美国数学教育的新进展——高中数学课程焦点：推理和意义建构，本文主要内容关键词为：美国论文,新进展论文,高中数学论文,意义论文,课程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2009年10月上旬，美国全国数学教师理事会（NCTM）发布了美国高中数学教育的最新指导大纲《高中数学课程焦点：推理和意义建构》（Focus in High School Mathematics：Reasoning and Sense Making）（以下简称《焦点》），该指导大纲是众多数学家、数学教育工作者、课程制定者、政策制定者和一线教师经过两年多的努力而最终提出的.《焦点》强调高中数学课程应该重在培养学生推理和意义建构（Reasoning and Sense Making）的能力，这是高中数学学习的核心.
一、《焦点》提出的背景
1.文件背景
NCTM历来以“对数学教学提出领导性和指导性建议，确保每个学生都能获得平等的、高质量的数学学习机会”为己任.在过去的30年中，它发表了许多文件，对美国的数学教学产生了很大影响：1980年《行动议程——80年代数学教育的建议》（《An Agenda for Action》），强调从幼儿园到12年级的数学课程都应把问题解决作为核心；1989年《学校数学课程和评估标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），强调注意问题解决、推理、联系、沟通的过程；2000年《学校数学课程的原则和标准》（Principles and Standards for School Mathematics），在五个内容和过程标准方面对1989年的评估标准给出了进一步的阐述；2006年又出版了《课程焦点》，《幼儿园前至8年级数学课程的重点：寻求连贯一致》（Curriculum Focal Points for Pre-kindergarten through Grade 8 Mathematics:A Quest for Coherence），阐述了从幼儿园前到8年级的数学教学重点内容，受到广泛的好评.大家都期待着相应的高中数学文件的出台，尽管形式上可能与2006年《课程焦点》不同，但基于原则和标准的、能够指导高中数学教学的框架体系仍是大家期待的.
2.社会背景
NCTM认为随着社会对数学能力要求的提高，学生在三个领域面临着挑战：首先，2007年的国际学生评估（The Programme for International Student Assessment，简称PISA）报告指出美国学生的数学水平明显滞后，特别是在应用数学方面的能力，如分析、推理、沟通、解决和解释不同情形的数学问题等；其次，全球化和科学技术的发展对经济和劳动力提出了新的挑战，传统的数学课程已经在许多领域无法满足学生的需要；最后，美国在科学技术、工程和数学领域正逐渐失去领导地位.NCTM认为高中数学课程若能努力培养学生的Reasoning和Sense Making能力，就可以满足科学家、工程学家和数学家的要求，不管将来专业和技术的发展怎样，都能够培养出合格的学生.
二、《焦点》强调的两个概念
《焦点》强调两个重要的概念，推理（Reasoning）和意义建构（Sense Making）.
推理（Reasoning）：它通常指在已知和假设基础上推导结论的过程.推理是所有学科的重要部分，但它在数学学科中起着特殊的、基础的作用.文件中的推理不完全等同于传统意义上的数学推理（通常指证明），而是可以采用不同的形式，从非正式的解释和说理到正式的推导，还包含归纳性的观察，在得出结果之前，推理常从探索、猜测、谬误的出发点和不完全的解释开始.
意义建构（Sense Making）：在文件中被定义为通过与已知知识的联系来逐步理解某一情况，背景或概念（We define sense making as developing understanding of a situation,context,or concept by connecting it with existing knowledge）.有的文献将其翻译为“意义建构”.意义建构是建构主义学习理论的名词，英语常用Construction of meaning或Meaning constructing.但阅读文件后，觉得Sense making也不妨译为意义建构.
三、《焦点》简介
文件分成三个部分.第一部分给出了推理和意义建构的定义，并强调了推理习惯的养成，是文章的基调.第二部分用实例演示了如何在高中数学课程中培养学生的推理和意义建构能力，养成学生的推理习惯.文件涉及了五个不同的领域：数和测量、代数符号、函数、几何、概率论与数理统计.第三部分讨论了推理与意义建构在高中数学课程中的实施问题，主要强调以下几点：一是公平，每个学生，不管他原来的基础，家庭背景、社会背景怎样，都应当受到鼓励去选择高水平的数学课程，都应当得到推理和意义建构的学习机会.二是一致，课程设置、教学和评价体系应该构成一个有机的整体来支持推理和意义建构.三是协调，学生、家庭、教师、管理者、政策制定者、大学教育者、课程制定者等各方应当合作以保证推理和意义建构成为高中数学教学的核心，以保证美国不至于五年以后继续说错过了提高高中数学教学水平的机会.
四、案例分析
以概率论与数理统计为例，文件指出其中的推理和意义建构主要体现在四个方面.一是数据分析：通过收集数据和描述数据的特征来透彻地了解统计问题；二是建立变异性模型：用概率模型描述随机变量的长期行为；三是把概率论与数理统计联系起来：意识到概率是统计的必要工具，理解概率在统计推理中的作用；四是对统计研究的结果进行解释：承认随机变化，从数据得出适当的结论.
文件用一个实例“What are the chance？”展示了如何在概率论与数理统计中，在不同时间反复提出同一问题，以培养学生的推理和意义建构能力以及良好的推理习惯.
问题 从一个由10个女生和40个男生组成的俱乐部中抽2人做主席团成员，问正好有2名女生，1名女生或没有女生的概率？
第一次提出（9到12年级数学课上）
目的：老师希望学生能够设计一个手动的模拟实验估计不同的概率.
背景：学生已经有过利用随机数发生器或图形计算器的随机数功能进行模拟实验的经验.
过程：引导学生讨论如何设计模拟实验.
引导学生用标准的纸牌设计实验（52张不含大小鬼的纸牌，抽掉两张人头牌，用剩下的10张代表女生，40张数字牌代表男生）；
洗牌，抽取两张，记录下女生的个数；
纸牌放回，重新洗牌，抽取两张，记录下女生的个数；
决定抽牌的次数（学生通过以前的实验，知道当实验次数足够多时，相应的频率接近于概率）.
第二次提出（高中统计课程中）
目的：利用树形图研究条件概率.
背景：学生学过树形图，并正在学习概率论法则.
过程：引导学生考虑没有女生的概率；（0个女生=第一个选择的是男生×第二个选择的依然是男生）
引导学生考虑选一个男生的概率；（40/50）
引导学生考虑选了一个男生之后，选第二个也是男生的概率；（39/49，条件概率）
得出没有女生的概率：
P（0女）=P（男生和男生）=P（第一个是男生）P（第二个是男生且给定第一个是男生）=
；
介绍条件概率的原理：
P（A∩B）=P（A）P（B|A）.
引导学生用树形图描述条件概率，计算出相应于不同女生个数的概率.
延伸：课后留下作业：
假设第一个被选出的学生性别未知，那么第二个被选出的学生是女生的概率是10/50，为什么？
第三次提出（12年级）
目的：利用计数原理研究不同的概率.
背景：学生学过计数原理.
过程：提醒学生C（m，k）=
表示由m个不同物体组成的集合含k个物体的子集的个数；引导学生得到部分结论；C（50，2）=1225表示从50个学生中选取两个的所有可能；
0个女生为C（10，0）·C（40，2）=780，
1个女生为C（10，1）·C（40，1）=400，
2个女生为C（10，2）·C（40，0）=45.
延伸：这一结果可以发展为一类从有限总体中抽样的概率问题.
假设总体有N个物体，每个物体被归类为成功或失败，已知M个物体是成功的.从总体中抽取n个物体，记录成功的个数，恰好得到x个成功物体的概率为：
不同条件和不同的水平下重温同样的题目，让学生有机会对以前所学的知识有更深的感悟，在多方面培养推理习惯，如分析问题、逻辑演绎，寻找和应用联系，解释结论，推广结论等.且从模拟实验到计数原理，应用了概率和统计的联系，体现了推理和意义建构的作用.
五、几点看法
1.文件提出把高中数学课程的焦点放在推理和意义建构上，并用案例解释了怎样在不同的课程中培养学生的推理习惯，是个很好的理念和思维框架.如报告第六章——函数中的推理指出要重视一类函数的应用，例题11和例题12是两个看似完全不相关的应用，一个是药品在体内的残留量，一个研究存款利息问题，但实质上两个例题应用的都是等比数列的性质，牵涉的都是指数函数的问题，如果在教学中能够注意引导和总结，学生就会逐渐学会在不同应用间的推理，就不会把应用看得很难，不会把每一道题目都看成是新的、增加负担的，这样就会提高学生学习的兴趣.
2.文件中许多案例的对话似乎有点理想化，学生与教师和同学配合默契，教学进程顺利.例如第42页的例10，Patterns，Plane and Symbol：除了第一种方法外，另外三种方法在教学中是很难实现的，方法二需要非常扎实的数列知识的基础，没有长期的训练，学生是想不到的；方法三用计算器的方法非常好，但笔者IB教学经验告诉我们，学生经过课题的反复训练才能够理解；方法四正如报告中所言：需要对数学相关的章节有很深刻的理解并对代数的运算有进一步的认识，在基础的课堂教学中是很难实现的.
3.报告在概念的解释方面还不够细致.标题中强调推理和意义建构两个方面，但在第二章和第四章以后的各章，意义建构不见了，而只是反复强调推理习惯如何养成.此外，8年级以前的文件，并没有这样推崇推理和意义建构的表现，这两个文件如何统一思想和风格呢？
六、启示
首先，教师要通过不同渠道选择和利用有探索性的问题在课堂中提出，这对于教师的备课提出了具体的要求，不是简单的知识介绍和作业布置.NCTM和其他专业组织提供了一系列有价值的、出版的或在线的资源供大家选用，进一步的关于如何在课堂教学中体现推理和意义建构的重要作用的资料还在继续整理中.
其次，报告在具体实例中大多采用师生对话式，强调了课堂上师生的互动.教学不能无视学生的已有知识经验，而应当引导学生从原有的知识中提升对新知识的理解.课堂教学应该以学生为中心，教师提供适当的、形成性的指导.这一点对课堂教学的实践提出了较高的要求，是许多人一直在研究和摸索的.
最后，报告强调学生、家庭、教师、管理者、政策制定者、大学教育者、课程制定者等各方都应将推理和意义建构作为高中数学教学的核心目标，只有各方通力合作，学生才能够成为真正的受益者.这对于评价体系也提出了一定的要求.