动态VaR预测模型与投资组合预测精度评价_var论文

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      对投资组合风险预测的研究既有很强的理论意义又有普遍的现实意义。迄今组合风险研究方面的文献大多是基于某个模型来度量投资组合的风险，如吴振翔等（2006[1]应用正态Copula和t-Copula结合Garch模型计算了组合的VaR，周孝华等（2012）[2]使用Copula-SV-GPD模型来度量投资组合的风险。这类文献有一个共同的特点是都没有事先进行模型风险度量精度的比较，然而不同模型在测算投资组合风险的准确性方面是存在差别的，只有选择精度最高的模型才能准确测算出投资组合的真实风险，才能既不高估风险又不低估风险。所以对组合风险估计模型进行比较具有很强的经济意义，基于此考虑本文在这方面做出了探索。迄今估计和比较投资组合风险预测模型的预测精度的文献不多，如Hofmann M.和Czado C.（2010）[3]采用D藤结构Copula方法研究了投资组合风险管理问题，张金清和李徐（2008）[4]比较了5个Copula模型的投资组合风险预测精度，高江（2012）[5]使用两种返回检验方法测试了3个Pair-Copula模型的VaR预测效果。这些模型比较的文献共同特点是进行比较的模型不多，且只对边缘分布相同的模型进行比较。针对这些情况，本文进行大量的改进。

      本文的特色主要体现在：

      1.把GJR模型、极值理论和时变（常态）Copula结合起来研究组合风险。

      2.为了保证风险预测精度检验结果的有效性和稳健性，我们使用了4种检验方法。

      3.把GJR-GPD-Copula混合模型和GJR-SKST-Copula混合模型的组合风险预测精度放到一起进行了检验比较。

      4.给定边缘分布，检验了GJR-SKST-TV-Copula和GJR-GPD-TV-Copula混合模型的投资组合风险预测精度。

      5.在检验模型的组合风险预测精度的同时，兼顾检验了模型的拟合能力和密度预测精度。

      一、数据说明和描述性统计

      （一）数据说明以及收益率的计算方法

      

      （二）描述性统计量

      从表1可以看出：两市收益率均值接近，这符合国际股票市场上的普遍情况。两市收益率的标准差都非常小，且非常接近，但深证成指收益率的标准差要略大于上证综指的收益率的标准差，说明实施涨跌幅限制制度后两市的波动率下降了，两市波动率普遍小于其他国家的股票市场的波动率，且深证成指波动幅度要大于上证综指；两市收益率的偏度和峰度都在1%显著性水平下显著，且两市偏度方向一致；两市的Jarque-Bera值都在1%显著性水平下非常显著，这表示两市都拒绝有效市场假说的正态分布假设，以上的信息反映出，两市收益率实际上服从有偏厚尾分布；两市收益率的线性相关系数和秩相关系数都大于0.9，说明两市高度相关；两市收益率在1%的显著性水平上都存在ARCH效应，Ljung-Box Q检验表明上证综指和深证成指收益率都在1%的显著性水平上拒绝无自相关性①；ADF单位根检验表明，各两市收益率序列都显著拒绝了存在单位根的原假设，这表示两个序列是平稳的，因此可以作进一步的分析和计量建模。

      二、Copula模型与VaR预测模型介绍

      （一）常态Copula模型

      本文研究的Copula都是指二元参数Copula，后面不再说明。这里的Copula函数引自Joe（1997）[6]和Nelsen（2006）[7]。

      表2总结了本文考察的全部9个Copula函数及其密度函数特点，金融风险度量中的适用范围，以及相关参数和相依系数。图1是9个函数的概率密度函数图，这个图非常直观地呈现了这9个函数的密度函数的特点。

      （二）时变Copula模型

      本文实证分析的时变Copula模型及其时变相关参数演化方程来自Creal等（2012），本文分析的两个时变Copula模型是：TV-Rotated Gumbel和TVStudent t，分别简称TV-RG和TV-t。

      （三）VaR预测模型

      1.GJR-SKST-Copula模型

      

      

      

      大量研究表明股票收益率本身具有自相关性，其波动具有异方差性、非对称性和杠杆效应，所以我们用AR（1）模型来表示股指收益率的条件均值模型，用GJR-GARCH（1，1）模型来表示股指收益率的条件方差模型。具体表达式如下：

      AR（1）：

      

      GJR-GARCH（1，1）模型：

      

      2.基于EVT的GJR-GPD-Copula模型

      GJR模型和Copula模型同上，对极值理论（ＥVT）的分析如下：

      

      在此我们称

为超门限值分布函数。Haan[10]和Pickands[11]证明发现，当门限值u充分大时，超门限分布函数近似为EVT中的广义帕累托分布（GPD）

      

      其中，β表示尺度参数，且是u的正函数ξ∈R为形状参数。大量实证研究表明，金融资产收益率时间序列的分布呈现厚尾特征，而广义帕累托分布（GPD）能够很好地捕捉到金融资产收益率序列的厚尾特征。所以我们使用GPD对金融资产收益率序列的上下尾部进行拟合，对处于上下尾部之间的收益率使用非参正态核分布进行拟合。于是资产组合中的单个资产收益率的标准化残差序列

，j=1，2的边缘分布为

      

      三、依据Monte Carlo模拟，计算投资组合的VaR

      参考高江（2012），VaR是指在一段时间内，给定某个置信水平下，某项资产或投资组合的最大损失值（文中定义为负值）。用公式表示如下：

      

      第一步：首先用t天之前的数据估计Copula函数，并用该函数表示t日投资组合各资产间的相依结构，然后生成第t天投资组合所服从的Copula函数的100000个2维随机数组

。

      

      第三步：根据GJR模型预测出第t天投资组合资产的标准差

。

      

      第五步：重复以上步骤1000次，算出VaR平均值，即为第t天VaR的估计值。

      四、返回检验（Backtesting）方法说明

      Kupiec LR检验法[12]和动态分位数回归检验法[13]是常见的VaR检验方法，很多文献都有详细介绍，在此不赘述。这里介绍另外两种VaR检验方法。

      （一）LR-duration说明

      当样本量小时，Christoffersen（1998）发展的Backtesting方法的power也相对较小，Berkowitz（2001）提出的检验方法在一定程度上克服了这个缺点，但是该方法有效的前提是知道投资组合收益率分布的左尾形状，显然在很多情况下这个条件是无法满足的。Christoffersen和Pelletier（2004）提出的Duration～Based方法[14]克服了以上缺点，且在应用中更为强大（power），该检验方法基于相邻两个VaR违背（violations of the VaR）之间持续的天数。

      （二）Riskmap说明

      Colletaz etal.（2011）[15]提出了一种新的检验VaR模型的Backtesting方法，称为风险地图法（the Risk Map），该检验方法和其他Backtesting方法不同的地方主要体现在：（1）其他Backtesting方法只依据极端损失（extreme losses）的数量，而该方法既依据极端损失的数量也依据极端损失的大小程度；（2）其他方法没有用图形辅助说明，而该方法使用辅助图形概括总结了关于风险模型表现的全部信息。该检验方法使用了Perignon和Smith（2008）构造的渐近服从自由度为2的卡方分布的似然比检验统计量

，其数学表达式如下

      

      该检验统计量的p值大小取决于VaR异常个数（number of exceptions）和超级异常个数（number of super exceptions）的不同组合。

      五、实证结果分析

      （一）模型的参数估计

      1.边缘分布参数估计

      为了计算的方便，本文仅考虑投资组合中每项资产等权重的情况，即

=1/2。基于前面统计性质描述和数据样本分析，并利用贝叶斯信息准则（BIC），我们发现：由上证综指和深证成指构成的投资组合收益率的最优条件均值模型分别是AR（1）和AR（0）。收益率序列的最优条件方差模型都是GJR-GARCH（1，1）模型。图2是投资组合标准收益尾部经验分布与GPD分布拟合效果图。从图2可以看出，标准收益的GPD分布与经验分布有较好的拟合效果，说明运用EVT中GPD分布在金融市场收益尾部的拟合上具有可靠性。下页表3总结了边缘分布参数估计结果，表3下部分分别是GPD参数估计、SKST密度参数估计和拟合优度检验，属于拟合优度检验的KoS检验和CM检验的p值都大于5%，说明不能拒绝参数边缘分布是SKST的假定。因此，我们分别用GJR-SKST和GJR-GPD对投资组合收益率的边缘分布建模。

      

      

      依据得到的标准收益拟合出超额均值图（图3）。从图3中得到大约从1左右开始，MEF是斜直线向上的，说明其近似服从GPD分布。这意味着我们应该选择10%的极大值为门限值。

      2.Copula模型参数估计

      表4左边是对GJR-SKST-Copula模型中的Copula模型的排序，右边是对GJR-GPD-Copula模型中的Copula模型的排序；两类模型的优劣排序完全相同，各个模型的参数估计值各不相同，但是Copula模型的参数估计值却非常接近；只有Student t和SJC两个模型有两个参数，其他的Copula模型都只有一个参数；我们对排名前3的Copula模型的对数似然值用斜黑体表示，这些模型分别是排第一的Stud t Copula模型，排第二的RG以及排名第三的Normal。

      表5总结了时变Student t模型和时变RG模型的参数估计值和标准误。全部模型的所有参数估计值在5%显著性水平下统计显著。

      

      

      

      （二）模型样本内拟合检验结果②

      l.KoS检验和CM检验结果

      对上证综指和深证成指收益率的相依结构模型进行了KoS检验和CM检验。这两个检验的虚拟假设是估计的Copula模型就是不可观测的真实的Copula模型，备择假设是估计的Copula模型并非真实的Copula模型。检验结果表明，所有常态Copula模型都被拒绝，只有两个时变Copula模型即时变RG和时变Student t通过了检验。尽管Normal Copula模型在原始数据情形下通过了检验但其Rosenblatt变换情形下被拒绝。

      2.RV检验和PLR检验结果

      RV检验[16]和PLR检验[17]的检验统计量是t值。RV检验和PLR检验得出一致的常态模型优劣排序，RV和PIR检验结果都显示，Clayton模型是最差的拟合上证综指和深证成指收益率之间真实相依结构的常态Copula模型，而Stud t是最好的拟合上证综指和深证成指收益率之间的真实相依结构的常态Copula模型。这说明尽管在拟合优度检验中这四个估计的常态Copula模型都被拒绝，但是RV和PLR检验显示他们的拟合能力有差别，其中Stud t对真实上证综指和深证成指收益率之间真实的相依结构的拟合能力最好，RG次之，Normal再次之，Clayton最差。RGumbel样本内拟合能力好于Normal，但在5%的显著性水平下不显著。

      （三）样本外密度预测检验结果

      我们把前3000对两市收益率样本数据规定为样本内数据，用来拟合模型，后702对两市收益率样本数据规定为样本外数据，用来评价拟合模型的密度预测表现。我们对各个混合模型使用滚动时间窗一步向前样本外密度预测法来进行样本外密度预测。混合模型的样本外密度预测评价的CPA检验[18]的检验结果表明，GJR-SKST-Copula模型和GJR-GPD-Copula模型的密度预测能力排序相同，都显示时变Stud t和时变RG的样本外密度预测评价要高于四个常态Copula。并且时变Stud t具有最高的样本外密度预测评价，时变RG次之，Stud t再次之，RG第四，Normal第五，Clayton具有最低的样本外密度预测评价。两类混合Copula模型的CPA检验t统计量非常接近，两类模型中的RG及时变RG的样本外密度预测评价分别高于Normal及Stud t，但是在5%的显著性水平下统计上都不显著，尤其是RG。我们还比较了两类模型的样本外密度预测能力，实证结果显示所有的t统计量都大于1.96，这说明当参数边缘分布是SKST的时候，所有参数GJR-SKST-Copula模型的样本外密度预测精度在5%的显著性水平下统计上都要显著优于具有相同Copula的GJR-GPD-Copula模型。

      （四）返回检验（Backtesting）检验结果

      本文计算出样本外702天的投资组合VaR，分位数水平为5%、1%和。5%，并与实际收益率相比来检验Copula模型的VaR预测效果。同时为了计算的方便，本文仅考虑投资组合中每项资产等权重的情况，即

=1/2。运用滚动时间窗一步向前样本外预测法预测投资组合VaR，即我们选取t=1，2，…，3000的数据作为第一个估计样本，分别对上述各种模型的参数进行估计，然后在此估计基础之上，获得未来1天的投资组合VaR预测。也就是说，第1个样本外VaR的预测值是在前面3000个数据的基础上对第3001天的投资组合风险估计，不断重复该步骤，我们就可以得到全部702天的投资组合VaR预测。我们采用四种检验方法来检验模型的风险预测精度，这一方面保证了检验结果的可信性，同时，由于四种检验方法得到的检验结果差别不大，这又保证了检验结论的稳健性（见表6～表10）。

      

      

      

      

      

      从表6至表10的四种Backtesting检验的检验结果可以发现：

      （1）GJR-SKST-Clayton模型在所有三个分位数水平下（5%，1%，0.5%）的P值都为0，GJR-SKST-RC在所有情况下的P值也几乎都为0，这说明GJRSKST-Clayton和GJR-SKST-RC不能准确预测投资组合的各种水平风险。当分位数水平是1%和0.5%的时候，GJR-GPD-RC的P值几乎为0，当分位数水平是S%的时候，其P值也在所有具有相同边缘分布的模型中最低，这说明该模型不能准确预测组合的风险。而GJR-GPD-Clayton在所有三个分位数水平下的P值显著，且在同类模型中最高，说明GJRGPD-Clayton模型的资产组合风险VaR的预测精度最高。可见边缘分布不同，模型的投资组合VaR预测精度也不同。

      （2）当边缘分布是GJR-GPD的时候，在分位数水平是5%的情况下，所有的VaR预测模型都能准确预测投资组合的风险。在分位数水平是1%和0.5%的情况下，GJR-GPD-Frank模型没有通过检验，这表示该模型在中等程度风险水平上和高风险水平上不能准确预测资产组合的风险。

      （3）在所有检验结果中，当分位数水平是5%和0.5%的时候，GJR-SKST-RG模型的P值显著，且在具有相同边缘分布的模型中最高，这表示该模型在低风险水平上和高风险水平上具有同类模型中最高的投资组合风险预测精度。

      

      （4）当分位数是5%的时候，在除Riskmap检验之外的其他三个检验结果中，除了GJR-SKSTClayton和GJR-SKST-RC两个模型之外的其他，7个Based-Copula模型都能准确预测投资组合风险；当分位数是0.5%的时候，GJR-SKST-Frank在全部四个检验中都没有通过检验，这表示该模型在高风险水平上不能准确预测投资组合的风险。同样，从全部四个检验结果来看，GJR-SKST-Plackett在高风险水平上的投资组合的风险预测精度也不理想。

      （5）当分位数是1%的时候，在边缘分布是GJRSKST的情况下，只有GJR-SKST-SJC和GJR-SKSTNormal两个模型通过了1%的显著性水平上的所有检验。

      （6）我们把表7至表10中针对常态Copula情况下的全部四个检验结果所包含的模型风险预测精度信息总结在表11中，表11中的数字是模型的组合风险预测精度排序，表里括号中的数字是三个分位数下排序号的加总，说明了模型的整体风险预测精度排序。GJR-SKST-Clayton在9个模型中风险预测精度最低，而GJR-GPD-Clayton在9个模型中风险预测精度最高，说明边缘分布拟合模型的不同会导致混合模型预测精度的天差地别。

      （7）就时变Copula而言，两个GJR-SKST-TVCopula模型，即GJR-SKST-TV-t和GJR-SKST-TVRG在所有三个分位数下，都能预测投资组合的风险。但是，从表11中的P值大小可以发现，两个混合模型在5%和0.5%两个分位数下的组合风险预测精度都要高于在1%分位数下的组合风险预测精度。就GJR-SKST-TV-t模型而言，在0.5%分位数下的风险预测精度最高，在5%分位数下次高，在1%分位数下的风险预测精度最低；而GJR-SKST-TVRG模型在0.5%分位数和5%分位数下的风险预测精度差不多，在1%分位数下的风险预测精度最低。从总体上看，这两个模型的投资组合风险预测精度差不多，在0.5%分位数下，GJR-SKST-TV-t模型略好于GJR-SKST-TV-RG，在5%分位数下，GJRSKST-TV-RG略好于GJR-SKST-TV-t，在1%分位数下，两个模型的组合风险预测精度相同。

      （8）把常态Copula改为时变Copula提高了混合模型的投资组合的风险预测精度，即GJR-SKST-TV-Copula模型的风险预测精度要高于GJR-SKST-Copula模型，GJR-GPD-TV-Copula模型的风险预测精度要高于CJR-GPD-Copula模型。在Copula相同的情况下，把边缘分布从GJR-SKST改为GJR-GPD，改善了混合模型的投资组合的风险预测精度，即GJR-GPD-Copula模型的风险预测精度要高于GJR-SKST-Copula模型。

      （9）GJR-GPD-TV-Copula模型能够准确预测组合风险，且具有最高的投资组合风险预测精度，其在三个不同分位数下的风险预测精度没有明显区别，且GJR-GPD-TV-t与GJR-GPD-TV-RG的风险预测精度也没有明显区别，都具有最高的投资组合风险预测精度。

      本文摒弃传统的单单只考察风险预测模型的风险预测精度的研究方法，而是兼顾考察模型的样本内拟合能力和样本外密度预测精度，从而得到对风险预测模型更为全面和深入的了解。比较三类检验的检验结果，并结合表11，我们得到了如下结论：（l）GJR-SKST-Copula混合模型和GJR-GPD-Copula混合模型的样本内拟合能力排序和样本外密度预测能力排序一致，而这两类模型的投资组合风险预测精度排序和前两者的排序却不同，但是模型的风险预测精度与拟合和密度预测精度还是存在较弱的正相关关系；（2）当边缘分布是GJR-SKST的时候，Clayton模型不但具有最低的样本内拟合精度和样本外密度预测精度，而且具有最低的组合风险预测精度，且没有通过风险预测检验。但是当边缘分布是GJR-GPD的时候，Clayton通过了检验，且在常态模型中具有最高的组合风险预测精度；（3）边缘分布对Copula模型的样本内拟合精度和样本外密度预测精度的影响不大，但对Copula模型的组合风险预测精度的影响很大；（4）无论边缘分布如何，RC模型具有最低的AIC排名和次低的组合风险预测精度，反之，RG模型却具有次高的AIC排名和次高的组合风险预测精度。当边缘分布是GJR-SKST的时候，Normal在常态模型中具有最高组合风险预测精度；在任何边缘分布下，Gumbel对组合风险预测精度排名都靠后，Student t Copula具有最高的拟合和密度预测精度，其组合风险预测精度也较高，SJC模型在任何边缘分布下都有较高的AIC排名和风险预测精度，且在一定情况下和Normal并列具有最高的风险预测精度；（5）无论是常态还是时变Copula，在Copula相同的情况下，GJR-GPD-Copula的拟合、密度预测和组合风险预测精度都要高于GJR-SKST-Copula，这意味着GJR-GPD更好地拟合了边缘分布；（6）混合模型的风险预测精度并非固定不变，而是随分位数（置信水平）的变化而变化。其经济意义是我们在预测组合风险的时候应根据风险程度的变化选择不同的模型；（7）在任何边缘分布和分位数下，时变Copula都能通过检验，且具有高于常态Copula的风险预测精度、拟合和密度预测精度。GJR-GPD-TV-Copula具有最高的投资组合风险预测精度，其在三个不同分位数下的风险预测精度没有明显区别，且GJR-GPD-TV-t与GJR-GPDTV-RG的风险预测精度也没有明显区别，都具有最高的投资组合风险预测精度。

      ①ARCH-LM统计量和Ljung-Box Q统计量都使用了滞后15项。

      ②因篇幅限制，样本内拟合检验和样本外密度预测检验的详细检验结果没有在文中列出，如需要可向作者索取。

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