我国高中数学教材中数学建模的处理--以“人文教育版”、“湖南教版”、“苏教版”和“北京师范大学”教材为例_数学论文

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      回顾20世纪以来的数学教育理念，我们会发现，自F.克莱因对重视数学应用的呼吁，到弗赖登塔尔推动的现实数学教育（realistic mathematics education），到我国倡导的培养“运用数学解决简单实际问题的能力”，再到21世纪各国课程文件纷纷对数学建模提出要求，数学的应用和建模一直受到关注和重视.

      应用和建模在数学教育中的价值也同样得到广泛、深入的研究.在模型和建模视角下，教育中的“问题解决”得到超越.有可靠的证据表明，建模能在各种层次水平有效施教.[1]

      我国从90年代（如不特别指出，本文均指20世纪）开始，国外中学建模教学的情况开始得到介绍.随后，对数学建模的教育意义的探讨、教学实验以及建模活动中学生的心理研究等不断开展起来.

      不过，虽然数学的应用和建模的价值得到了广泛认同，但在学校或教室层面的开展远没有达到人们所寄予的厚望.比如，文字题曾经作为数学应用的标志题型被广泛使用，但往往过分地人工化，求解缺少高水平的认知和元认知过程，难以反映对现实的数学化.更为严重的是，数学文字题的求解教学有时被教师分门别类，以致变成了找关键词的机械性学习.

      一个中德学生建模能力的比较研究表明，在把建模能力划分为6个等级的度量尺度下，中国上海和德国巴登—符腾堡州9、10、11年级一千余名学生的平均能力水平分别为1.75和1.81.[2]由于第一水平为“学生无法理解具体的情景，不能识别出任何问题”，所以可以想象，其中相当一部分学生对于建模是束手无策的.

      课程得以实施需要具备两个基本条件，即合适的师资和充足的课程资源.在已有师资条件下，教学资源便成为数学建模活动中的最大变量.而在所有资源中，教科书无疑是最重要的资源.

      以下，我们基于国际建模教育研究及我国《普通高中数学课程标准（实验）》（简称为课程标准），以人民教育出版社（A版）、北京师范大学出版社、湖南教育出版社以及江苏教育出版社出版的高中数学教材（以下简称人教版、北师大版、湘教版和苏教版）为例，对我国教材中的建模资源进行考察.

      一、研究教育中的建模活动的视角和对建模过程的认知

      人们虽然对数学应用、建模在数学教育中的重要性达成了共识，但对数学应用和建模在数学教育中的目的和地位有着不同看法.

      在Niss看来，自20世纪60年代以来，对数学建模的角色定位有两种不同的基本看法.其一认为，在数学以外的情境为着数学以外的目的使用数学是数学本身重要的组成部分，所以数学教育的一个基本目的和任务就在于使学生能够参与到各种水平的建模活动中.其二认为，把数学应用于数学以外的情境可以促进学生的数学积极性，所以数学的应用和建模的目的是为了提高数学学习的动力.[1]

      Kaiser则区分了从19世纪末至今6种对数学建模的不同看法.（1）现实主义或实用主义建模观.这种观点重视建模的功利的或实际的目的，比如我国所谓培养学习者应用数学解决实际问题的能力.（2）方法论或理论化的建模观.这种观点注重建模在数学和自然界之间建立联系的重要功能，认为通过数学模型以及对模型的修订可以达到认识自然的目的，像弗赖登塔尔的数学化思想.（3）教育建模观.强调建模的教育价值，比如建模能使学习者更好理解世界的本质意义以及通过建模能导入新的数学概念和方法的学习，并使新概念和方法的意义易于理解.（4）模型诱导和境脉取向.强调问题解决和心理目标，比如，认为建模能激发学生学习兴趣，提供情境化的学习环境，有利于多重的高水平的认知或元认知参与.（5）社会批判和社会文化建模观.强调对建模活动的社会文化属性和对模型的批判性理解.（6）建模的认知分析.主要关注对学生建模过程和数学思维的促进分析.[3]

      观点和看法的差异自然导致对如何把数学建模融入数学教学过程中有着不同的路径.

      从课程标准对建模的定位来看，包括了实用主义、建模的教育性、模型诱导等思想.比如，课程标准认为：数学建模是数学学习的一种新的方式，有利于激发学生学习数学的兴趣，增强学生的应用意识，提高其实践能力；通过数学建模，学生将了解和经历解决实际问题的全过程.

      除了数学建模的目的、价值、地位，研究者还对它的定义，特别是应包括的步骤进行了不同思考.这些不同思考不仅表现在不同的理论观点之中，也表现在理论和实践之中.

      比如，课程标准对数学建模是这样叙述的：“数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程”，而实际问题应来自“学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面”[4]101-102.而Niss认为，数学建模就是用数学模型处理数学以外某情境的现象（性质、特征、关系、原理、问题、疑难、议题等）的过程，其中，数学模型指建立在数学外领域到数学领域的映射.

      也有研究者认为：“数学建模就是在数学的帮助下解决复杂而现实的问题”.[5]

      易见，这三个定义中数学所作用的对象是很不一致的，而以课程标准最为宽泛.

      对于建模过程，有论者把它归为四类.这种分类略去了对模型验证和解释阶段差异的考察，仅考察真实情境（RS）、情境模型或情境的心理表征（SM/MRS）、真实模型（RM）和数学模型（MM）在不同类型建模周期里的关系.

      这四类分别是：（1）RS—SM/MRS—RM—MM；（2）SM/MRS+RM—MM，在该类型中，SM/MRS与RM混合在一起；（3）RS—RM—MM，SM/MRS没有从RM中分离；（4）RS—MM.

      类型（1）中的RS—SM意味着研究者对建模过程中个体的认知过程的重视.研究者认为，这是建模周期中最重要的过程，意味着对任务的理解过程.也有研究者用MRS取代SM，认为该术语能更好描述个体在阅读给定建模任务过程中或阅读给定建模任务后所建立的内在记忆图像.

      第（2）种类型一般来说指的是解决文字题的过程.文字题本身意味着对真实情境的简化，对文字题的分析和解决即可看作一个建模周期.其中，情境模型和真实模型是融合的.

      第（3）种类型是介于第（1）和第（4）之间的一种类型，使用这种模型周期的研究者更关注真实的复杂问题本身及其求解，而较少从心理视角来考虑.这种模型周期通常用在高中阶段.

      使用第（4）种建模周期的涉及两类研究者：一类是那些处理“现实而复杂”问题的研究者，在他们看来，建模就是把真实的生活情境转换为数学模型，而无需思考其他；另一类是那些在初中进行建模教学的研究者，他们认为，对初中生来说，理解真实模型是非常困难的，所以不宜于区分更多的建模阶段.[6]

      从课程标准中给出的建模过程框图来看，我国对建模周期的划分大体属于第（4）种类型.不同的是，增加了从实际情境中提出问题的过程.这总体来看是一个更高的要求，但它是否作为建模过程的出发点也许可以讨论.

      对于（1）（3）两种建模过程，其代表性建模流程图分别如图1、下页图2.

      

      图1、图2直观地强调了在建模过程中现实世界和数学之间的交互循环过程.这种圆环形式是对最初讨论建模时所认为的那种静态的直线型建模过程的突破，所以建模过程现在往往称之为“建模周期”，意味着建模过程是一个需要不断检测和修正的过程.在此过程中，那些更有竞争力的模型不断产生出来.这两种建模流程揭示了真实情境中的问题在转化为数学模型之前所要经历的重要过程.这往往为我们所轻视.

      

      回到课程标准，除了前面已介绍的有关建模的定位、定义和流程，我们还特别注意到课程标准在对数学建模内容的设置说明中谈到：高中数学课程要求把数学建模思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学建模活动.[4]98这意味着课程标准对建模流程的要求是灵活的.另外，它在对“数学建模”专题的“要求”中提出，学生“对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法”[4]102.这意味着问题是开放的.

      基于以上分析，我们下面进入对我国教科书中建模部分内容的考察.

      二、教材中建模内容的分析

      为简便起见，这里对建模内容的分析仅限于表1中出现的四套教材的第一册，不对其他各册相关内容进行讨论.

      从这四册教材的目录来看，建模专题安排所处位置从教材内容上来看大致相同，都是放在全书的最后，即基本初等函数I之后（表1）.

      因为课程标准要求把建模思想贯穿在各部分教学内容中，所以在分析建模专题前，我们先对专题前的教材内容进行全文本分析，了解四套教材中提及数学模型的次数和语境情况.

      可以发现，四套教材在不同程度上都提及了“模型”“数学模型”“函数模型”.

      人教版教材不仅在章节的引言部分论及模型，还在介绍具体函数时联系到模型：不仅讨论了特定函数作为模型在解决实际问题中的应用，还把模型作为引入新概念的工具，如函数概念的引出.

      湘教版的亮点在于涉及应用的案例整体更具情境性.在指数函数的导入中，教材使用了一个“射线在介质中的衰减”的“探索问题”.这一探索问题大体上反映了真实建模的过程.教材还就此介绍了什么是“数学模型”，什么是数学建模，并提及数学建模就是“把实际问题理想化、简单化”.这一安排使不断提及的数学模型的相关概念落到了实处.

      相对于课程标准，四套教材对“数学模型”的阐释更明确和具体.

      下面我们具体讨论教材中的建模专题.

      人教版教材的建模专题由两部分组成.第一部分是用投资和销售激励两个案例说明幂函数、指数函数、对数函数的增长速度存在重大差异；第二部分是“函数模型的应用实例”，含汽车行驶、人口增长、桶装水销售四个案例.第四个案例如下：

      某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示（略）：

      （1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.

      （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，那么这个地区一名身高175 cm，体重78 kg的在校男生的体重是否正常？

      

      解决该问题后，教材写道：“解题过程，体现了根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程.”[7]教材接着给出了异于课程标准的建立函数模型过程的框图，但没有给出框图的文字说明，也没有给出数学建模的定义和建模过程的一般性说明.人教版教材的案例多且难度适中，给一线教师提供了丰富且有操作性的资源.

      而苏教版教材使用了三个例题来说明“函数模型及其应用”.比如，例3是这样的：

      在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈

）的收入函数为R（x）=3000x-20×2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差.

      （1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；

      （2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？

      教材最后总结道：通过上述三个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按“实际问题—建立数学模型—得到数学结果—解决实际问题”的程序进行，其中建立数学模型是关键.[8]教材同样没有给出数学模型及数学建模的定义或说明，也没有对建模过程进行详细解释.

      北师大版教材在“实际问题的函数建模”一节以递进关系介绍了“实际问题的函数刻画”“用函数模型解决实际问题”“函数建模案例”三部分内容.这三部分内容分别包含的例题数是3、2、1，其中“实际问题的函数刻画”并不是急于直接套用某个具体函数，而是注重函数关系的揭示和函数的实际意义为何.其中的两个案例如下：

      问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2（略）给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？

      问题3 如同4-7（略），在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆.怎样刻画专用电缆的长度？

      “函数建模案例”则提供了一个真实情境的问题，亦即在烧开水时如何才能做到煤气最省，并就该问题比较详细地展示了“真实情境—真实模型（煤气灶旋转钮的位置影响煤气流量）—建立数学模型（搜集数据、拟合函数）—求解函数最值—检验（烧水验证）—反思”的建模全过程.最后，作者概括了什么是“数学建模”以及“建模过程图”，与课程标准一致.

      总的来看，北师大版教材中选取的案例有开放性，对建模教学来说有挑战性，需要深层次认知水平和多策略参与.

      湘教版教材的“函数模型及其应用”包括“几种函数增长快慢的比较”和“形形色色的函数模型”两部分内容.

      “几种函数增长快慢的比较”通过图象详细比较了指数函数、一次函数、幂函数和对数函数的增长快慢，并以四个有趣且契合学生关切的例子简单说明了不同函数增长速度的差异是如何被利用的.

      “形形色色的函数模型”则讨论了“数据的函数模拟”和“什么叫做函数建模”.“数据的函数模拟”主要比较了在数据给定的情况下用不同函数进行模拟时如何评价何种函数模型最优；“什么叫做函数建模”用语言阐释了什么叫“数学建模”，以及数学建模过程的四个步骤.

      根据上面对课程标准及国际数学建模教育研究情况的介绍，我们对以上数据作进一步讨论.

      虽然课程标准认为“数学建模”是“贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“不单独开设，渗透在每个模块或专题中”，但四套教材还是都选择了在第一册单独设立“函数模型及其应用”或“实际问题的函数建模”.这可能有利于凸显数学建模这一新内容，也便于介绍相关知识点.

      可能是为了体现课程标准的“贯穿”“渗透”思想，人教版教材在全册教材的不同地方提及了“函数模型”这一语词.不过这一概念以及“数学模型”都没有进行定义或解释，且“建模过程”及框图没有放入教材中.

      湘教版教材显然也贯穿了建模理念，同时对“数学建模”“数学模型”以及“建模过程”进行了定义与解释，但建模过程的框图表征也没有纳入教材.

      北师大版教材和苏教版教材主要采取了集中处理方式.其中，北师大版教材按课程标准形式解释了“数学建模”和展示了“建模过程”的直观图.不过其建模案例充分阐释了数学建模的过程，超越了所给出的直观表征图的步骤.苏教版没有给出相应概念的定义与解释，但提供了建模过程的线性框图.

      虽然湘教版教材提供了建模过程的详细的文字说明，北师大版教材在案例中体现了完整的建模周期，但总的来看，四套教材都没有把建模过程置于重要位置.

      正如课程标准所要求的，实际问题应来自“学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面”，所以，四套教材在“函数模型及其应用”中使用了3～6个不等的实际问题案例，体现了问题来源的多样性.

      从教材中数学建模的角色定位来看，数学建模在教材中有两个基本功能.一是反映函数模型在解决实际问题中的作用.这是四套教材所着力的，这从建模专题所处的位置可得到说明.有人把这种建模组织方式称为“说明性应用”（illustrative applications）.另一是通过建模引入新的数学内容.比如，湘教版通过“射线在介质中的衰减”的探索性问题推动指数函数的学习具有模型驱动的味道.

      四套教材所使用的问题大部分还是以往应用题性质的问题，已经过加工，结构良好，可以直接套用某种函数模型.对这些问题的处理大都是“SM+RM—MM”模式.由于问题不完全是真实情境且缺少开放性，也较少采用完全的建模过程周期或模型驱动的学习推进，所以它们承担的真实情境建模功能大大减弱，在推动新知识的学习上一般只起情境导入的作用.在应用上大体是对函数性质理解的强化，对反映课程标准中使学生了解和经历框图所表示的解决实际问题的全过程，从不同的角度、层次探索解决（问题）的方法的要求似乎力有不逮.

      事实上，数学建模是现代科学研究中的利器，常常用到，数学学科应该充分利用其他学科的资源进行数学化的教学，同时为其他学科的理解提供工具.其实，在展示对真实情境的建模上，数学以外的学科在教材中已经有所介绍，可资借鉴.像人教版《生物3》，在介绍种群数量变化时，较完整地展示了不同指数模型如何被构建和修正的过程.

      从国际建模教育研究和课程标准视角审视四套教材对数学建模内容的处理，已经看到，不同教材对课程标准中有关建模的相关概念、流程图以及要求进行了不同的表征与详略处理.四套教材都采用了来自不同领域的大量问题，但在情境的真实性、复杂性上存在差异，且总体上问题与真实情境有较大迁移距离，在组织方式上采用的是“说明性应用”形式.不过，在对建模过程的细化并展示全过程，对现实情境建立真实模型这一关键环节的分析上，与国际研究结果相比较有所缺失.

      建模经验或建模教学一再表明在对真实而复杂的情境建模时最棘手的是无从下手，其中一个非常重要而我们以往没有关注到的环节就在于真实模型的建立.历史上对天体运动的椭圆轨道假设以及玻尔的原子模型，都是对真实物理现象建立的实体模型，没有这些模型就不可能有开普勒运动定律和万有引力定律.像图1、图2这样特别关注数学模型建立前的过程，对我们是非常具有启发意义的.

      我们期待教材在建模材料组织方式上会有更多形式和导向性，但这除了有赖教材编制理念的多元化，还需要课程标准的开放和评价方式的改变.

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