幂函数的教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在中学研究函数的性质是通过图象进行的，几个基本初等函数中又以幂函数图象的形式最多。作为学生，他们不太容易搞清楚，作为教师。幂函数的内容多而散乱，讲不出新意，大家都不愿意以此内容来开公开课。
而作为新教师的我在老教师的关怀和建议下，对于幂函数的教学有着自己的想法。
首先我利用现代化的工具——图形计算器，让每个学生自己作图代替传统教学中的描点作图。
其次，教学的过程是以学生为主体的“探究——发现——证明”教学过程。
我想所谓“探究——发现——证明”教学过程，其本质就是在教学中充分发挥学生的主体作用，使学生充分参与和体验知识技能由未知到已知或由不掌握到掌握的过程，并在这一过程中使全体学生对于数学概念的结论不仅会从特殊形式发现出一般形式，而且能够证明结论。
以下就是幂函数的教学过程
一、构造情景
1.用板书过程构造情景
对于幂函数的教学首先明确幂函数的概念，给出乘幂运算的定义：
板书出幂函数的定义：形如y＝x[b]，b为常数的函数称为幂函数。并且强调有理数b必须化为最简形式。
例 判断下列函数是否是幂函数？
（1）y＝4x[2]； （2）y＝x[2]＋1。
答案是否定的，因为他们均不满足幂函数的定义。
让学生明白判断幂函数必须根据幂函数的定义。
既然y＝x[b]，b＞0是函数，函数的三要素必须明确。因为b是确定的常数，所以函数的对应法则确定；关键看定义域，定义域即是要使x[b]有意义。
板书：当b是正整数或b为正的既约分数p／q且q为奇数时，D＝R；当b是正的既约分数p／q且q为偶数时，D＝R[＋]U｛0｝；当b是负整数或为负的既约分数p／q且q为奇数时，D＝R－UR[＋]；
此外，b为其余情况时，D＝R[＋]；
接着让学生熟悉幂函数定义域的情况。
例 求下列幂函数的定义域。
y＝x[3]，y＝x[1／3]，y＝x[1／2]，y＝x[－2]。
2.用实验过程构造情景
让学生用TI－83Plus计算器作出一系列幂函数图象，演示画面与说明结果，使学生能够把形象思维与抽象思维结合起来。
在研究函数y＝x[b]，b＞0的性质时让学生自己运用TI－83Plus 计算器，作出以下四组幂函数图象。
（1）y＝x，y＝x[0]；
（2）y＝x[2]，y＝x[3]；
（3）y＝x[3／2]，y＝x[5／3]，y＝x[8／3]；
（4）y＝x[1／2]，y＝x[2／3]，y＝x[2／5]。
3.用设问构造情景
图象作毕，让学生通过观察来思考以下几个问题：
（1）所作的这几个函数图象中，有没有经过第四象限？ 在研究的所有幂函数当中，有否存在某个幂函数，它的图象经过第四象限？
学生应能正确回答，因为对于一切幂函数，当x＞0，总有y＞0。
（2）在所作出的几个幂函数的图象中，可以看到y＝x[1／2]，y＝x[3／2]的图象只过第一象限；y＝x[3]，y＝x[5／3]，y＝x的图象经过第一、第三象限；经过第一、二象限的函数是y＝x[2]，y＝x[8／3]， y＝x[2／3]，y＝x[2／5]。大家思考：从观察到的现象中，是否幂函数在第一象限均有图像？
学生也能回答，答案同（1）。因为对于一切幂函数，当x＞0， 总有y＞0。所以幂函数在第一象限均有图象。
这些问题的设置使学生清楚理解研究幂函数的图象为何着重于第一象限的研究。
二、点拨诱导
这个阶段我想是“探究——发现——证明”教学过程的中心环节。在第一阶段我创设的特定情境中，学生已对幂函数有了初步认识，教师下一步就要对学生进行及时诱导，再放手让学生去探究和证明出幂函数相关的性质。
引导学生观察上面四组幂函数在第一象限的图象：
1.作出图象
首先在第一象限内，借助TI－83Plus计算器，作出下列四组幂函数的图象：
（1）y[,1]＝x，y[,2]＝x[0]；
（2）y[,3]＝x[2]，y[,4]＝x[3]；
（3）y[,5]＝x[3／2]，y[,6]＝x[5／3]，y[,7]＝x[8／3]；
（4）y[,8]＝x[1／2]，y[,9]＝x[2／3]，y[,10]＝x[2／5]。
学生自己发现这四组图象的特点：（1）它们都通过点（0，0 ）和点（1，1）；
（2）图象都是上升的。
2.引导学生大胆猜测并证明幕函数的性质
再让学生观察一下这些函数的表达式，发现这些幂函数的指数均大于或等于0，所以进行大胆的猜测，对于幂函数y＝x[b]，b＞0的图象有以下特点：
（1）都过点（0，0）和点（1，1）；
（2）图象都是上升的。
证明幂函数y＝x[b]，b＞0的两个性质；
（1）都过点（0，0）和点（1，1）。
证明：略。
（2）在区间（0，＋∞）上是单调的增函数。
证明：略。
这时，作为老师不断引导，让学生探究，发现幂函数y＝x[b]，b＞0在区间（0，＋∞）上升的不同方式使学生的情绪再一次到达高潮。
为此让学生观察y＝x[2]与y＝x[1／2]的图象，可以发现y＝x[2]与y＝x[1／2]的图象上升趋势有着明显的不同：y＝x[2] 的图象在区间（0，1）上在y＝x图象的下方，而y＝x[1／2]的图象在区间（0，1）上在y＝x图象的上方，可以形象地将作在区间（0，＋∞）上y＝x[1／2] 的图象称为凸增的，y＝x[2]的图象称为凹增的，进而大胆猜测y＝x[b]，0＜b＜1在第一象限是凸增的，y＝x[b]，b＞1在第一象限是凹增的。
证明：在区间（0，1）上y＝x[b]，0＜b＜1在y＝x图象的上方， y＝x[b]，b＞1在y＝x图象的下方。
分析 即要证明任意x∈（0，1），0＜b＜1，x[b]＞x；b＞1，x[b]＜x。
证明：略。
3.作出幂函数y＝x[b]，b＞0在整个直角坐标系内的图像。
明确y＝x[b]，b＞0在第一象限的性质后， 就可以根据幕函数的奇偶性，把y＝x[b]，b＞0在整个直角坐标系内的图象作出。 给出以下四组例子，仍然借助TI－83Plus计算器来作图象，让学生自己分析：
（1）y[,1]＝x；（2）y[,2]＝x[2]；
（3）y[,3]＝x[3／2]；（2）y[,4]＝x[1／2]。
4.让学生自己动手作出任意幂函数y＝x[b]，b∈Q[＋]的图象
通过上面的分析发现，作任意幂函数的图象，只要准确作出第一象限的图象，明确在区间（0，1）上，y＝x[b]在y＝x图象的上方， 还是在y＝x图象的下方；再根据函数的奇偶性，即可作出函数在整个直角坐标系内的图象。
例 作出以下幂函数的图象：
①y＝x[2／5]；②y＝x[5／2]。
三、变式训练
接着，教学进入对幂函数y＝x[b]，b＜0的学习。此时， 学生完全有能力，不仅自己借助TI－83Plus计算器得出y＝x[b]，b＜0 的三条性质，而且能完整地进行证明。