数学解题中的变“格”艺术，本文主要内容关键词为：数学论文,艺术论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“以能力立意”是2004年各地数学高考的命题思想，究其实质，就是考查学生的数学思维品质和综合素养.其中，学生的解题思维策略是最直接的考查对象.因此考生在考前复习中应注意学习和总结解题的思维策略，自觉地将数学思想方法融入解题过程中，努力提高自己解题思维策略中的变“格”水平.本文举例谈谈解题过程中思维策略的变“格”艺术，希望能给读者些许启示.
一、分格——化繁难
分析策略是指把综合性较强的数学问题分解为若干个较容易解决的子问题的策略，比如分类讨论的思想.
例1 （2004年江苏名校联考）已知f（x）=x[2]+bx+c（b，c∈R），
（1）当b＜-2时，求证：f（x）在（-1，1）内单调递减；
（2）当b＜-2时，求证：在（-1，1）内至少存在一个x[，0]，使得│f（x[，0]）│≥（1/2）.
分析：分类讨论是中学数学中的重要思想，它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易、化繁为简的功效.
（1）当b＜-2时，f（x）的对称轴在（-1，1）的右侧，那么f（x）在（-1，1）内单调递减.
（2）这是一个存在性命题.怎么理解“至少存在一个x[，0]”呢？其实质是能找到一个这样的x[，0]，问题就解决了.不妨用最特殊的值去试一试.
当x=0时，│f（0）│=│c│，│c│与（1/2）的大小关系如何呢？对│c│进行讨论：
（ⅰ）若│c│≥（1/2），即│f（0）│≥（1/2），命题成立.
（ⅱ）若│c│＜（1/2），取x=-（1/2），则
故不论│c│≥（1/2）还是│c│＜（1/2），总存在x[，0]=0或x[，0]=-（1/2），使得│f（x[，0]）│≥（1/2）成立.
本题除取x=-（1/2）外，x还可取哪些值呢？留给读者思考，问题很有趣！证明过程简捷，是因为灵活地选取特殊值，并对其进行了“意想不到”的分类讨论！最后借助不等式的放缩法等最基本的技巧，来完成解答，充分体现了解题机智.
例2 （2003年天津理科高考）设a[，0]为常数，且a[，n]=3[n-1]-2a[，n-1]（n∈N[*]）.
（1）证明：对任意n∈N[*]，a[，n]=（1/5）[3[n]+（-1）[n-1]·2[n]]+（-1）[n]·2[n]a[，0]；
（2）假设对有a[，n]＞a[，n-1]，求a[，0]的取值范围.
分析：（1）如果设a[，n]=a·3[n]-2（a[，n-1]-a·3[n-1]），用a[，n]=3[n-1]-2a[，n-1]代入，可解出a=（1/5）.所以｛a[，n]-（3[n]/5）｝是公比为-2，首项为a[，1]-（3/5）的等比数列.a[，n]-（3[n]/5）=（1-2a[，0]-
所以a[，n]＞a[，n-1]（n∈N[*]）等价于
（-1）[n-1]（5a[，0]-1）＜（3/2）[n-2]（n∈N[*]），
①
（ⅰ）当n=2k-1，k=1，2，…时，①式即为
（-1）[2k-2]（5a[，0]-1）＜（3/2）[2k-3]，即为
a[，0]＜（1/5）（3/2）[2k-3]+（1/5），
②
②式对k=1，2，…都成立，有
a[，0]＜（1/5）·（3/2）[-1]+（1/5）=（1/3）.
（ⅱ）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
（-1）[2k-1]·（5a[，0]-1）＜（3/2）[2k-2].即为
a[，0]＞-（1/5）·（3/2）[2k-2]+（1/5），
③
③式对k=1，2，…都成立，有
a[，0]＞-（1/5）·（3/2）[2×1-2]+（1/5）=0.
综上，①式对任意n∈N[*]成立，有0＜a[，0]＜（1/3）.
故a[，0]的取值范围为（0，（1/3））.
参数分离法是解决“恒成立问题”中参数取值范围常用方法，这里因为a[，0]的系数为（-1）[n]，故对n进行了“情理之中”的分类讨化，使问题化整为零，各个击破，从而完成了解答，凸显了分格策略的神奇功效.
二、降格——破定势
降格策略是指当人们对复杂的事物或抽象的事物一时认识不清时，暂时退到简单的、但仍能保持事物特征的形态，寻找事物的规律或关系的一种策略，如解方程或方程组时的“消元”“降次”，复数集的问题通过转化为实数集的问题；空间问题转化为平面问题或直线问题的“降维法”；任意角的三角函数化为0°到360°内的三角函数；为了发现K到N的规律，先观察N=1，2，3的情况等等.
例3 （1984年新加坡中学数学竞赛题）解方程2x[3]+（4+
）x[2]-3=0.
分析：这是一个关于x的一元三次方程，若用因式分解、配方求根等常规方法都不易求得方程的解.观察方程的系数和常数特点，可以看出的平方是3，故不妨退一步考虑问题，把x看作“常数”，把看作“变量”，从而得到解法.
抓住问题的本质，以退为进，退到我们能看清问题的地方，认透了再上去，“退一步海阔天空”在此题的解法中体现得淋漓尽致，创新思维能力的培养已经渗透于解题教学！
例4 （2000年全国卷理科20题）已知数列｛c[，n]｝，其中c[，n]=2[n]+3[n]，且数列｛c[，n+1]-pc[，n]｝为等比数列，求常数p.
分析：对于这样一个复杂的数列，我们注意到p是常数，于是我们考虑这个数列的前三项：令n=1，2，3，依题意可得c[，2]-pc[，1]=13-5p，c[，3]-pc[，2]=35-13p，c[，4]-pc[，3]=97-35p，因为数列｛c[，n+1]-pc[，n]｝为等比数列.所以（35-13p）[2]=（13-5p）（97-35p）.
所以p=2或p=3.
三、升格——显创新
升格策略是指把维数较低或抽象水平较低或整体性较弱的有关问题转化为维数较高或抽象水平较高或整体性较强的问题，通过对两者的性质及关系的考察，从而使原来的问题获得解决.
例5 求cos[2]A+cos[2]（60°-A）+cos[2]（60°+A）的值.
分析：采用降幂公式或两角的和差公式展开，过程比较复杂.如果利用“对称性”，构造对偶式：设
y=cos[2]A+cos[2]（60°-A）+cos[2]（60°+A），
x=sin[2]A+sin[2]（60°-A）+sin[2]（60°+A），则有x+y=3，又y-x=cos2A+cos2（60°-A）+cos2（60°+A）=cos2A+2cos120°cos2A=0，于是y=x=（3/2），则cos[2]A+cos[2]（60°-A）+cos[2]（60°+A）=（3/2）.
例6 解方程││3x-4│-│3x-8││=2.
分析：常规的解题思路是方程两边平方，但运算是漫长而繁琐的.切换思维视角，若将原方程变形为││x-（4/3）│-│x-（8/3）││=（2/3），发现此式结构酷似双曲线方程，于是在相似、类比的启迪下，我们可以构造双曲线方程求解.上式等价于
四、缩格——换视角
缩格策略是指在问题的条件系中寻找最小的独立完全系，从而使问题只涉及最小独立完全系的问题的策略.例如等差数列、等比数列的变量系中只含有三个独立变量；有心圆锥曲线也只有三个独立变量；对于几何题也常用寻找最小独立完全系的方法，使问题得到解决.
例7 已知a，b∈R[+]，且a+b=1，
求证：（a+（1/a））[2]+（b+（1/b））[2]≥（25/2）.
分析：解题时，总是把复杂的问题最大限度地转化为只涉及最基本的几个独立变量的问题.观察本题，虽然只涉及a，b两个量，但是要求证的不等式中的a+（1/a），b+（1/b）之间的关系不甚明朗，因此，考虑寻求用一个独立变量担当问题的桥梁.
由a，b∈R[+]及a+b=1联想到三角恒等式sin[2]θ+cos[2]θ=1，可引进参数θ，令a=sin[1]θ，b=cos[1]θ，0＜θ＜（π/2）.不等式的左边可化为
例8 （1997年全国卷理科25题）已知圆满足（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；在满足（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0距离最小的圆的方程.
分析：由已知可设所求的方程为（x-a）[2]+（y-b）=r[2]（r＞0），把问题转化为a，b，r这三个变量的求解问题.
于是所求的圆的方程为（x-1）[2]+（y-1）[2]=2或（x+1）[2]+（y+1）[2]=2.
五、更格——思归真
更格策略是指保持数学问题的某些不变性质，改变信息形态，借以解决问题的策略，这种策略就是数学上常用的思想方法.如换元，方程的同解变形；平移变换；坐标与向量间互化；参数法；数形结合等等.
例9 （1978年波兰中学数学竞赛题）求函数y=（x-x[3]/2（1+2x[2]+x[4]））的值域.
分析：本题的分式结构与三次、四次方的同时出现，给学生的心理构成了一定的障碍，多数同学一筹莫展，无从下手.如能通过变形、联想三角中的万能公式，则眼前豁然开朗、一片光明！
原函数可化为y=（x-x[3]/2（1+1x[2]+x[4]））=（1/4）·（1-x[2]/1+x[2]）·（2x/1+x[2]），设x=tanα，则（1-x[2]/1+x[2]）=cos2α，（2x/1+x[2]）=sin2α，所以y=（1/4）sin2αcos2α=（1/8）sin4α，根据正弦函数的有界性可知-（1/8）≤y≤（1/8）.
例10 求函数y=
的最小值.
分析：本题若用代数方法求解，则较难入手，观察函数表达式中，二次根式的被开方式为二次式，联想到距离公式，不妨将问题更格：将函数问题转化至二维空间——平面里，通过图形研究问题.
将函数解析式改写成y=
由两点间的距离公式知，y表示x轴上的动点P（x，0）到两定点A（4，1）和B（-2，-5）距离之和.于是问题转化为求动折线APB之长的最小值.下略.
六、逆格——创条件
逆格就是对一些数学问题，如果从正面思考难以奏效时，不妨尝试从反面入手，巧用逆向思维解题的策略.比如借助反证法来找到解决问题的途径.
例11 （2003年江苏名校联考）函数f（x）=x[2]+ax+b（a，b∈R），x∈[-1，1].求证：│f（x）│的最大值M≥（1/2）.
证明：假设M＜（1/2），则│f（x）│＜（1/2）恒成立，
所以-（1/2）＜f（x）＜（1/2），即-（1/2）＜x[2]+ax+b＜（1/2），
令x=0，1，-1，分别代入上式，得
-（1/2）＜b＜（1/2），
①
-（1/2）＜1-a+b＜（1/2），
②
-（1/2）＜1+a+b＜（1/2）.
③
由②+③得-（3/2）＜b＜-（1/2）与①矛盾.
通过假设结论不成立，创设了x∈[-1，1]时，│f（x）│＜（1/2）恒成立这一常规而能打开局面的有利条件，可谓“高招”！
以上的六种解题思维策略，以其适用的广泛性而区别于解题的具体思路和方法，六种解题思维策略注重联想、类比、反思，并以此提高解题的灵活性和准确性，培养了学生思维的广阔性、深刻性.尽管高考题的命题方向是“出新题，考能力”，而且解高考题的思维策略也是因题而异，但是思维策略的指向性是一致的，就是抓住问题的本质，挣脱知识框架的束缚，构筑起解题的新平台，尽可能把新问题转化为某一个已经解决或较易解决的问题，最终实现问题的解决.所以学生在日常的学习和高考复习中学会运用这六种思维策略解题是必要的，同时在运用的过程中极大地激活了学生的多元思维，最终达到提升数学思维品质的目的，真正有助于自我能力的完善和升华.