解析几何中一类典型错解的分析，本文主要内容关键词为：解析几何论文,典型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
最近在一次关于高三复习的交流研讨课上，上课教师选用了这样一组例题，现将其解法摘录如下：
例1及变式是很多年来，在各类教辅中都当作解析几何中求曲线的轨迹方程时整体消参的范例，殊不知，在问题解决的过程中隐含着错误，结论也存在着缺陷.这种方法作为典型解法广泛传播，在教学中没有得到深入的分析并予以纠正，因而一直误导着学生，以致其方法两次在高考中被学生广泛复制，而发生普遍性的错误，甚至出现全省性大面积的错误.
一、揭示解法中隐含的错误
（1）没有指出参数的范围.本题的解法实际上就是求轨迹方程的参数法，引进参数作为参数描述动点E和F的坐标，由于参数θ取值受到限制，所以就应指出其取值范围.事实上θ≠kπ，k∈Z.
（2）直线方程的表示不正确.文中所表示的直线方程①、②已经分别挖去一个点，不是完整的在直线上，这不符合直线的含义.
同样变式的答案也是错误的，讨论略.
二、错解的纠正及通性解法
解：设直线AE和
F的交点P坐标为（x，y），设E（3cosθ，sinθ），则F（3cosθ，-sinθ），当θ=2kπ，k∈Z时，点E与点A重合时，直线AE即变为点A，直线F即为x轴，此时虽然有点A为交点P，但不符合两条直线交点的含义，故点A应排除，所以x≠3；
当θ=（2k+1）π，k∈Z时，点E与点重合时，同理不合题意，故点就排除，所以x≠-3；
当θ≠kπ，k∈Z时，直线AE和F的方程分别为：
这种解法具有一般性，解题过程深刻揭示了交点P和动点E坐标之间的依赖关系，变量的取值范围由隐含变得显性，因而出错的可能性就大大减少.
三、错解形成原因的深度透析
前述错解并非一个特殊的案例，透过现象深入剖析错解形成的深层原因，就能发现在解析几何教学中存在的一些普遍性问题.在教学中，大多疏于对概念内涵的理解，对解法缺少深入的探究，解题过程分析不透彻，致使这类问题在高考中大面积出错，分析错因，寻找症结，有助于我们增强教学的针对性，提高教学的有效性.
1.因不具有完备性引起讨论不全面
从目前教学的实际来看，较多地关注了求曲线轨迹方程的基本方法，而忽略了对概念本质的探究，因而就出现了在解题中追求结果，缺少对过程的分析，导致在解题中经常出现忽略曲线的范围，致使不满足完备性，方程中出现了非曲线上的点，方程不能代表曲线，用方程研究与曲线相关的问题出错便在情理之中，下面的问题是一个很好的例证.
（2）由于所得轨迹E是椭圆挖掉了四个顶点，因而要分成三种情形进行讨论.
问题（2）的解答必须依赖问题（1）的完整解答，在（1）中若分析条件不仔细，运算中推理不严谨，就不能发现曲线的限制条件，找出方程中变量的取值范围，造成所求的轨迹不具备完备性，也就不能排出椭圆的四个顶点，也就引起（2）解题失误.事实上，从当年高考阅卷反馈的情况来看，该题得分率不足0.08，而且全省只有两个考生全对，不足十万分之一.由此可见，在教学中，只注重求轨迹方程的解题技巧，而不重视对本质的揭示是一个普遍存在的严重问题，必须引起我们的警示和反思.
2.因不具有纯粹性造成所得曲线不完整
忽略了对概念本质的理解的另一现象是考虑问题不全面，求得的轨迹方程漏了一部分，造成不满足纯粹性.所求得的方程没有包含曲线上的全部点，出现遗漏，用方程来研究曲线有关问题就会发生不能穷举所有情况的现象，下面的问题充分说明了这一点.
问题2（2011年广东卷·文21）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1）.设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，-1）且不平行于y轴的直线
与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围.
解：（1）动点M满足的条件为几何条件，并且含有角度，所以要作出图来分析等量关系.
如图2，当点M在OP左侧时，显然点M是OP垂直平分线与x轴的交点，所以点M的轨迹方程为：y=0（x＜-1）.
当点M在OP右侧时，
因为∠MPO=∠AOP，
所以PM//Ox，
设M（x，y），则P（-2，y），
因为点M在OP的垂直平分线上，所以|MP|=|MO|，
（2）作出点M的轨迹E，如图3，图形是抛物线和过其顶点的一条射线，而O恰为其焦点，因此可结合抛物线定义进行平面几何知识来分析.
当点H在方程y=0（x＜-1）上运动时，显然|HO|+|HT|＞|CO|+|CT|，
题目的所有条件都是以几何方式呈现的，自然就要利用几何直观进行分析，画出图形后，容易由平面几何知识转化条件得到轨迹的方程，但观察要全面，不小心会漏掉射线部分而使求得轨迹方程缺少纯粹性；只要观察到O点恰为抛物线的焦点，（2）的解答便是水到渠成，利用几何直观，（3）则更是显而易见.可见这个问题并不难，但阅卷的结果出人预料，得分率不足0.05，最高分8分，全省只有两人，看到这一严酷的现实后来反思教学现状，则又在情理之中.这是一道原生态的轨迹问题，需要考生能够从几何条件出发，分析出等量关系化简得轨迹方程，在平时只关注题型练习，忽视基本原理的理解，遇到这类问题，教学的缺陷就暴露无遗了.
3.不充分理解课标要求致使文科学生概念模糊
课标规定，文科学生在学习《数学·选修1-1》圆锥曲线模块时，不系统讲解曲线与方程关系的内容，学生要从直线、圆及三种圆锥曲线的学习中逐渐领悟和体会曲线与方程之间的这种关系.虽然课标意在避免文科学生在理解曲线与方程的抽象关系带来的困难，但从近年教学的实践来看，教师教学中若不适时地引导学生理解曲线与方程的关系，提示其本质内涵，学生会始终处于模糊状态，不能自觉地探究自己所求得方程与问题中所给曲线之间的关系，出现了错误却不知道产生错误的缘由.
4.几何问题的本质被淡化
解析几何的研究对象是几何问题，研究方法是用方程来表示曲线，再通过方程的特征来研究曲线的性质，数形结合的思想应贯穿于教学的始终.但目前的教学现状是基本上停留在求方程的方法和方程化简或参数处理的技巧的研究上，也就是程式操练的研究上，关注了代数方面的讨论，忽视了对几何本质的探究.对所列代数式子是否和几何条件等价，对所得代数结果进行几何直观解释等问题没有引起重视.缺乏对几何图形与代数方程的对应关系的讨论，没有形成分析方程与曲线是否对应的习惯，对能否用方程来表示曲线就十分茫然，产生错误就不言而喻了.数学家克莱因告诫我们：“数学的直观就是概念、证明的直接把握.”从利用几何条件建立方程到对方程的直观解释，都要让几何图形和代数方程相辅相成、相伴而行，从而保证曲线与方程的统一.
从典型例题的错解，到高考答卷中大面积的错误，反映出一个严峻的现实，目前教学的现状是以应试为中心，过多重视题型的训练，解题方法技巧的练习，而对数学概念、原理、定理等的教学认识还不到位，深度、广度还不够.学生对概念大多基于表象的理解，对其内涵和外延没有对其多元表征进行深入探究、辨析，没有透彻理解概念本质含义，掌握原理的实质、定理应用的条件，因而对问题解决中产生的错误不能有效地诊断、反思和调控.在教学中减少程式操练，强化数学原理本质的理解，重视数学概念内涵的领会，是防止错误发生的有效途径.