数学美：数学发展的内在动力，本文主要内容关键词为：数学论文,动力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
提要：本文通过哲学、美学、思维科学等三个方面的理论探讨，并通过数学发展史的历史考察，得出了“数学美是数学发展的内在动力”的结论。
关键词：内容和形式/超越与回归/审美自觉
人们通常认为：只有客观需要才能给数学提出新问题，刺激数学的发展。这里强调的只是数学发展的外在动力，忽略了数学发展的内在动力，这是一种机械唯物论观点。那么，数学发展的内在动力到底是什么呢？
古希腊有个75岁高龄的数学家阿基米德，在攻破叙拉古的罗马士兵的屠刀下仍然蹲在地上专心致志地研究着几何题。瑞士数学家L、 欧拉应聘到圣彼得堡，为了解决一个问题计算了三天三夜，结果累瞎了眼睛，在双目失明到逝世的十八年间，他仍然以顽强不息的毅力坚持了心算，写出了许多数学著作。究竟是什么力量促使他们如此醉心于数学研究的呢，是为了追求数学的实用价值？显然不是。他们如此献身于数学研究，正是为了数学的审美价值，即对数学美的渴望和追求。对此，古今数学家阐述过许多耐人寻味的论述。
著名数学家歇菲尔瑞赫曾说过：“它（指毕达哥拉斯学派）的目标是明确的；揭示以数的和谐所表示的宇宙和谐，数学可以提供一条通向与神明相契合的道路，就是这个崇高的目标，在当时为这门至高无上的学科提供了必要的动力”，这个通向与神明相契合的道路，就是指追求数学美的道路。
冯·诺依曼在谈到数学发明的条件时曾提出：“归结到关键的论点：我认为数学家无论是选择题材，还是判断成功的标准，主要都是美学的”
法国数学家H·庞卡莱说过：“美学，对美观与优雅的感觉， 在数学的成功中是一个重要因素”
沙利文认为“一个科学理论之被认可，一个科学方法被证明都在于它的美学价值……科学在艺术上的不足程度，就是它作为科学不完善的程度”
革命导师马克思也曾说过：“人类是按着美的规律改造世界的”……
上述见解，都精辟地表述了数学美对数学发展的重要贡献。
在具有高度抽象形式与逻辑严格性的数学里怎能有数学美，甚至说这个数学美对数学发展具有如此大的重要贡献呢？我们在下边将从3 个方面论述其原因。
1、数学美功能的哲学思考
数学是研究客观事物的关系和形式的科学，它是以高度抽象形式和严密的逻辑性为其特点的。但是，这种抽象形式又成为数学美形式的内容。从世俗的观念看来，“内容决定形式”的命题是天经地义的，绝对的，无条件的。但是实际上，就像一个人可穿不同的服装，一本书可有不同的封面一样，“内容决定形式”的命题是有条件的。对于形式我们也要作具体分析。从层次上看，形式有初级的原生形式，也有高级的规范形式。初级的原生形式就是一切事物都具备的天然形式，它是与内容共存亡的。通常我们所说的“没有无内容的形式”是就这种原生的形式而言的。这种原生形式，一般说来是杂乱无章，缺乏统一性的，但是高级规范形式却不同，它是不与内容共存亡的一种超越了特殊内容的普遍形式。它是经过长期的历史实践积淀而形成的一种共同的社会约定的心理定势，它对内容就有了某种主动性。数学美就是这种高级的审美形式。假如一个数学家对这种审美形式有很强的驾驭能力，那么它能帮助他对科学的认识价值和实用价值进行审美超越与回归。数学的方法论可分为宏观方法论（公理法、模型法等）和微观方法论（归纳法、反证法等），因为这种方法论也都包括在数学美的范畴，所以说，数学美形式比起方法论对数学内容更具有主动性。数学美的基本形式（或特征）可以归纳为如下3个方面：
多样统一美（如，结构美，逻辑美，简洁美等）；
和谐奇异美（如，对称，对比，比例，悖论，反证法，反例等）；
动态奇异类（如，变量与极限，变换中的不变量等）。
由于数学具有逻辑严密性的特征，加上它比其他任何科学推理得更远，所以它给数学家提供了更大的自由创造的自由度，这就使数学美形式对其内容具有更强烈的独立性和主动性。例如，恩格斯曾说过的“理性本身自由创造和想象的产物”的复数，就是为了使代数理论更加和谐而发明出来的；又如，罗巴切夫斯基等人创立的非欧几何，它是纯粹的美学和逻辑的产物。他们所采用的公理法也是审美直觉的产物。这个公理法在数学发展史上具有划时代的意义，以至19世纪初到20世纪前半叶为止，使数学进入了“抽象化公理时代”。
除了数学美作为形式对数学内容的发展有非常大的主动性之外我们还发现，数学美的特征完全符合辩证法：
数学的多样统一美，反映出事物联系的普遍性；
数学的和谐奇异美，反映出事物的对立统一规律和否定之否定规律；
数学的动态平衡美，反映出事物的量变到质变的规律；
数学美的这种辩证法特点，自然决定着它对数学发展的认识论价值和应用价值。
2、真善美的统一
通常所说的真善美，在数学中可归结为科学价值、实用价值和审美价值。这3种价值判断是个错位结构（见图）
价值错位图
其中，
甲：科学价值，乙：实用价值，丙：审美价值
A：仅有科学价值。如欧氏几何以前的一些几何学；
B：仅有实用价值。如中国的一些古算术；
C：仅有审美价值。如尚未证明的哥德巴赫猜想或费尔玛猜想等；
D：无实用价值。如现代数论的一些部分；
E：无科学价值。 如应用上有辉煌成就但其逻辑基础非常脆弱的无穷小分析理论等。
F：无美学价值。如不少应用数学的内容；
G：真善美的统一。
三种价值之间的关系，除了G 部分外在其他各部分中的真善美或多或少存在着错位现象。可是，这种错位关系并不是绝对的，而是随着数学的发展，经优胜劣汰，最终达到真善美的真正统一。例如，A、C、 D部分。历史上有过非阿基米德几何，曾因看不到它的实用价值而被人们遣弃过。但是，后来数理逻辑学家鲁滨逊把实数系扩充到与美妙的宇宙同构的非标准实数之后，非阿基米经几何才被人们得以承认，达到了真善美的统一；著名的非欧几何纯属数学美和逻辑的产物。起初它因为看不到实际应用而被人们冷落过。后来，逐步发现它在现代物理学中的重大应用之后，达到了真善美的统一，确立了它的很高的地位。又如， A、B、F等无美学价值的部分。随着数学理论的向前发展，它的结构更加和谐一致，并一再被更加有力的工具和更加简单的方法所替代，最终达到真善美的统一。还有B、C、E等无科学价值的部分。 那些无穷小分析理论被极限论或非标准分析所替代呈现出其科学价值，那些各种猜想经科学论证得以扬弃，保留了有科学价值的部分，它们终究都达到真善美的统一。
总之，真善美之间都有超越与回归，最后达到统一。从中看到，不仅数学的实用价值对科学价值和审美价值具有超越性和回归性，而且数学的审美价值也同样具有对科学价值和实用价值的超越与回归功能。
在著名的德国哥廷根大学物理学报告厅里，以大字刻写着这样一句拉丁语格言：“美是真理的光辉”。这种光辉，不管它是“直射”的，“折射”的，甚至是“模糊”的，都能像灯塔一样，指引着数学家们识别和选择奋斗的方向，达到真理的彼岸。
3、审美直觉在数学研究中的作用
在数学研究中，不仅需要掌握扎实的数学基础知识和基本的逻辑思维方法，更需要具备创造性的思维能力，它作为人类高级思维活动的创造性思维活动，其中显现的妙景奇观至今仍有许许多多的不解之谜。它的大部分领域还是个未知数。尽管自80年代初著名科学家钱学森教授倡导开展“思维科学”的研究以来，各方面的科学家正从不同角度对此进行着探索。然而这种研究毕竟尚处于发展和深化阶段，尤其对于数学的创造发现过程中的研究更是处于探索阶段。对它的研究资料的获得也是很难的事情。因为数学家们尽管发现和创立了有关定理，然而他们却很少谈出自己是如何在迷雾中模索到它，如何在模糊的思维中捕捉到心灵智光点。于是科学哲学家波普尔说：科学发现无逻辑。其实这个“无逻辑”是指不依赖于论证推理的合情推理。如，归纳、类比、限制、推广、猜测等思维活动。要进行合情推理，就是要靠自觉思维或形象思维。从信息论角度看，这种自觉思维可以平行地或沿不同方向处理信息，可以同时制控几个器官的功能。因此，这种思维方式是一种发散性思维，并具有很强的应变能力。
抽象思维与自觉思维本来就是人类理性认识阶段中的两种不同思维方式。它们同是来源于感性认识，只在继续前进时走上了不同的途径。抽象思维是大脑左半球的功能，是以抽象的方式进行概括，以抽象材料进行思维，以概念为其思维的细胞的。自觉思维则是大脑右半球的功能，主要用典型化、具象化的方式进行概括，以形象材料进行思维，以形象作为思维的细胞。它们殊途回归，皆可达到对事物本质的理性认识。划时代的学科—笛卡儿的解析几何正是这两种思维相结合的产物。对此，卡几、萨根说道：“代数方程是大脑左半球的结构原型，而一条普通的几何曲线，则是大脑右半球特有的产物。在一定意义上说，解析几何是数学上的胼胝体”（胼胝体是连接大脑左右半球的横行神经纠维束）。
自觉思维有4大特征：形象性（具体性和直观性）、 概括性（几何圆型、数学模型、图表、数学式子），创造性（对客体去粗取精、理想化）、运动性（渐近线、积分曲线等）。这些特征都符合数学美的基本特征。因此说，直觉思维基本上是属于审美直觉的。这种审美直觉能够使人们直接而迅速地接近事物的本质，并给抽象思维开辟新的思路和新的推理方向。因此，对数学美的深入研究，必将促进人们的数学学习和教学研究，促进数学的进一步发展。正如钱学森教授所言，人们对抽象思维的研究成果，曾经大大地推进了科学文化的发展，那么，“我们一旦掌握了形象思维学（或自觉思维学——笔者注），会不会用它来掀起一次新的技术革命呢？这是颇值得玩味的一个设想”。
结语。综上所述，我们从哲学、美学以及思维科学等不同角度，就数学美对数学发展所作的贡献进行了理论阐述。最后，让我们从数学发展的历史中考察一下数学美的作用。
纵观数学的发展史，我们不难发现，数学的每一步重大发展和进步，都离不开数学的审美自觉。古希腊毕达哥拉斯学派曾把“数”宗教式地推崇为万物的本源。纯粹追求美的近代数论就是从这个毕达哥拉斯学派的算术中脱胎出来的。沿源于古希腊欧几里得原本的公理法，就是把符合数学美标准的公理和优美的逻辑体系作为它的原则。因此，自19世纪初到20世纪前半叶为止的“抽象公理化时代”，把公理化方法推崇为衡量数学美不美的标准。后来，布尔巴基学派也从审美自觉出发，把公理化方法进一步发展成为结构主义方法。在文艺复兴时代，数学直接与艺术创作携手并进，促进了人们对黄金分割理论、透视法和投影几何学理论的研究。笛卡儿的解析几何是由初等数学过渡到高等数学的划时代的学科。对此，恩格斯曾评述：“笛卡儿的变量是数学中的转折点”，因为自从变量产生之后，数学才进入了高等数学阶段，尔后从19世纪末开始，数学又进入了现代数学阶段。这个解析几何正是靠着审美直觉发展出来的。
如上所述，数学的发展史雄辩地证明了数学美对数学发展的重大贡献。于是，大数学家庞卡莱总结性地指出：“能够作出数学发明的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美能力的人，而且只限于这种人”。