高中生一元二次方程学习情况调查与分析——由一道高考低分题引起，本文主要内容关键词为：低分论文,情况论文,高中生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
二、数据收集
4道测试题的设计主要是为测试学生对一元二次方程概念构成要素的理解，从中了解学生对一元二次方程的运用能力.被测学校是一所省一级重点中学，从全年级高二学生中随机抽取400人，再随机分成A、B、C、D四组，每组100人，各组分别做题目1、题目2、题目3、题目4，测试时间均为6分钟.
三、结果讨论
现将各组答题思路进行统计分析，其结果见表1.
通过以上4道题的答题分析和讨论，高中生在处理涉及含有参数的一元二次方程问题时，表现出以下几个问题：将等式视为方程还是以函数相待把握不准；未知数的选择具有盲目性；判别式的应用缺乏灵活性；新情境中综合运用能力不足.学生在解题中为什么会发生这些问题？发生的原因是什么？解决这些问题的方法有哪些？这是教师不能不思考和回答的问题.
四、原因分析
学生在学习数学时所产生的问题和困难，与教材的编写方式和教师的教学行为密切相关.
1.习惯驱动造成思维定势
小学六年级下册提出代数概念[2]，同时给出方程的定义：含有未知数的等式叫方程，教科书上的方程未知数都用x表示.初中教科书所涉及有关方程内容的例题、习题中，方程的未知数绝大多数都用x表示.如人教版九年级上册第二十二章[3]，除“实验与探究”栏目中三角点阵的前n行的点数计算的方程
+n-600=0中的未知数用n表示外，所有的一元二次方程的未知数都是x.又如，普通高中人教A版《数学5》“3.2一元二次不等式及其解法”[4]，这节内容的例题、练习题、习题中，涉及二次方程、二次函数、二次不等式等相关知识的题目，仅有一道应用题的变量是用字母t表示，其余各题的未知数或变量都是x.用字母x表示未知数，在学生头脑中留下了十分深刻的印象，字母x表示未知数形成了一种惯性思维，当等式中有字母x出现时，他们就会很快联想起方程或函数，并把等式视为方程或函数，同时认定x就是未知数或自变量.相反，若等式用其他字母表示时，学生就不易联想到方程或函数.由于题目1条件中直接指明等式是方程，从求解结论中又容易知道方程的未知数是x，因此绝大多数学生都能顺利完成.而题目2、题目3没有直接明示等式是方程，并把未知数改用字母
，在此情境下，尽管题目2中等式左边的结构按一元二次方程一般形式给出，结果还有三分之一多的学生没有将等式当做方程看待.题目3只有一半的学生把等式视为方程，甚至个别学生把字母和d分别作为等差数列的首项和公差来处理.事实上，未知数不管用什么字母表示，在逻辑上都等同于“x”.由此说明学生对方程的“未知数”没有透彻理解.因为函数的最值问题不管在初中还是在高中教师都很重视，学生做过有关函数最值的题目也不少，所以在涉及与最值有关的问题时，学生很容易联想到函数.由于题目4的设问以“求实数d的最大值”形式出现，在此语境下，由于习惯思维的作用，学生很自然地将求d的最大值与函数联系在一起，并用函数的眼光去审视问题.表1显示，61人运用函数思想去解决，只有28人使用判别式法，这与实际相符.
2.解题思路被等式表面现象所迷惑
人教版教材中称
+bx+c=0（a≠0）为关于x的一元二次方程的一般形式.其中a、b分别是二次项、一次项的系数，c为常数项.也就是说在方程的背景下，等式中出现多个字母和数字时，只要确定某个字母为未知数后，其余的字母都是各项中构成系数的一部分.初中教材中除了习题22.2第14题：“无论p取何值，方程（x-3）（x-2）-
=0总有两个不等的实数根？给出答案并说明理由.”[3]含有两个字母外，其他所有一元二次方程只出现一个字母，当然方程中的未知数很明确.因此初中学生解方程的求解目标十分清楚.而题目3不仅没有直接明示等式是方程，而且等式出现了两个字母.这样虽然增加了对问题理解的广度，但同时冲淡了解题思路的清晰度.此题有两种思路.思路1：将等式以方程相待，并提出：未知数是谁？两个字母都是未知数吗，还是选其中的某一个？这是解方程必须要思考的问题.一些对方程知识认识不到位的学生，面对多个字母“纠缠”在同一个式子时，就会出现“眉毛胡子一把抓”的局面.本题将括号拆开后等式以何种形式整理，即方程的未知数选择谁，对解决本题起关键作用.在87人拆开括号中有45人将原式整理成
，并把d作为未知数，结果解题思维陷入困境，最后以失败告终.思路2：将等式以函数的眼光去审视，把两个字母看成有依赖关系的变量，并按求函数最值的方法去思考.此题有18人用函数思想去思考，但都很难奏效.题目2与题目3本质上是一样的，只不过等式的表面形式不一样，但为什么题目3的空白人数远超过题目2呢？究其原因，题目2直接给出的等式是关于的一元二次方程的一般形式，而题3给出的等式结构与一元二次方程的一般形式差别较大，学生思维的关注点更多地落在对式子结构的变形上，忽略了对等式的实质的考量，等式的本质问题被式子表面形式所掩盖.从学生答题情况来看，将原式写成和
的人数基本持平.考后笔者与写成的学生进行个别座谈，了解到他们在化简
时，把式子只视为一个有括号的等式，并没有以方程相待，当然没有去思考方程的未知数是还是d，他们只是凭平时对有括号的式子化简的习惯做法，先拆括号再合并同类项.以上分析表明，学生受式子的多个字母的干扰和式子的不良结构的影响，解题者在题意理解上被这些表面现象所迷惑，解题思维被屏蔽，导致解题思路迷失，好多学生无奈之下只能放弃.表1显示，题目2、题目3分别有17人和31人是空白，这与实际相吻合.
3.教不得法导致阅读能力薄弱
当今的高中数学课堂并没有因新课程改革而带来实质性的改变，课堂上能主动安排一定的时间指导学生阅读，并让学生自学课本，这样的教师为数不多.课后学生又要忙于应付教师所布置的大量重复性的作业，很难抽时间读该读的书，思考该思考的问题，做该做的事.这种教学行为培养出来的学生其阅读水平、学习能力无疑是低层次的.
题目1完成情况表明，学生掌握了用判别式法判断一元二次方程实根的存在情况.说明题目2和题目3解答失败的学生并不是由于未掌握解一元二次方程相关算法所致，较大程度上反映了学生在题意的理解及数学语言转译能力上存在一定缺陷.题目2、题目3、题目4只给出等式，没有直接指明等式是方程及谁是未知数，而是暗示在实数范围内方程的解存在，在此条件下，求另一个字母的取值范围或最大值，对于数学阅读理解能力弱的学生，就很难理解题目的意图，尤其题目3的等式有两个括号相乘，且与一元二次方程一般形式差异较大.这样更增加了联想到二次方程的难度.目前大多数学生存在不良的解题习惯，不愿意在审题上多花时间，审题粗糙，题意理解肤浅，表现出急切的求解心理.通过对个别学生的访谈，了解到72%的学生在阅读题目3时，对条件“设，d为实数”一溜烟过去.有一部分学生即使注意到条件“设，d为实数”，但对它的作用也没有给予充分的认识和引起足够的重视，他们没有觉察到此条件表明方程有实数解.这样无法将这些对解题起关键作用的信息融入到自身知识网络结构中，在不同程度上增加了将原问题转化为熟悉或已解决的问题的难度，致使解题无法顺利进行.
4.新情境中知识运用能力不足
一元二次方程是解决一元二次不等式、二次函数、解析几何等有关问题的重要工具，判别式法是解决有关二次方程问题的常用方法.从表1知，题目1用判别式法的达98人，说明学生掌握了用判别式法判别一元二次方程实根的存在情况.但从题目3、题目4答题情况可以看出，学生在新情境下对判别式的使用过于死板硬套，缺乏灵活性.由表1知，题目3有9人盲目使用判别式得出
-40≥0，题目4想到判别式法的人数降到28人.教科书在涉及一元二次方程的大多数例题中不含参数，含参数的一元二次方程的题目主要集中在习题和复习参考题中，而这些题目的未知数都用“x和y”，参数用m、k、t、b等字母，学生在解决教科书上的题目时并不感到困难.但从题目2、题目3、题目4答题情况可以看出，只需将式中字母做一个变换、式子结构稍做变动、问话方式略加改变就会使一些学生无法应答.这充分表明学生在新情境中，解决有关含有参数的一元二次方程问题时表现出知识综合运用能力不足.事实上，式子中各字母在外在环境状态下，它们的角色都将会发生改变，它们的“地位”可以相互转化，有时根据具体问题的研究需要把“已知”与“未知”关系颠倒过来进行考虑，以解决问题.这些都需要解题者具有灵活应变的能力，及较强的知识综合运用能力.不然的话，必将导致解题思路迷失.
五、链接高考
分析浙江省2009-2011年的高考试题，二次方程知识是高考重点考查内容，但都没有单独成题，而是把方程思想渗透在各类知识中，考查要求比较高，要求考生把原题化归为一元二次方程问题，并灵活运用一元二次方程有关知识进行处理.
表2表明，所列的高考题都可由二次方程来收场，即这些考题的落脚点是含有参数的二次方程问题.从往年高考得分来看，这些题得分率都比较低.主要原因之一是学生对二次方程知识的综合运用能力较低.
六、结束语
一元二次方程是中学所学方程中最重要、最常用的方程，是高考重点考查内容之一.从以上分析知，学生缺乏对一元二次方程理解的广度和深度，将知识和技能迁移到新情境中去的能力表现出不足.新课标下的高中教材对一元二次方程没有单列一个章节进行介绍，而渗透在数学各分支之中，给一元二次方程的教学带来一定的难度，这也对高中数学教师提出了更高的要求.高中阶段如何进行一元二次方程教学？首先，教师对一元二次方程教学要有高中三年整体规划.根据不同的阶段，不同的内容，不同的要求，制订一元二次方程在不同时段的教学目标，合理安排教学顺序.其次，加强知识横向联系.在进行二次函数、二次不等式、解析几何等与二次方程相关内容教学时，及时渗透一元二次方程知识，使二次方程知识在不同的知识背景中得到应用，从而增强学生的方程意识.再次，加强变式教学.围绕一元二次方程的特征，变换不同字母的表示，变换不同数学语言的表述，变换不同结构形式的式子，变换不同角度对问题的提法，引导学生主动参与，激发学生积极思考，让学生通过自己阅读和分析材料，探索和验证结论，不断加深对一元二次方程的本质理解，促进二次方程知识的综合运用能力的提高.