用等效法求解物理问题的策略_物理论文

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等效作为一种思维方式在物理问题解决的过程中起策略性作用，有时在中学物理中看似无法解决的问题，可以通过等效变换的方式使问题解决变得简单而富有成效。可以说等效是解决物理问题的一种有效策略。

在物理学中，等效观点是指不同的物理现象、物理模型、物理过程、物理研究方法在物理意义、作用效果或遵循的物理规律方面是相同或相近的，它们之间可以通过某种方式进行等效变换，而保证结论的正确性，其结构体系如图1所示。如：爱因斯坦从局部引力场和加速参考系在力学上等效的思想出发，提出了等效原理，并由此建立了广义相对论和其他一些引力理论；人们将做功和热传递这两个不同的过程，通过使物体内能改变具有相同的效果，即在改变物体内能的意义上做功与热传递具有等效性，从而提出了热功当量的概念；人们根据直流电流与交变电流做功的热效应的等效提出了交变电流有效值概念等。因此，等效观点是抓住两类不同事物某种效果、特性、关系或规律上的相同性、相似性来进行研究视角变换的一种解决问题的策略。本文结合中学物理教学实践来谈谈等效观点及其解决物理问题的应用策略。

图1

一、物理对象的等效

解决任何物理问题必须选择研究对象。教学实践告诉我们，对于同一物理问题可以从不同的角度出发来确定不同的研究对象，有意识地、恰当地变换研究对象是解决物理问题的重要策略。

1.物理对象等效案例

例1 均匀分布的磁场空间中放一个边长为a的正方形单匝闭合导线框，磁场方向与线框平面垂直，如图2(a)所示。磁场的磁感应强度B随时间按正弦规律变化，磁感应强度的最大值为，如图2(b)所示。已知线框的总电阻为R，磁场变化的周期为T，并忽略线框自感的影响，求闭合导线框的电热功率P。

图2

分析：忽略线框自感的影响，可将闭合导线框视为纯电阻闭合电路来进行研究。求电热功率需要求感应电动势（或感应电流）的有效值，进而考虑求感应电动势的最大值，但是，根据及法拉第电磁感应定律似乎很难求出感应电动势的最大值。因此，考虑进行研究对象的等效变换，可以将磁场视为的匀强磁场，将闭合线框绕其对称轴以周期T匀速转动，如图3所示。等效变换的思想基础是图3中穿过线框的磁通量变化规律与图2中相同，均为。变换后的情境就与中学物理知识相对应了，能够比较方便地求出最大感应电动势，求出感应电动势的有效值，电热功率就顺理成章了。

图3

由例1看出，将物理对象进行等效变换不是孤立地从表面上理解对象，而应当从本质上去进行研究，例1通过磁通量变化规律相同，将静止的线框对象变为转动的对象，同时将磁场转变为恒定的匀强磁场。

2.研究对象等效变换的基本策略

(1)从作用效果的等效性出发寻找等效对象。如图4所示电路中，ab两端的电阻可以改变，而其他部分零件均保持不变。现测得当时，通过的电流；当时，通过的电流，试问当时，ab间电阻是多少？题设中电源电动势、内阻及电路中两个电阻均未知，似乎缺少条件。若将这部分的电路看成整体，视为一个电源（等效电源，图中虚线框内部分）其作用效果与分立开来考虑所产生的效果相同，将研究对象转换为等效电源。

图4

图5

(2)从研究对象的整体和隔离的相互转化出发寻找等效对象。如图5所示的L形细木棒ABC，AB=BC=l，一个质量为m的均匀球体被细线系于A点，球的半径r=l/8。不计线、木棒重力。B点被支撑在水平地面上，为了使BC棒处于水平静止状态，那么在C端所施加的最小压力F是多少？若从整体角度看，将小球、L形木棒和线作为研究对象，应用力矩平衡，得F最小值F=mg/8。也可将小球、L形木棒隔离开来，分别进行受力分析，通过平衡条件逐一求解。

(3)从物理现象的本质出发寻找等效对象。如，用一个体积为△V的气筒给体积为V的足球打气。打气前，足球内气体压强为，打气筒每次向足球内打入压强均为的气体，求打气n次后，足球内气体压强是多少（不计气体温度的变化）？玻意耳定律的研究对象是一定质量的气体，而打气问题是一个变质量情况。可以将足球内体积为V和n△V的气体作为研究对象，压缩到体积为V的气体，用等效变换来使气体质量符合玻意耳定律的条件。

二、物理条件的等效

物理条件包括初始条件和过程条件，在解决物理问题过程中，适当地进行条件等效变换是思维视角变换的重要体现，反映了解题者对物理现象、物理过程认识的深刻性与批判性，同时也是创造性的一种体现。

1.物理条件等效案例

例2 如图6，半径R=10m的光滑凹球面容器固定在水平地面上，球面中心O正下方有一个刚性挡板A，在容器内离挡板10cm的B处有一可视为质点的小球由静止无摩擦地滑下，向着挡板运动，与挡板碰撞时间极短，设碰撞过程中无机械能损失。那么小球自开始滑下到第二次与挡板碰撞所经历的时间是多少？

图6

图7

分析：制约小球运动的条件是小球所受的重力及容器的支持力以及与挡板碰撞过程的相互作用，作用时间极短，小球与挡板碰撞后以等速率反弹沿容器反向运动。小球受弹力沿半径方向指向球心O，始终与运动方向垂直，由此可将约束条件转化为轻绳拉小球，如图7所示，再仔细研究发现，弹力与竖直方向夹角较小，可用单摆知识来求解。

2.物理条件等效变换的基本策略

(1)由物理现象的类比寻找条件的适应性。如将弹簧弹力与简谐运动回复力进行类比，发现表达式均为F=kx，在某些问题情境中，可将这两类条件等效变换。

(2)由物理模型的比较研究寻找条件的对应性：如在重力场、电场的复合场中点电荷受到的重力和电场力，进行合成后可以等效为一个新的复合场力，而将这个力与重力进行等效对应，这种等效条件用于解决小球在重力场、电场的复合场中的圆周运动非常有效。

(3)由物理规律的相似性寻找条件适应性。如库仑定律与万有引力定律具有惊人的相似性，在相关问题的条件等效过程中，可以进行适当变换，找到他们的等效关系。

(4)对复杂物理过程的分解寻找约束条件等效性。如研究斜上抛时，将其分解为上升阶段和下降阶段，下降阶段可以用平抛的方法加以研究，上升阶段亦可用平抛等效（反转）。

三、物理过程的等效

1.物理过程等效案例

例3 在水平地面上有相互平行的A、B两竖直墙，墙高H=20m，相距d=1m，墙面光滑。从一高墙上以水平速度抛出一个弹性小球，与两墙面反复碰撞后落地，如下页图8所示。试求：(1)小球的落地点离A墙多远？小球从抛出点到落地与墙面发生的碰撞次数n？(2)小球与墙面发生m(m＜n)次碰撞时，小球下落的高度h。（g取）

分析：小球与墙做弹性碰撞，由反射可知，小球在两墙间反复地斜下抛运动的过程。如果一次次地用斜下抛运动来进行求解，过程是烦琐的。从运动的分解角度来看，小球与墙每次碰后速度的竖直分量不变，水平分量反向，若以墙面为镜面，作出反弹轨道的镜像，可等效为平抛运动，如图9所示，因而可用平抛运动知识来求解。

图8

图9

(2)引入中间变量，虚拟中间过程。如一个敞口玻璃瓶，当瓶内气温由27℃升高到127℃时，瓶内剩余气体是原来的几分之几？研究时可引入中间变量，将瓶内气体等压变化到体积V状态，然后再在V中取出（玻璃瓶体积），看是V的几分之几。

(3)用理想的简约化过程等效实际的复杂过程。例如，如图10所示，水深为H的容器底部开有一面积为S的圆形小孔，已知水的密度为ρ，假若水的阻力不计，容器的横截面比小孔大得多，求把孔塞A拔掉时，水流初速度v。水是连续向下流动的，水与水之间还存在黏滞作用，解题时忽略这种影响，且视水由静止开始运动。取与孔塞面积大小相等的微小圆柱体水团，受到竖直方向合力为F=ρgHS，对该水团，在位移△x上运用动能定理有，其中△m=ρS△x，解得。实际上水向下流动的过程中，各部分水的流动是不同的，通过理想化的简化处理，用理想过程来等效实际过程。