关键词：几何知识；函数；最值
引言：几何是一个很能体现数学特点的知识，它抽象又具体。几何知识在我们整个数学知识中也占据了很大的一个地位。函数和几何都是数学这门学科中不可或缺的重要组成部分。函数最值的求解又是一个难倒很多人的难题，在很多人心中，函数最值的求解就是一座大山。而几何恰恰能解决数学中很多“疑难杂症”，因此，我们不妨试着利用几何知识求函数最值。
1 函数最值中的几何知识
函数最值隐含"形"的问题主要是指利用函数的几何特征(形状、大小、相互位置关系)来解决最值问题。这类题型不仅考查我们对知识的融会贯通程度,还考查对知识迁移交叉应用的能力(如运用几何特征解决代数问题)。目前,受教材知识体系编排的制约,我们所使用数学教材的重中之重仍是代数。以前所学习的平面几何,基本上是从公理到定理、从定理到定理的反复演练,与代数的交叉、沟通极其有限[1]。而现在的考试加强对这类题的考查,一是弥补了教材编排的不足,二是督促我们建立"数形结合"的意识,提高迁移交叉应用能力。
函数在生活中的应用十分广泛，而实际上能应用在生活中的函数又很复杂，因此面对如此复杂的函数，求最值就又是一个大难题。我们想到利用几何知识来求解，实际上将几何知识套用在函数上有两个基本类别[２]。一是数形结合，二是向量法。数形结合又可以细分为图像截距问题，距离问题，构造立体几何图形，斜率等问题。接下来，我们通过几个实例来说明这几种方法的实际应用效果如果。
2 利用几何知识求解函数最值例题
2.1一次函数(简单线性规划)的最值问题
简单线性规划最值问题隐含的"形"有两处是线性约束条件的图形化;二是目标函数的图形化。例1设变量x满足约束条件（x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1），则目标函数z=x+2y的最小值为 （） (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
分析:目前该题多采用数形结合的方法,能够准确直观地求出结果。解:画出可行域,图中灰色区域即为可行域;其次将目标函数变形为y=-2/x+z/2，该函数的纵截距为z/2,求z最小即求函数y=-2/x+z/2与y轴的交点最小,函数y=-2/x+z/2可看作函数y=-x/2的上下平移,当平移至图中位置时y=-2/x+z/2与y轴的交点最小将交点（1，1）代入即得目标函数最小值为3.
2.2 函数最值转换为距离问题
转换为距离问题也是很多看似复杂的数学难题的解决方法。我们可以通过一道例题来解释。例2：设x∈R，函数y＝√（x2-4x+8）+√（x2-6x+10），试问当x取何值时，函数y有最小值，最小值为多少？刚看到这道题的话，很多人会利用导数去做，先对函数y进行求导，求出函数的导函数然后根据导数等于零去判断[３]。理论上这样确实可以求出来，但是计算量实在太大，就光光是求导函数y’这一步就需要很大的计算量，更别说后面令导数等于零了。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆因此，求导的方法在这里并不适用。我们观察这个函数，可以看出它由两个部分组成，其中两个部分又都是根号的形式，根号的里面都是一个关于x的二次函数。一般这种形式在几何中就和距离公式很像了，于是我们尝试着将这个函数按照两点间距离公式的形式进行变形得到：y=√（x-2）2+（0-2）2+√（x-3）2+（0-1）2。显而易见，这个时候函数的两部分都成了两点间的距离了，于是我们不妨设点A（x，0），于是函数y就变成了动点A（A为x轴上一动点）到定点（2，2）和定点（3，1）的距离之和了。我们在直角坐标系中标出这几个点，根据对称性，求得点（2，2）关于x轴对称的点（2，-2），连接点（2，-2）和点（3，1），所形成的直线交x轴与点（8/3，0）。即当点A坐标为（8/3，0）时，距离之和最小。把x=8/3代入原函数，得到y=√10。
2.3 构造矩形求函数最值
在几何中有一个重要的基本图形那就是矩形，矩形可以由两个三角形构成，这就意味着它同时还具有三角形的所有几何性质。因此，我们在函数中就可以利用构造矩形来求函数最值。我们还是通过一个实例来说明。例3：设a，b，c∈R，且a+b+c=1，求函数y=√（a+b）2+√（c+b）2+√（a+c）2的最小值。很多人看到这个函数比较复杂，就基本放弃了。其实仔细想一想，这个函数的形式是不是和三角形的勾股定理有点相像，只是它三个三角形是什么呢，我们不妨构造一个矩形，把这几个三角形放进去试试[４]。如下图我们构造一个边长为1的正方形，由题意我们可知a+b+c=1，因此我们将这个正方形的边AB和AD分成三段，分别为abc和bca，于是便产生了三个对角线：AE，EF，FC。由图和三角形的勾股定律我们可以算出AE＝√（a+b）2，EF＝√（c+b）2，FC＝√（a+c）2因此函数ｙ就变成了AE＋EF＋FC，而AE＋EF＋FC≥AC，AC＝√２，所以√（a+b）2+√（c+b）2+√（a+c）2≥√２。即函数y=√（a+b）2+√（c+b）2+√（a+c）2的最小值为√２。
2.4 构造立体几何图形求函数最值
同样是构造几何图形，当面对一些比较复杂的函数时，平面几何图形有的时候也无法满足我们的要求，这个时候就需要考虑是否能够构造立体几何图形来解决问题。我们还是通过立体来说明。例４：设存在三个锐角A，B，C，求函数ｙ＝ｃｏｓA＊ｃｏｓB＊ｃｏｓC的最小值。角的问题一般处理起来比较复杂，一般锐角我们都放在三角形里面处理，而这里三个锐角，我们很难通过平面几何图形来套，因此我们尝试构造一个长方体。我们设这个长方体的长宽高分别为ａｂｃ，ｃｏｓA＝√（ｂ２＋ｃ２）／ａ，ｃｏｓB＝√（ａ２＋ｃ２）／ｂ，ｃｏｓC＝√（ｂ２＋ａ２）／ｃ，ｃｏｓA＊ｃｏｓB＊ｃｏｓC＝√（ｂ２＋ｃ２）／ａ＋√（ａ２＋ｃ２）／ｂ＋√（ｂ２＋ａ２）／ｃ≥√２ｂｃ／ａ＋√２ａｃ／ｂ＋√２ｂａ／ｃ＝２√２。
3 结束语
综上所述，在我们遇到难以解决的函数最值问题时，可以考虑以上几种几何方法，利用几何知识来求解函数的最值。
参考文献：
[1]冯昕奕.浅析运用几何知识求函数最值方法初探[J].中学生数理化：高考理化,2018.
[2]吴丽丽.利用几何知识求解函数的最值[J].数理化解题研究：高中版,2018.
[3]赵世梅.用几何知识求解函数最值[J].数学学习与研究：教研版,2011(7):78-78.
[4]赵琴妹.浅析运用导数求解函数最值[J].科教导刊(上旬刊),2014(8):53-54.
论文作者:马崇植
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第15期
论文发表时间:2020/1/16
标签：函数论文; 几何论文; 知识论文; 角形论文; 几何图形论文; 数学论文; 求出论文; 《教育学文摘》2019年第15期论文;