两实根异号且正根的绝对值较大；⑷当△>0，x1+x2<0,x1?x2<0时，两实根异号且负根的绝对值较大；⑸当b≠0,c=0时，方程只有一零根；⑹当b=c=0时，方程有两个零根.
例9.已知方程x2-（m-1）x+m-7=0,m为何值时，①方程有两个正根？②方程的两根异号？
解：因为原方程的判别式△=[-(m-1)]2-4(m-7)=(m-3)2+20>0,所以无论m取何值，原方程都有两个不相等的实根x1 、x2.
① 要使原方程有两个正根，必须使
x1+x2>0 m-1>0
即 亦即m>7.
x1?x2>0 ， m-7>0 ,
②要使原方程的两根异号，必须使x1?x2<0,即m-7<0,亦即m<7.
作者单位：甘肃省陇南市武都区两水中学
邮政编码：746000
论文作者:陈显华
论文发表刊物:《中学课程辅导·教学研究》2014年第3期供稿
论文发表时间:2014-3-11
标签：方程论文; 实根论文; 系数论文; 正根论文; 判别式论文; 关系论文; 两根论文; 《中学课程辅导·教学研究》2014年第3期供稿论文;