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中图分类号：F224.7 文献标识码：A
引言
传统的时间序列分析对于非平稳时间序列的处理，往往是对其进行差分变换，获得平稳序列后再建模。这种做法会导致时间序列中长期有用信息的损失。由Granger和Engle(1986,1987)建立的协整理论[1,2]，为描述非平稳时间序列之间的线性长期均衡关系提供了重要的工具。然而，金融时间序列在本质上是非线性的和分数维的，传统的整数维协整建模对时间序列的整数维假设过于严格，难以适应对金融时间序列的长记忆等特征的描述，同时难以捕获蕴含在金融时间序列之中的非线性长期均衡关系。程细玉、张世英(2000,2001)分别讨论了分整时间序列的线性协整和非线性协整问题，认为对于分整时间序列，当分整的阶数不相等时不存在线性协整关系，可能存在非线性协整关系[3,4]。本文在此基础之上，提出了分数维非线性协整及其误差校正模型等概念，基于小波神经网络给出分数维非线性协整建模方法，并对中国股市进行了实证研究。
一、分数维协整
（一）分数维线性协整
分数维协整概念最早由Granger于1986年提出，它综合了协整的概念（Granger和Engle,1986和 1987）及分数维差分的概念（Granger和Joyeux,1980; Hosking,1981）[5,6]。
1.分数维单整
Granger(1986)，Granger和Engle(1987)给出了分数维单整（以下简称为分整）的定义如下：
定义1 （分整，fractional integration）[1,2]：一个时间序列被称为d(0＜d＜1)阶分整，当且仅当对d阶差分
后序列存在可逆的自回归移动平均(ARMA)表达。
2.分数维线性协整
在非线性市场中，单个序列一般是分数维和非线性的，时间序列之间的相关关系也往往是非线性的，此时，线性协整向量（或协整矩阵）α已无法揭示变量之间的共同趋势，只有通过非线性协整函数 f（·）来刻画系统内部的非线性均衡特性。由于非线性系统更具一般性，因此非线性协整具有普遍性；而当系统是线性的时，线性协整便成为非线性协整的一个特例。
与分数维非线性协整相对应，可以推导出分数维非线性误差校正模型：
（二）分数维非线性协整建模
在分数维非线性协整建模中，最为重要和困难的就是非线性协整函数的估计。为实现这个任务，文中使用了小波神经网络，它可以用来逼近任意一个非线性关系[8]。
1.小波神经网络
根据分数维非线性协整系统的结构，小波神经网络设计如图1所示。
二、实证研究
（一）数据选取与基本描述
实证研究中，选取上证综合指数的日收盘价（记为：SH）和深证成分指数的日收盘价（记为：SZ），样本区间为：2003年1月2日至2005年6月30日，样本容量为T=599，数据来源于雅虎金融网站 httt://finance.yahoo.com/。图2给出了两个股指的波动情况，显然两个股指的变化步调与幅度较为一致，需要检验其中是否存在着长期均衡关系，即协整关系。
表1给出股抬价格的描述统计结果。可以看出价格序列均呈现出负偏度，表明股票价格存在大的下降；高峰表明股票价格比正态分布具有更肥的尾部。同时服从自由度为2的
分布的Jarque-Bera statistic统计量计算结果拒绝了正态分布的原假设，说明我国两大股票价格指数并非服从正态分布。
（二）建模分析
第一步，检验SH和SZ的短记忆性。基于修正的 R/S检验，得到检验结果见表2。由表2可以看出，在 5%的显著性水平下，应该拒绝原假设，意味着SH和 SZ为长记忆时间序列。
图2 上证综指与深证成指波动图
图3显示，BP神经网络经过30步训练以后基本达到稳定。为了检验所建立的小波神经网络能否正确反映分数维非线性关系，必须检验输出序列的短记忆性。表2中最后一行的结果表明，在5%的显著性水平下不能拒绝原假设，也就是说，输出序列已经成为短记忆序列。因此，在SH和SZ之间存在分数维非线性协整关系。
（三）结果讨论
短记忆检验结果表明，我国股票市场的变化是非线性的，股票价格指数的波动行为具有长记忆性，恰恰可以利用分形市场假说对此进行解释。
协整检验结果表明，我国股票市场不存在线性协整关系，而存在非线性的协整关系，即存在非线性的长期均衡关系。这种长期均衡关系可以通过分数维非线性协整建模来描述。这同时也说明两个股票市场之间的反馈机制是非线性的。
分数维非线性误差校正模型(19)中两个方程前面的系数均为负值，说明股票价格指数都利用误差校正机制进行反向调整。这一点与线性的误差校正模型相同。
分数维非线性误差校正模型将长期均衡关系与短期动态调整相结合，适用于作中、长期预测。实证中，向前5步预测的相对误差均较小，同时RMSE的指标值也较小，取得了较好的预测效果。
三、结束语
金融时间序列本质是非线性和分数维的，传统协整理论的线性模式和整数维假定具有一定的局限性。本文基于分数维线性协整，提出分数维非线性协整的概念；基于小波神经网络，给出了分数维非线性协整的建模方法，并且详细讨论了分数维非线性误差校正模型(FNECM)的建立。实证结果表明，中国股市存在分数维非线性协整关系，通过建立分数维非线性误差校正模型，能够取得较好的预测效果。
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