福建省厦门市海沧中学 361000
摘 要：高中数学有许多知识点抽象难懂,如果将一题多解与多题一解应用到教学中,会对学生的数学学习产生实质性的帮助作用。一题多解是高中数学教学中经常用到的教学思路,其核心在于学生可以运用不同的思维模式,从不同的角度对问题进行分析,从而得出不同的解题方法并选择适合自己的方法进行解题。
关键词：知识 整合 创意
数学是思维的体现，解决问题是学生学习数学的目的，因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题。但过多、过密、盲目的解题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反面易使学生疲劳，兴趣降低，从而窒息了学生智慧的发展，只有通过“闻一以知十”解题思维训练，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展，而一题多解无疑是激发学生兴趣，开拓思路，培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法。下面通过一个实例来体会“一题多解”在数学教学中的作用。
例：已知x>0，y>0。且xy-（x+y）=1,则x+y的最小值?
思路一：将x+y看作一个整体，利用基本不等式把xy转化为x+y再求x+y的最小值。
解法一：∵x>0，y>0，∴xy≤（）2，∴ 1+（x+y）=xy≤（）２，∴（x+y）2-4（x+y）-4≥0,∴x+y≥2+2 2或 x+y≤2-2 2（不符合，舍去），当且仅当x=y=1+ 2时，即x+y的最小值为2+2 2。
思路二：因为（x+y）=xy-1，所以要求x+y的最小值，就是等于求xy的最小值。
解法二：∵x>0，y>0，∴x+y≥2 xy，∴xy-1=x+y≥2 xy，∴（xy）2-6xy+1≥0，∴xy≥3+2 2或xy≤3-2 2（不符合，舍去）当且仅当x=y=1+ 2时，∴xy≥3+2 2，即x+y的最小值为2+2 2。
思路三：构造一元二次方程，利用函数的定义域求解x+y的最小值。
解法三：令t=x+y（t>0），则 y=t-x，由xy-（x+y）=1得x2-tx+t+1=0，依题意x>0使得上式成立，∴△=t2-4（t+1）≥0t2-4t-4≥0t≥2+2 2或t≤2-2 2（不符合，舍去），故x+y的最小值为2+2 2。
思路四：依题意得（x-1）（y-1）=2，由基本不等式得 （x-1）+（y-1）≥2 （x-1）（y-1）=2 2，从而得x+y的最小值。
解法四：依题意得y=+1>0解得x>1或x<-1（不含,舍去），同理得 y>1（x-1）+（y-1)≥2 （x-1）（y-1）=2 2x+y-2≥2 2x+y≥2+2 2，当且仅当x=y=1+ 2时，（x-1）+（y-1）=2 2，即x+y的最值为2+2 2。
思路五：依题意得y=+1>0表示双曲线C的一支如图：令x+y=b，利用数图结合，把x+y的最小值转化为双曲线上的点到直线x+y=b的最小距离。
解法五：依题意得y=+1>0表示双曲线C的一支如图：令x+y=b，则y=-x+b表示斜率为-1的一组平行直线l，由右图可知，直线l：y=-x+b与双曲线C相切于点A（ 2+1, 2+1）时，截距b取得最小值，从而得x+y的最小值为2+2 2，此时直线l与双曲线C只有一个公共点，即相切时截距b取得最小值。
思路六：依题意得（x-1）（y-1）=2，从而把x-1, 2,y-1看成是公比为q的正数的等比数列，再转化为公比的代数式，即为x+y的最小值。
解法六：依题意得y=+1>0解得x>1或x<-1（不含，舍去），同理y>1，xy-（x+y）=1得（x-1）（y-1）=2，令x-1= ,y-1= 2q（q>0），则（x-1）+（y-1）= + 2≥2 × 2q=2 2x+y≥2+2 2。
思路七：若本题是选择填空题，条件中x,y是轮换变量，此时当且仅当x=y时x+y为最小值。
解法七：令x=y，得x2-2x=1，解得x=1+ 2或x=1- 2（不合题意，舍去），∴x+y≥2+2 2，故x+y的最小值为2+2 2。
运用多种不同的知识解决同一问题既能活跃思维，开拓思路，发展智力，通过知识整合能促进基本技能的掌握，丰富解题经验，能促进基础知识的融会贯通，从而有利于培养钻研能力和创造精神。
参考文献
[1]白建智的博客 一题多解的反思。
[2]百度文库 浅谈一题多解在数学教学中的作用。
[3]中学数学教学参考 关于人教版“基本不等式”。
论文作者:肖荣星
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第331期
论文发表时间:2018/9/13
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