考虑通胀指数债券的最优投资 -闲暇 与自愿退休选择
余 鹏,张繁红，费为银*,恽 珍
(安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000)
摘要 ：现代经济生活中通货膨胀不可避免,它会对人们的消费-投资、闲暇与自愿退休选择产生影响.文中探讨了经济代理人面对通胀不确定环境如何做出最优消费-组合投资、闲暇和自愿退休选择．代理人的投资机会集包括无风险资产、风险资产和通胀指数债券.用随机微分方程刻画资产价格、通胀水平以及通胀指数债券价格动力学行为,在代理人消费和闲暇预期累计效用最大化目标下,通过动态规划原理,获得关于代理人消费-组合投资、闲暇和自愿退休选择的最优决策闭型解.利用数值模拟分析了通胀波动风险对最优消费和组合投资的影响.发现在低闲暇、高闲暇和退休后三个阶段，代理人面对通胀风险其最优消费-组合投资、闲暇的比重是不同的.
关 键 词 ：通胀指数债券;闲暇与自愿退休;Cobb-Douglas效用;动态规划;随机分析
Merton[1]于1969年利用动态规划原理解决连续时间最优消费与组合投资问题,随后,一系列拓展模型不断完善现实框架.Bodie[2]等将代理人的劳动收入和闲暇纳入连续时间最优消费与组合投资模型中,其中代理人劳动供给是弹性的.Choi[3]等讨论了代理人最优自愿退休与消费决策问题,其中代理人可自由选择何时退休,而他选择工作即可获得劳动收入，同时伴有因劳动产生的效用损失.代理人一旦选择退休就避免了因劳动产生的效用损失，但同时也失去了劳动收入.在代理人劳动收入具有随机性的情况下,利用对偶方法,Barucci[4]等分析了最优消费、劳动供给和退休时机选择.退休选择权具有相机而择时,Lee[5]等研究了代理人的最优消费、投资组合和闲暇,其中代理人的效用由不变替代弹性效用(CES型)刻画.
伴随经济的发展,通货膨胀不可避免,适度的通胀可以促进经济快速发展,但通胀水平过高对经济的健康发展会起到阻碍作用,尤其通胀不确定性的加大往往会改变人们的预期，从而影响人们的消费投资行为.在通胀不确定下,Munk[6]等分析了代理人在现金账户、名义债券和股票上的最优动态资产配置问题,而Bensoussan[7]等研究了在物价水平完全可观察和不可观察下最优组合投资和消费.利用鞅方法,Kwak[8]等刻画了通胀对家庭最优消费、组合投资和人寿保险决策的影响.在通胀不确定下的最优消费和组合投资也为国内许多学者研究.例如，姚海祥[9]等研究了通货对投资终止时间不确定最优投资组合的影响.基于跳扩散环境,费为银[10]研究了通胀对投资者资产配置的影响．
基于上述分析可以发现,在代理人的消费-组合投资、闲暇与自愿退休选择框架下,应该考虑通胀不确定对代理人决策的影响.Koo[11]结合通胀因素分析了最优组合投资、消费、闲暇和自愿退休选择,利用动态规划原理建立了代理人值函数所满足的HJB方程,并给出了最优组合投资、消费、闲暇与自愿退休选择策略.陈雅豪[12]等研究了通胀不确定下最优消费-投资组合与自愿退休选择问题,其中效用仅仅来自代理人消费的效用,没有考虑代理人的闲暇对其效用的影响.文章在考虑代理人消费和闲暇两个变量给其带来效用(用Cobb-Douglas效用函数刻画)的前提下,研究了代理人的效用优化问题.其中投资机会集中不仅有无风险债券、风险股票,还有通胀指数债券.这使得模型的分析和结论更具有一般性,得到了更具现实经济意义的结论.由于引入闲暇，代理人的效用不同于传统仅依赖于消费一个变量，而是依赖消费和闲暇两个变量，用Cobb-Douglas效用函数刻画，由此带来的分析发生了本质的改变；由于通货膨胀的引入，使得最优策略的分析不同于现有文献的工作，为得出结论需要随机分析技术，方法上有一定的创新；正因为考虑代理人的闲暇、消费-投资组合和退休选择与宏观经济变量通胀的紧密联系使得研究问题更切合实际，具有较高的应用价值.
黄花三宝木TrigonostemonlutescensY. T. Chang et J. Y. Liang是大戟科（Euphorbiaceae）三宝木属Trigonostemon Bl. 植物，其主产于广西南部，生长于石灰岩山地的灌木林中，为广西特有药用植物[1]。在我国和泰国，三宝木属植物是应用广泛的民间药[2]，此属植物大多具有防腐、杀菌、止泻、化痰的功效[3]。现代研究结果表明，三宝木属植物所含化学成分以萜类[4]、生物碱类[5]及菲类[6]等化合物为主，具有抗肿瘤[4]、抗病毒[5]、抑菌[7]、杀虫[8]等药理活性，是一类值得深入研究与开发的药用植物资源。
1 基本模型
假设金融市场所有随机过程关于完备带流概率空间(Ω ,F ,{F t }t≥0 ,P )都是适应的，W (t )和Z (t )是其上的Brown运动.用居民消费价格指数(CPI)度量通胀水平P (t ),其服从随机微分方程
式中，μ p 是预期通胀率;σ p >0是通胀波动率．
经济代理人在三种资产上投资,一种是名义利率为R 的无风险资产或银行账户,另一种可投资的是预期收益率为μ s 和波动率为μ s >0的风险股票,还有一种是实际利率为r 的通胀指数债券.用下列随机微分方程分别描述无风险债券名义价格B N (t ),股票名义价格S N (t )以及通胀指数债券名义价格I N (t )
浙江省水利工程管理改革、基层水利服务体系建设等2项全国水利改革试点已取得实质性进展。大中型水利工程项目法人制、中小型水利工程相对集中式项目法人及小微型水利工程农民自治管理模式等改革已取得初步成效。全省成立了1 023家基层水利服务机构、377个农村水利合作组织，在编在岗基层水利员2 560人，村级水务员12 724人。同时，连续几年多轮深化水行政审批改革，省级审批项目从20项减少到13项，非行政许可事项清理到2项，加快审批服务中介机构改革，省级审批承诺办理时间从20个工作日压缩到12个工作日。
设
为代理人t 时刻在无风险资产上投资的名义资金数量,
和
分别为代理人在t 时刻投资于指数债券的名义资金数量和股票的名义资金数量,
表示代理人的资产组合过程.c N (t )和w N (t )表示代理人t 时刻名义消费率和名义工资率,且c N (t )>0．假设退休前代理人的闲暇率l t 满足
退休后,代理人可尽情地享受闲暇
而
表示劳动率与闲暇率之和,于是
为代理人在t 时刻的劳动率.此时,代理人获得
的名义劳动收入.L 就是代理人退休前最大闲暇率.令τ 是代理人自愿退休的时刻,那么闲暇率可表示为
于是代理人名义财富过程X N (t )满足
利用MATLAB数值模拟直观分析通胀不确定性对最优消费与组合投资的影响.
当暖气成为生活的一部分，冬天的困境也都一一消解了。即便早起，这样的世纪大难题，屋里如沐春风，一鼓作气。洗澡也不在话下，宽衣解带，豪迈爽快。大毛巾挂暖气片上，暖烘烘，裹住湿漉漉的身体。出门上班也不再犹豫，暖气片烘过的棉袜，整装待发一刻穿上，双脚踩云上似的。
设π 0(t )、π 1(t )和π 2(t )分别是代理人在时刻t 投资于无风险资产的真实资金额、通胀指数债券的真实资金额以及股票的真实资金额;π :={π 0(t ),π 1(t ),π 2(t )}是代理人的资产组合过程;c t 是代理人在时刻t 的真实消费率,且c t >0；X (t )、π (t )和l t 适应于{F t }t≥0 ,且有
c s ds <∞,l s ds <∞,t ≥0.为了简化问题的分析，加之代理人心理上预期真实收入是个定值,假设代理人真实工资率为常数w ,且名义工资率定义为w N (t )=w ·P (t ).于是代理人真实财富过程
(1)
由下列代数方程确定：
2 代理人效用优化
代理人最大化期望贴现消费和闲暇累计效用的值函数为
(2)
其中,主观贴现率β >0,A (x )表示所有允许策略(c ,l ,π ,τ )之集并满足
其中,u -:=max (-u ,0).代理人既要消费又要闲暇,两者的效用可以用如下Cobb-Douglas效用函数刻画
假设k +>0和k -<-1是式(5)方程的两个根
且γ ≠1,
(3)
其中,代理人相对风险厌恶系数为γ ;α 为常数参量,用来度量代理人的消费份额.若令γ 1:=1-α (1-γ ),式(3)变为
假设1 下列变量满足
其中，
我一低头，见手上还拿着狼剩儿的拨浪鼓，就把它放回梳妆盒。我站起身说：“等二丫稍好点儿了，我就去找狼剩儿。”
在式(2)中,代理人退休后的值函数U (·)与经典Merton问题类似,退休后的值函数
(4)
习近平生态文明建设重要论述的科学内涵主要包括以下六个方面：人与自然、社会、自身三维和谐的生态价值观，绿水青山就是金山银山的绿色发展观，良好的生态环境就是最普惠的民生福祉的生态民生观，以最严格的制度保护生态环境的生态法治观，以生态红线为生态环境保护生命线的生态安全观和保护人类共同家园的生态全球观，这些思想观点相互联系、互为补充，共同形成了一个有机、统一的新时代中国特色社会主义生态文明建设体系。
(5)
定理1刻画了代理人最优消费、闲暇、组合投资和自愿退休策略
定理 1 在上述假设下，最优消费、闲暇、组合投资和自愿退休选择为
证明 当0≤t <τ ,0≤l <L 时,优化问题的值函数满足下列HJB方程
其中,
为代理人未来的劳动收入折现价值.如果代理人的财富水平不低于
就可以消费和组合投资.假设W (t )和Z (t )相关系数是ρ (-1<ρ <1),于是存在与Z (t )独立的标准Brown运动U (t )使得：
于是式(1)可变为
此外，理工科学生更注重逻辑思维能力的训练，更偏重机械的技术思维，缺少哲学思辨思维，看待政治与社会问题会更容易片面、偏激。对他们而言，公式、计算、技术要比人、事、物更容易处理。相较于文科生，理工科学生的沟通技巧也更为欠缺。这也使得理工科学生的思想政治教育工作更加困难、更具挑战。
ξ 和ζ 是下列代数方程的解：
和
其中,
是当闲暇l 达到L 时,与消费边界
对应的临界财富水平
是与最优退休时刻τ 对应的临界财富水平,且
和
由下面的式子给出：
根据一阶条件,可得(c ,l ,π 0,π 1,π 2)关于V (x )的表达式,再代入上述方程整理得值函数如下
当0≤t <τ ,l =L 时,优化问题的值函数满足下列HJB方程
接下来要确定系数A 2,B 1,B 2和
对应的边界
首先在
处考虑值函数V (·)的价值匹配条件,再在处考虑V ″(x )的连续性,最后考虑V (·)在
处的连续性,于是如果能找到B 2,就能得到B 1和A 2.现基于处值函数V (·)的光滑粘贴条件,以及在处考虑V (·)的连续性可得关于
的代数方程中的B 2.综上所述,值函数V (·)与系数
和
都已得到.再利用最优策略(c ,l ,π 1,π 2,π 3)关于V (x )的表达式可证得本定理.限于篇幅,略去详细推导过程.于是定理证毕.
由一阶条件,经整理可得值函数
3 数值模拟和经济学解释
设X (t )是代理人在时刻t 的真实财富量,满足
依据Ito公式可得
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通胀波动率σ p 对最优投资π 2影响如图1所示.图1a和图1b表示财富在
时,代理人的劳动供给量与闲暇可由代理人自由分配.图1a显示相关系数ρ =0.5时代理人投资随通胀波动率的变化情况.投资随着通胀不确定性增加而增加.原因之一是通胀不确定程度较小,即温和通胀时,代理人心理预期市场走势好,增加投资可以增值保值;另一个原因是代理人的收入是不固定的,如果某个时刻投资遇到亏损,他可以在下个时刻减少闲暇并增加工作时间来增加劳动收入以弥补亏损,因此股票投资呈现上升趋势.图1b显示相关系数ρ =-0.5时代理人投资随通胀不确定性的变化情况.由图1b可知，投资随着通胀不确定性增加而减少.原因之一是风险资产收益与通胀风险呈负相关,当通胀风险增加时,股票收益会减小,因此代理人会减少在股票上的投资;另一个原因是通胀不确定性增加,市场风险加大,代理人比较担忧未来收益,从而减少股票投资.
筛网式消能是根据水力学中过水断面突然缩小或扩大可消除水流的大部分能量，即水流能量以因断面突然缩小或扩大后产生局部损失而消能的理论为基础。在水闸底板的后面、消力池顶部设一混凝土筛网，即将混凝土板做成网格式，使水流通过网孔下落到消力池中。网格起到分散水流改变过水断面（即过水断面突然缩小或扩大）而达到消能的目的。下部消力池采用短深式，即长度与网板相同，深度加深，使过网水流跌落到池中，产生漩滚以便进一步消能，能够起到良好的消能效果。
图1c和1d表示代理人财富在
范围时,他的闲暇达到退休前最大值,收入为
图1c表示相关系数ρ =0.5时代理人投资随通胀不确定性的变化趋势.随着通胀不确定性增加,股票投资先增加后减少.由于此阶段代理人的收入没有前一段的高,当通胀不确定适度时,代理人想利用增加投资获得更多的收益.随着通胀不确定性加大到一定程度后,市场预期收益越来越不稳定,代理人更加担心投资出现亏损,而此阶段收入是常值,代理人无法通过调节收入来弥补亏损,从而降低投资.图1d表示相关系数ρ =-0.5时投资随通胀不确定性的变化趋势.此阶段代理人股票投资随着通胀不确定性增加而减少.原因是通胀风险与风险资产收益呈负相关,通胀不确定性增加,会使得资产收益一定程度上减小,由于此阶段代理人劳动收入为常数,故代理人减少投资.
然后根据公式(2)废气量M和许可排放浓度c计算得出许可排放量E；根据公式(3)装机容量CAP和年运行5000 h计算得出理论发电量D。最后根据许可排放量E和理论发电量D计算出理论排放绩效GPS。300、750和1000 MW机组的SO2理论排放绩效均为0.11 g/kWh，NOx理论排放绩效均为0.16 g/kWh；300 MW以上机组烟尘理论排放绩效均为0.016 g/kWh，300 MW以下机组两个阶段的烟尘理论排放绩效分别为0.032 g/kWh和0.016 g/kWh,详见图9和图10。
图1e和1f表示代理人财富在
时,退休之后投资的变化趋势.图1e表示相关系数ρ =0.5时代理人股票投资随通胀不确定性的变化趋势.随着通胀不确定性增加,投资也会一直增加．原因是代理人退休之后,他的财富有一定积累,但不再有收入来源,代理人需要增加股票投资增加收益.图1f表示相关系数ρ =-0.5时代理人股票投资随通胀不确定性的变化趋势.由于代理人已经退休,且没有了收入,通胀不确定性增加可能会使代理人担心市场不稳定,进行股票投资风险加大,于是减少投资.
图1中每个图都由三条线组成.其他参数不变,仅改变代理人相对风险厌恶系数,观察通胀不确定性对最优股票投资的影响.由图1可知,对风险厌恶越高,代理人的投资意愿越低．
图1 通胀波动率σ p 对最优投资π 2的影响
通胀波动率σ p 对消费水平C t 的影响如图2所示.图2a表示代理人财富在
时,他可自由分配劳动供给量与闲暇.随着通胀不确定性增加,消费先减小后增加.先减小是因为此时股票投资的增加,同时从代理人消费心理来看,从过低的通胀不确定性到温和的通胀,逐渐降低了代理人的消费欲望.而后随着通胀不确定性的加大,一方面代理人不愿更多的风险投资,因此有更多的资金用于消费.另一方面代理人担心货币贬值,从而促使代理人提前消费.两方面的原因使得代理人消费增加.图2b表示代理人财富在
时,他的闲暇在退休前达到最大,劳动收入为此时代理人消费水平随着通胀不确定性增加而呈现先减小后增加态势．原因是代理人股票投资随着通胀不确定性增加呈现先增加后减小趋势,又因为代理人在此阶段收入是个常数,于是代理人消费与股票投资会呈现相反的走势．
图2 通胀波动率σ p 对消费水平C t 的影响
4 小结
通货膨胀成为经济活动过程中不可忽视的因素.经济代理人的财富往往因通胀而贬值，基于通胀不确定风险，代理人如何做出最优的决策是需要研究的基本问题.假设代理人考虑消费-投资、闲暇和退休选择，代理人的闲暇虽然会给代理人带来效用，但由于劳动时间的减少而工资收入降低，从而减少了代理人的财富；另一方面，代理人可以选择提前退休以便享受更多的闲暇，但提前退休也会减少代理人的财富积累，所以需要在消费、闲暇与劳动时间之间进行权衡，从而达到消费、闲暇的生命周期内预期累积效用最大化.为了解决优化问题，利用随机分析和随机控制方法解决代理人的消费-投资、闲暇与退休选择问题，得出代理人的最优决策.将代理人生命周期分为低闲暇、高闲暇和退休后三个阶段，通过求解方程,获得关于消费、闲暇、投资和退休的最优决策.通过数值模拟发现，随着代理人财富的增加,其消费和投资也会一定程度地增加.面对变化的通胀波动率时,代理人为了减小风险、增加收益,在不同的阶段会选择不同的最优投资-消费、闲暇策略.所得结论可以给代理人在金融市场的投资-消费、闲暇和退休选择决策提供一定的理论指导．
3）墨西哥是近年来重点关注的国家。埃尼将墨西哥看作其勘探业务新的动能区，将其视为“深水地区最后的主要机遇之一”。埃尼成立埃尼墨西哥勘探开发子公司，2015年获取了墨西哥浅水1区块的100%的权益，并成功发现艾莫卡（Amoca）等3个油田。在墨西哥2017年新一轮海上油气招标中，埃尼接连斩获墨西哥东南部坎佩切湾7、10、14、28四个区块，并承担作业者；埃尼也是深水24区块（见图3）的作业者，计划于2019年在在该区域钻2口探井。
参考文献：
[1] R C MERTON.Lifetime portfolio selection under uncertainty:The continuous-time case[J].The Review of Economics and Statistics,1969,51(3):247-257.
[2] Z BODIE,R C MERTON,W F SAMUELSON.Labor supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model[J].Journal of Economic Dynamics and Control,1992,16(3):427-449.
[3] K J CHOI,G SHIM.Disutility,optimal retirement,and portfolio selection[J].Mathematical Finance,2006,16(5):443-467.
[4] E BARUCCI,D MARAZZINA.Optimal investment,stochastic labor income and retirement[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218(11):5 588-5 604.
[5] H S LEE,Y H SHIN.An optimal portfolio,consumption-leisure and retirement choice problem with CES utility:a dynamic programming approach[J].Journal of Inequalities & Applications,2015,2015(1):1-13.
[6] C MUNK,C SØRENSEN, T NYGAARD VINTHER. Dynamic asset allocation under mean-reverting returns, stochastic interest rates,and inflation uncertainty:Are popular recommendations consistent with rational behavior?[J].International Review of Economics & Finance,2004,13(2):141-166.
[7] A BENSOUSSAN,J KEPPO,S P SETHI.Optimal consumption and portfolio decisions with partially observed real prices[J].Mathematical Finance,2009,19(2):215-236.
[8] M KWAK,B H LIM.Optimal portfolio selection with life insurance under inflation risk[J].Journal of Banking & Finance,2014,46(3):59-71.
[9] 姚海祥,伍慧玲,曾燕.不确定终止时间和通货膨胀影响下风险资产的最优投资策略[J].系统工程理论与实践,2014,34(5):1 089-1 099.
[10] 费为银,蔡振球,夏登峰.跳扩散环境下带通胀的最优动态资产配置[J].管理科学学报,2015,18(8):83-94.
[11] J L KOO,B L KOO,Y H SHIN.An optimal investment,consumption,leisure,and voluntary retirement problem with Cobb-Douglas utility:Dynamic programming approaches[J].Applied Mathematics Letters,2013,26(4):481-486.
[12] 陈雅豪,梅春晖,费为银.通胀不确定下的最优消费、投资和自愿退休选择[J]安徽工程大学学报,2018,33(2):86-94.
Optimal Consumption ,Portfolio ,Leisure and Retirement Selection Problem Considering Inflation -linked Index Bond
YU Peng,ZHANG Fanhong,FEI Weiyin*,YUN Zhen
(College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)
Abstract ：In real economic life,the inflation is inevitable.It would affect an agent's consumption,portfolio,leisure and voluntary retirement.This paper investigates the impact of inflation on the optimal consumption,portfolio,leisure and voluntary retirement problem for an agent.In addition to investing in riskless assets and risky assets,an agent also invests in the inflation-indexed bond which can be employed to hedge the inflation risk.The dynamics of the stock prices,inflation level and inflation-linked index bond price are characterized by stochastic differential equations.Under the maximization of expected cumulative utility of consumption and leisure,through using dynamic programming principle,the paper derived the closed form solutions for an agent's optimal strategy on consumption,portfolio,leisure and retirement.Finally,the effects of inflation on the agent's consumption,portfolio and optimal retirement are analyzed by the numerical simulation.It is also found that an agent's consumption,portfolio and leisure are different during three phases of the agent's lower leisure,higher leisure and retirement.
Key words ：inflation-linked index bond;leisure and voluntary retirement;Cobb-Douglas utility;dynamic programming;stochastic analysis
文章编号 ：1672-2477(2019)01-0065-08
收稿日期： 2018-09-09
基金项目 ：国家自然科学基金资助项目(71571001)
作者简介 ：余 鹏(1992-)，男，安徽舒城人，硕士研究生.
通讯作者 ：费为银(1963-)，男，安徽芜湖人，教授，博导．
中图分类号 :O211.63;F830.9
文献标识码： A
标签：通胀指数债券论文; 闲暇与自愿退休论文; Cobb-Douglas效用论文; 动态规划论文; 随机分析论文; 安徽工程大学数理学院论文;