用《几何画板》探究均值不等式的几何意义，本文主要内容关键词为：几何论文,不等式论文,画板论文,均值论文,意义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、背景
随着大批优秀教学软件和计算机的使用，传统中学数学教学加入可实验操作的内容已成为可能.在计算机的辅助下，学生丰富的联想，大胆的猜测，可以通过计算机加以演示和验证.《几何画板》是当前中学数学教师最受欢迎的专业软件之一.它丰富的几何作图功能，以及强大的计算功能，使得学生和教师在学习函数、平面几何、解析几何甚至立体几何时都倍感亲切和方便.同时它的动画功能也使学生的猜想马上能得到验证.中学数学中很多知识的获得都可以建立在一系列“实验”的基础上，数学从某种意义上说也就变得不再抽象和枯燥了.
二、教学设计
数形结合是中学数学学习研究的重要思想方法之一，而《几何画板》这一软件能准确、清晰、直观地层示数与形的关系.高一教材“不等式”中，涉及二元平均不等式，大多数学生对算术平均和几何平均都能做出相应的几何解释.
我所执教的是学校的理科班，学生思维比较活跃，但还缺乏系统性.考虑到学生的实际，我补充介绍了平方平均和调和平均.教师和学生都有这样的疑问，平方平均与调和平均又有怎样的几何对应关系呢？该通过怎样的图形加以表示呢？学生非常感兴趣，同时也作了很多猜测.
本节课的设计就是在学生学习了平均不等式后，对上述问题进行探讨的.考虑到学生对软件《几何画板》使用不熟练，教师采取学生猜测，提出方案，教师操作、演示的方法，让学生在不断的猜测、验证、再猜测、再验证的过程中体会联系、探究、猜测、证明等一系列科学研究的方法.同时培养他们准确表达数学语言，勇于质疑的科学精神.
三、教学过程
1.复习均值不等式
前一次课，我们已初步了解了两个正数的四种平均值以及它们之间的不等关系.这四个平均
等号成立时的充要条件均为a=b.
教师：我们最常用的平均值是算术平均和几何平均，这两个有怎样的几何图形与之对应？
学生：可以在直三角形中建立它们的对应关系.以AB为斜边构造直角三角形ABC，使AD=a，BD=b，则高CD为a，b的几何平均值，中线CE为a，b的算术平均值.（教师电脑操作并在投影机上显示，如图1）
AD=a=2.36厘米
DC=3.53厘米
BD=b=5.29厘米
EC=3.82厘米
教师：很好.
2.提出问题
教师：算术平均和几何平均有这种对应关系，并且从图形中马上能判断它们的不等关系.能否将四个平均值置于同一个图形中一起比较呢？它们分别有怎样的几何意义呢？
3.分析、解决问题
学生：直角三角形中很难把平方平均和调和平均对应到相关线段，而（a+b）/2在计算梯形面积时用到，可以看成是梯形中位线的长.我认为可以考虑在梯形中建立四个平均值与几何图形的对应关系.
教师：很有道理.其他同学赞同吗？（大部分同学表示赞同）
教师：若把梯形的上底长记为a，下底长记为b，则长度为算术平均值且平行于底边的线段就是梯形的中位线.那么其它的平均值有何对应关系呢？哪一个比较明显？下面请大家看投影做猜测.（如图2）
学生：我觉得调和平均对应的线段PQ应该经过梯形对角线的交点.
教师：让我们来验证该同学的猜测是否正确.大家注意，我拖动点A或点D改变a，b的大小.看看此时代表调和平均的线段L[，1]是否始终经过梯形对角线的交点.（教师演示，如图3）
学生：哦……（表示赞同）
教师：那么，我们能否通过计算，说明梯形中过对角线交点且平行与底边的线段，它的长度就是两底长度的调和平均呢？
学生：能！（学生一致肯定）
教师：接下来我们考虑哪一个平均数？
（教师继续展示图2的变化，同时隐藏算术平均与调和平均.此时学生相互讨论，片刻之后还没有比较肯定的猜测.于是点名提问了几个学生.）
教师：你还没有把握，那你考虑了哪些情形呢？联系了梯形中的哪些量？
学生：可能与两腰的三等分点、黄金分割点，梯形的高、面积，三个梯形的相似等有关.
教师：刚才几位同学的想法很好，相信会对其他同学有启发.下面首先验证他们的一些猜测.（通过演示，否定了几个猜测.如两腰的三等分点、黄金分割点、梯形的高等的联系.其中有些猜测一提出，另外的学生就举出反例，课堂气氛明显活跃.）
学生：我觉得平方平均对应的线段应该平分梯形的面积.
教师：让我们来算一算.（计算出两个小梯形的面积，并改变a，b的大小.）
教师：我们发现两个梯形的面积始终很接近，有理由相信这位同学的猜测是正确的吗？
学生：是正确的.这是一种近似计算，这种误差是在允许范围之内.
教师：那我们能否在理论上给予证明呢？其实在做其它实验时，大家都应该考虑到可能出现的误差.理论与实际总会有一些差别.
（大部分学生都相信自己能证明两梯形面积相等.）
学生：几何平均数对应的线段把梯形分成两个相似的小梯形.
教师：很有创意.但是，如何说明两梯形相似呢？
学生：（迟疑、讨论片刻后）可以将两梯形各自分割成两个三角形，通过说明三角形相似来说明梯形相似（教师同时演示），只要验证直线AQ与PC是否平行即可.
教师：很好.我们通过计算∠AQP与∠CPQ的大小来看看直线AQ与PC是否平行.（果然如此，如图5）
4.小结与思考
教师：现在我们把四个平均数对应的线段在梯形中同时显示（如图6），能否象直角三角形中一样，直观解释它们的大小关系呢？我们如何说明它们是从上到下排列的？（将四个平均数同时显示，并拖动D点，演示四条线段的变化.）
教师：这节课我们主要是利用《几何画板》的计算、演示功能，猜测并验证了四个二元均值在梯形中的几何意义.对一个几何图形而言，我们可以研究线段、角度、面积、两直线是否相交、平行等等.即使以后碰到的问题中没有提及，我们也应该做一些联想、猜测.联系的思想可以使我们更快地理解新知识，更好地利用新知识.课后请大家自己认真地用代数的方法证明今天得到的结论.
四、教学体会
（1）这节课的想法来源于自己在使用《几何画板》4.0版，研究数形结合时得到的.算术平均与几何平均大家都很熟悉，而调和平均与平方平均就比较陌生了.《几何画板》的运用使我们的猜测很快得到验证，较好地解决了这个问题.类似物理、化学中做实验的方法让学生获得知识，这应该是以后数学研究性学习的一个方向.
（2）日常教学中，学生的思维过程如何，教师很难有效把握.通过这种相对自由的学习氛围，我发现即使平时表现非常内向的学生，其内心思考还是很活跃的.还有些学生，有想法，却表达不清，教师如何鼓励他们思考，鼓励他们准确地表达自己的想法，这是一个值得所有教师思考的问题.
（3）在证明两梯形相似时，考虑到学生的接受能力，我用部分相似的方法说明，不够严格.但可以将梯形两腰延长相交，这样两个小梯形构成以交点为位似中心的位似图形，从而说明它们相似.
（4）这节课中《几何画板》的使用让学生感到新奇，很多学生都对这一软件产生了浓厚的兴趣，给他们机会，学生一定能探索得到更多、更好的东西.“授人以渔”，这也许是本课更重要的收获.