一种新的股票市场风险度量指标及其应用_股票论文

一种新的股市风险度量指标及其应用,本文主要内容关键词为:度量论文,及其应用论文,股市论文,指标论文,风险论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。

一、引言

股市的风险如何来度量呢?首先要明确什么是风险,风险是投资者未来收益的一种不确定性,通常证券市场上由资产价格波动导致的投资者收益的不确定性被称为纯市场风险。随机变量是由概率统计理论引出的描述不确定性的量,它具有这样的性质,其方差越大,不确定性就越大,方差越小,不确定性就越小,因此用方差来反映风险是合适的。同时,我们知道,方差也是金融理论中度量风险的基础数量指标。事实上,1990年诺贝尔经济学奖得主马柯维茨早在20世纪50年代提出的投资组合理论,就已提出要用方差来描述风险。明确了这一点之后,我们来看股市的风险应如何来度量?

二、股市风险的一种度量指标——协方差引出的特征值

股票市场由许多股票组成,投资每一种股票的收益为一个随机变量,所以包含n支股票股市的收益可以用一个n维随机向量来表示的,用数学符号来写,就是

其中r[,i]是第i种股票收益(注:一般文献都用对数收益率,因为对数收益率序列有很好的性质:

1.对数收益率近似等于连续复利百分比变化,r[*]=log(1+r),r[*]为连续复利率,r为以年计算的复利率;

2.在价格变动较大时,用(P[,t]-p[,t-1]/P[,t-1](P[,t]-P[,1]和(P[,t]-P[,t-1])/P[,t]作为收益率度量的差别就会很大,这显然不合理,而用对数收益率就可以避免这种缺点;

3.在市场是有效的假设下,{r[,t]}是鞅差序列,能使对很多问题的讨论得以简化;

4.高频数据与低频数据有简单的加法关系:,于是,周收益率为天收益率之和、月收益率为天收益率之和、周收益率之和、……等等。),很自然的一种想法是将每个r[,i]的方差汇总在一起,用这个量来反映股市收益的风险。若用δ[2,i]来表示r[,i]的方差,δ[2]表示股市的风险,按上述想法应有

然而,从概率论的知识知道,只有当r[,i]相互独立时,r[,i]相加之后的方差才是各自方差之和。实际上,股市的各股票收益之间并不是相互独立的,存在一定的相关性,因此用(1)来度量是不合适的,必须要考虑r[,1],…,和r[,n]相互之间的相关性,也即要考虑r[,i]和r[,j]之间的协方差,于是得到随机向量r的方差——协方差形成的矩阵

其中,V[,ii]是r[,i]的方差,V[,ij]是r[,i]和r[,j]的协方差i≠j。于是,V就是全面反映收益不确定性的一个基本的数据矩阵。那么用V的什么样的函数(也就是由V可以算出的一个数值指标)来反映股市风险才合理呢?

我们也来考虑(2)式中V的一个特性,知道了V之后,可以很方便地算出任一种投资组合收益相应的方差,设出a[,1],…,a[,n]分别是投资的数值,a[,i]是购买第i种股票的数额,于是相应的组合收益为:

a[,1]r[,1]+a[,2]r[,2]+…+a[,n]r[,n]=a′r(注:是向量的乘法,这一写法符号比较简单。)

而它相应的方差用δ[2](a′r)来表示,就有

利用(3)式,我们就可以给出股市收益风险的一个更合理的度量。由(3)式可以看出,当b[,i]=ca[,i],i=1,2,…,n,也即投资组合按a[,1],…,a[,n]的分配,成c倍增加时,δ[2](b′r)=c[2]δ[2](a′r),风险δ[2](b′r)是δ[2](a′r)的c[2]倍,用数学的语言描述就是:当b是a方向成c倍增加时方差增加c[2]倍。因此只须考虑a′a=1,即a[2,1]+a[2,2]+…+a[2,n]=1的这种投资组合,它的方差代表了这个方向所有投资组合的状况。当a满足a[2,1]+a[2,2]+…+a[2,n]=1而变化时,数学上它就形成了n维空间中半径是1的一个球的球面,称为单位球面。单位球面上每一个点代表了一个方向,代表了同方向的一类投资组合,单位球面就反映了所有可能的投资组合,在这些投资组合中哪一个是风险最大的,哪一个是风险最小的呢?从(3)式就知道使δ[2](a′r)在约束条件a′a=1之下达到极大值的那个投资组合就是风险最大的方向,同样地,相应的最小值就是风险最小的方差,这是数学上已知的结论[10],V矩阵的最大特征值就是最大风险相应的方差,它相应的特征向量就是最大风险方向;它的最小特征值就是最小风险的方差,相应的特征向量就是最小风险方向。所以V的特征值和特征向量就能更好地反映股市收益的风险状况。因此,我们由方差——协方差矩阵引出的特征根作为股市风险的一种度量指标是合理的。另外,由于股市各股票的收益均存在着一定的相关性,这样,最大特征根往往包含其方差——协方差阵的绝大部分信息。下面,我们就进一步对最大特征根作板块分解。

三、股市风险的板块分解

通过以上分析我们得到,数学上看,方差——协方差矩阵V的最大特征值和最小特征值从两个极端反映了股市收益的风险状况,特别地,矩阵的最大特征值就是最大风险相应的方差,它还包含了股市收益风险的绝大部分信息。所以可以用它作为股市收益风险的一个主要度量指标,下面对其进行风险的分解,例如按板块(注:这里的板块是个广义的概念,即可以用行业划分,也可以用区域或ST非ST等来划分板块,文中最后部分的实证研究就是按行业分类来划分板块的。)来分,我们用λ[*]表示V的最大特征值,即

(6)式告诉我们股市风险λ[*]的来源是各个板块引起的(注:由于诸中可能有负的分量,所以,对于允许卖空的股票市场可以说是由板块的一个投资组合引起的,但即使对于中国这样不允许卖空的股市,可以只将其看成为λ[*]按板块的分解,这也是本文的主题。)。为了能将(6)式的分解看得更清楚一些,令

于是对于不允许卖空的股市,可以得出结论,最大风险值λ[*]是由各个板块单位风险组合x[,i]的线性函数c[,i]x[,i]引起的,权重ω[,i]正好是λ[*]对应的特征向量分割后板块对应部分的长度平方。

而对于允许卖空的股市,由于,

因此ω[,i]就是权重(ω[,i]≥0是明显的),于是,(9)式清楚地告诉我们;最大风险值λ[*]是由各个板块单位风险的投资组合x[,i]的线性函数c[,i]x[,i]引起的,它们的加权平均代表了最大风险的投资组合,而且,权重ω[,i]正好是λ[*]对应的特征向量分割后板块对应部分的长度平方。

容易看出,对于最小特征值λ[*],也完全可以作类似的分解。这一分解对于分析股市风险是具有意义的。

四、中国股市的一些实证结果

(一)计算环境设计

可以有多种计算环境,以下只给出一种情形,其它情形类似处理。

时期:1998年至2000年,其中,1998~2000年按年周期计算,而对2000年数据,其计算周期(或叫窗宽)可进一步分为季、月和周等。

数据:使用日对数收益数据,即股票当日收盘价对数与前日收盘价对数之差。计算沪深股市所有上市股票的收益数据,其中,计算年周期时,剔除交易小于100天的股票,季周期时剔除交易小于50天的股票,月周期剔除交易小于15天的股票,用周作为周期时,剔除该周所有新上市股票。停牌时的收益数据用0代替,即假定该天的价格与前一天相同。新股第二天才记收益,其计算周期内上市前的收益数据用0代替,即假定在记算周期内发行新股其上市前的股价恒为上市日收盘价。

样本:记算周期内沪深股市满足条件的所有股票。

复权:在记算股票的拆细、除权、除息等股利分配日的对数收益时,进行价格的全复权。

板块:本文用行业分类作板块。

(二)计算步骤

第一步:确定计算周期中满足条件的所有上市股票,并按板块排列(注:文中有关中国股市上市公司的行业分类采用中信证券根据MSCI(Morgan Stanley)标准的分类,具体按MSCI的Sector分板块。按MSCI的Sector标准可将中国上市公司分为以下10个类:Consumer Discretionary,Consumer Staples,电讯服务,工业品,公用事业,健康护理,金融,能源,信息技术和原材料。)如下:

其中,n表示股市所有股票数,k表示将这n支股票分为k个板块,文中n=996,k=10。

第二步:计算周期内所选股票的复权收益,得到-n×m矩阵,即得到随机向量

以下步骤可按本文(2.股市风险的板块分解)中的各个公式进行。

(三)数据结果

本部分数据结果是在以下条件下得到的:2000年中国股市交易达到100天的所有股票数据,以年为周期,板块化分以行业(MSCI Sector)为标准,其中,n=996,k=10,m=237。

表1 2000年中国上市公司按MSCI的Sector分类后行业板块分布情况表

注:表中是对2000年上市交易达到100天的所有股票的统计结果。

估计随机向量,求得全部方差之和为trV=828.7011,该方差—协方差阵前6个征特值(从大到小排列)如表2所示。

由表2可以看出,最大特征值λ[*]=a[*]Va[*]=552.565,a[*]=1,a[*]为λ[*]相应的特征向量,前两个主要方向相应的方差之和占全部方差的80%以上,前三个就超过了85%,因此,前两个特征根对应的投资组合方向反应了全年主要变化。全年的数据反映的是长期变化,如果我们观察短期的情况,就只需要考虑一周的变化(一周5个交易日),采用5天、3天、2天的数据,去计算相应的协方矩阵,同样可以计算出与所用资料天数有关的风险指数。

上述对表2数据分析得出结果:股市收益风险(用∑度量)绝大部分由最大特征值λ[*]所解释。这说明本文中对风险的板块分解是有意义的。

将a[*]也按板块相应地分解,由于篇幅有限,这里不再列出分块向量。各板块带来的标准差,即本文股市风险的板块分解部分公式(7)中的,如表3所示;股市风险的板块分解中各c[,i](i=1,…,10)的值如表4所示;股市风险的板块分解中各ω[,i]及c[,i]ω[,i](i=1,…,10)的值如表5所示。

这样有关股市风险的板块分解的所有指标数值就都计算出来了,当然,由于篇幅有限,得出的诸向量指标(如诸和x(,i)等)不能在这里一一列出。

五、结论

首先,由表2可以看出,方差—协方差矩阵∑的最大特征值λ[*]对应的特征向量,确能解释股市收益风险(用∑度量)绝大部信息。这为以后对第一主分量结构进行分块,即对股市的风险进行板块分解打下了基础。这意味着我们找到了一种新的分析股市风险的方法。

其次,分析表3,可以得出,对股票收益方差—协方差矩阵第一主分量按行业板块分解有非常积极的实际意义,它可以让我们清楚看到收益的风险主要来自哪里,这将大大有助于股票市场的监管。从表3可以看出,2000年中国股市收益风险的主要来源于第1、2、7和10个行业板块,无论从绝对数值(表中第一行)或相对数值(表中第三行)结果都相同。另外,第4个板块虽然包括股票数最多(247),由于其整体的波动不大,所以其对整个股市带来的风险较小。表5的结果也表明,整个股市收益风险主要来自其第1、2、7和10板块。通过上述对股市风险的板块分解,我们也看到有相当数量的股票价格波动风险是非常有限的。如果进一步按不同的标准分板块,就可以找到相应价格波动小的股票,这样的选择为以后培育中国的蓝筹股打了基础。

第三,对股市收益风险进行板块分解,很大的现实意义在于,它能给股票指数设计提供定量选股指标,以便更科学地挑选样本股。这对于股票指数期货的设计也有不言而喻的特别意义。目前中国的主板股票市场正在趋于合并,而许多单位也已经编制或正在编制反映整个股票市场的统一市场成份指数。而成份指数设计最核心的工作就是运用适当的标准选择适当的成份股票。目前,国际上一些著名的指数服务公司,象MSCI和S&P等,都给出了许多选择成份股票的标准,但大都不考虑成份股票的波动性。根据专家及监管层的意见,中国统一成份股的挑选方法是将上海证券交易所和深圳证券交易所所有上市公司的股票按波动性、流动性、流通股市值和总市值排序,以每个指标的不同权重,算出每个股票的总值并排序,根据流动性好、波动性小、流通市值和总市值大的原则来选择蓝筹股。于是,本文提出的方法及相应得到的指标也可以用于对股票波动性的衡量标准。

第四,从表1可以看出,按照MSCI制订的 Sector标准对中国股票进行行业分类的结果是比较合理的。一方面从各行业股票数分布情况看,没有过大的差异.当然,这也充分考虑了中国上市公司的具体经营情况,如电讯服务类公司只有2个,即中信国安和国脉通讯,所以这类也只能有2个公司。另一方面,该分类是经过潜心研究的结果,基本反映了中国股市上市的情况,进一步可以用按MSCI的Industry标准进行行业分类,其结果可能会更好。

第五,本文数值计算只给出了一个周期和一种板块划分下的风险分解结果,完全可以按照本文的方法进行更多的分析。可以按地区分板块,也可以用不同的周期等。这样我们可以得到更多有意义的结论,例如,对于一定的时段,如果我们将中国股市上的所有股票分为两类,一类是ST,另一类是正常股票,可以用本文的方法按此两个板块来分解收益风险,将有一些定量指标来刻画中国股市中的投资理念。

最后,本文充分利用了多元统计分析的技术,提出了用收益方差—协方差矩阵引出的特征根作为股市风险的一种量度指标,在此基础上,推导出了第一特征向量的分块结构分式,并给出了具有实际意义的解释。本文的思想及技术路线,为以后对股市风险定量研究及开发金融工程产品打开了新的研究视野。

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