数学习题课教学的“共鸣”与“变奏”，本文主要内容关键词为：变奏论文,习题论文,共鸣论文,课教学论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
如果说中学数学的“源”是概念，那我们不妨认为中学数学的“本”就是习题，因为问题是数学的心脏。当前，数学习题课教学仍然存在“老面孔、老套路”的现象，课堂吸引力不强，教学时效性不高。针对这种情况，笔者结合平时教学、通过两个案例（它们分别是在浙江省义乌市第四中学和义亭中学所开设的全市观摩课和公开课）谈谈习题课教学的点滴体会。
一、在“充要条件”习题课教学的思辨中产生“共鸣”
教学过程1
问题1：判断下列命题的真假：
：命题1、命题2分别是真命题和假命题。对命题3，我无从下手。
：用举例的方法去判断。
：那不行。如果它是一个假命题，就可用举反例的方法加以判断。若它是真命题呢？
师：看来对命题3，直接判断是有些困难，那我们可以用它的等价命题——逆否命题去间接判断。在此，我们有必要回顾四种命题形式及其关系（借助多媒体动态展示），如图1所示。
图1
：命题3的逆否命题“若α=β，则sinα=sinβ”是真命题，因此命题3是真命题。
师：通过对命题3的真假判断，我们既巩固了“四种命题形式及其关系”的知识，又掌握了“利用互为逆否命题同真假”去判断的方法。这种方法在什么情况下适用？
：命题的真假直接判断比较困难的情况下；命题用“不等于”的形式给出。
师：总结得很好。我们再来看命题4：
若tanα≠tanβ，则α≠β。这是命题3的一个“变式”。
：命题4当然是一个真命题。
师：为什么当然？你可不能想当然。请写出它的逆否命题。
：命题4的逆否命题是：
若α=β，则tanα=tanβ。
：这是一个假命题，因为当α=β=90°时，tanα、tanβ的值并不存在。因此，命题4是假命题。
师：刚才这位同学分析得很好。我们在研究函数的问题时，注意一定要从定义域“出发”！
【评注】在这里开门见山，直接开展从易到难的练习，然后根据需要有目的地进行知识回顾，教学的时效性提高了。通过辨析、质疑，顺利达成了共识，自然产生了共鸣：命题的真假直接判断比较困难以及命题用“不等于”的形式给出的情况下应考虑“利用互为逆否命题同真假”去判断；研究函数的性质要从定义域“出发”；等等。从教学反馈看，学生巩固知识、掌握方法比较到位了。目前，习题课教学还流行着一种套路，即先复习基础知识，然后选若干题目讲解，这实际上还是将题目跟知识进行对号入座，问题和知识方法有机结合性并不强，呈现的仍然是“两张皮”的教学现象。
教学过程2
问题2：设A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的充分不必要条件，问D是A的什么条件？
师：我们知道，如果p
q，那么就说，p是q的充分条件，或q是p的必要条件。
请问：为什么会“一箭双雕”呢？
：利用了互为逆否命题同真假。
师：说得好，一针见血！下面我们一起回顾相关概念（采用填空式多媒体动态演示）：
（板演）：
所以，D是A的必要不充分条件。
师：这位同学很好地发挥了“线示图”（如图2）的功能。在这里，我想追问一句：“若p，则q”与“pq”两者有什么区别呢？
图2
（不少学生面面相觑。）
：当“若p，则q”为真命题时，就是“pq”。
师：概念剖析得很好。于是我们又可以从命题的角度去理解相关知识了。
设原命题为“若p，则q”，
①若原命题和逆命题都为真，则p是q的充要条件；
②若原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；
③若原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；
④若原命题和逆命题都为假，则p是q的既不充分也不必要条件。
问题3：
(1)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()。
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(2)“
是互斥事件”是“是对立事件”的()。
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的()。
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(4)“a＜0”是“方程
有一个负数根”的()。
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)设集合M=｛x|0＜x≤3｝，N=｛x|0＜x≤2｝，那么“a∈M”是“a∈N”的()。
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
让学生思考，共同得出答案：(1)A；(2)B；(3)A；(4)C；(5)B。
师：实际上，问题(5)的解答过程，就是我们从集合的角度去理解相关知识的过程。
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现（如图3所示），则
图3
在这里，我们对它进行“浓缩”，那就是“小，充分；大，必要”。
跟踪练习：“x＞1”是“
”的()。
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
答案选A。
【评注】概念学习，实际上是比较困难的，因为学生既要知道必要性，又要明白合理性。但归根结底，对概念（尤其是核心概念）的剖析当是第一要务，其实它并不一定在概念课教学中一气呵成，却常常在习题课教学中不知不觉地完成。为什么可以“一箭双雕”呢？“若p，则q”与“pq”两者有什么区别呢？教学中这样的问题设计是及时和合理的，是有含金量的。通过对数学问题的思考，在学习过程中拓宽方法视角，提升思维品质，这是习题课教学的要旨。从命题的角度和集合的角度重新审视“充要条件”的相关概念，充分发挥“线示图”“顺口溜”的教学功能，都较好地提高了习题课教学的质量。
教学过程3
问题4：x＞2的一个必要不充分条件是()。
(A)x＞1(B)x＜1
(C)x＞3(D)x＜3
师生共同分析：x＞1是x＞2的必要不充分条件，即
。根据“小，充分；大，必要”的判断规则，答案应选A。
师：这是一个“倒装句”！在分析时一定要把“倒装句”改写成“习惯句”，然后利用“小，充分；大，必要”的规则进行判断。
（学生练习、板演，教师巡视、点评。）
问题5：
(1)现规定电路中，记“开关K闭合”为p，“灯泡L亮”为q，指出下列各电路图中p是q的什么条件？
(2)数学眼光说道理，辩证头脑看问题：
①勤能补拙；②熟能生巧；③穷则思变；
④水滴石穿；⑤骄兵必败；⑥有志者事竟成；
⑦近朱者赤，近墨者黑；⑧流水不腐，户枢不蠹。
（问题5让学生课外思考、讨论。）
【评注】问题4的解决是教学的重点和难点。让学生掌握一个规定动作，即把“倒装句”改写成“习惯句”，这样就把问题化生为熟，化难为易。当前，部分学生盲目做题，害怕做题，这跟我们习题教学不重视“操作性”（包括操作流程，操作“安全”，操作规范等）有关。没有共识，哪有方法。规定动作尽管划一，但不失其美妙，它犹如优美的韵律操。问题5的设计是拓展性和趣味性的，它从实验的角度进一步认识“充要条件”的相关概念，用数学的眼光去体会名言警句所蕴含的哲理思想。
二、在“直线与椭圆相切问题”习题课教学的探究中感受“变奏”
教学片断1
问题1：如图4，已知直线x+2y-4=0与抛物线
相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大。
师：请同学们谈一谈解题的思路。
图4
师：这位同学的分析很好。我认为，虽然的解法是正确的，但格式的规范还需要改进。根据的看法，我们利用导数求解这类问题，一般有“选段”“改写”“求导”三部曲。其中的选段，就是在曲线上选取一段，使之能成为某个函数的图象；改写，就是写出选取图象所对应的函数表达式（y关于x的函数表达式），它是曲线方程的改变形式；求导，就是应用所学求导公式进行“y对x的求导”。
【评注】对于直线与二次函数型抛物线相切的问题1，学生平时训练有素，通法技法运用自如。但我们想“大海掀起波澜”“乐章开始变奏”，在变式练习中“引蛇出洞”，着重纠正对“函数的导数”概念的错误理解。通过辨析“方程的曲线”和“函数的图象”的联系与区别，使技法的“生命”得到延续，让技法的操作更程序化（解题过程中让学生口述三部曲的6个字：“选段”“改写”“求导”），给学生以耳目一新的视觉冲击。
教学片断2
图6
(1)求椭圆方程；
图7
师：在这里，的解法就有明显的优势。看来，思路、方法和技巧构成了数学解题的一个系统工程，我们有必要加以关注。
【评注】或许学生对运用求导的方法解决直线与圆锥曲线相切问题的优越性，认识还不充分，于是紧接着安排了直线与椭圆相切的问题2.通过对两个解题过程的展示和方法的比较，加深了对运用求导的方法的理解，提高了优化解题思路的自觉性。可是，笔者在教学中没有揭示题目条件中“点
”的含义，留下了一丝遗憾。
教学片断3
图8
【评注】问题3是浙江省2006年文科高考题，解答(1)时，用求导的方法并不见得好些。通过这个良好载体，无非是要表明“通性通法属首选，技法巧法也要会”的教学主张。我们在本题教学中还进一步强调了格式的规范性和步骤的严谨性。
教学片断4
图9
(1)求椭圆方程；
师：这位同学运用倾斜角、斜率和三角函数的正切公式等知识就解决了问题，思路清晰。
【评注】对问题3(2)结果的再审视，是本节课教学的重头戏。通过对结果的“求美”，我们有了一系列数学发现，编拟出了问题3的变式题（这是浙江省2006年理科高考题），让学生们享受到了成功的喜悦。在顺水推舟中，用平面几何知识解决了此题。但此时教师及时给学生“泼了盆冷水”（总觉得平面几何的味道太浓太重），引导学生寻求运用倾斜角、斜率和三角函数的正切公式等知识加以解决。这可不是简单的“一题多解”，而是数学学习的“返璞归真”（让学生始终把握住解析几何的本质——用代数的方法研究几何的性质）。
肖柏荣指出“数学习题课的主要任务是通过对典型例、习题的示范和练习，巩固、运用所学知识，并训练学生的思维方法和解题方法，形成一定的技能、技巧，初步培养学生的数学基本能力，并促进良好个性品质的形成。”由此可见，数学习题课教学应遵循典型性、示范性、巩固性和提高性的原则。在这个原则的指导下，笔者在教学实践中总结出一个较为深刻的体会——数学习题课教学要“有料，有方法，有乐感”。诚如上述两个教学案例所剖析的那样：料，不仅包括原料，而且还需调料，特别是要预料；方法，不是简单奉送，而是水到渠成，尤其要自然而然；乐感，就是时而好像在让学生欣赏“共鸣曲”，自然而然产生思维共振，时而似乎在让学生倾听“变奏曲”，不知不觉突发奇思妙想。