创新与数学教育，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着教育由“应试教育”向“素质教育”这一重要转变的深入推进，以及素质教育应“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”这一重要指导思想的明朗化，学生创新精神的培养现已成为我国数学教育的一个新热点。有不少教师已在这一方面进行了积极的探索，更有不少学者在这一方面发表了不少指导性的意见。但是，由于创新教育是一个新的课题，所以这方面的实践不可避免地会出现这样或那样的问题，相应的认识也必然有一个深化和发展的过程。以下就联系小学数学教学的实践集中地对“开放题与数学教学”“问题解决与问题提出”和“创新与文化继承”这样一些主题作出分析和论述。
一、“开放题”与数学教学
只要稍加留神，我们就一定可以发现，对于“开放题”的高度关注正是数学教育现代发展的一个重要特点，我国已在这一方向上取得了一些积极的研究成果。例如，由戴再平教授主持的研究项目：“开放题——数学教学的新模式”，其成果《中小学数学开放题丛书》现已由上海教育出版社正式出版，并受到了广大读者的普遍欢迎。
显然，从学生创新精神的培养这一角度去分析，上述现象的出现应当得到充分的肯定。因为，与那种具有惟一正确解答、甚至惟一正确解法的“传统问题”相对照，开放性问题本身就构成了对于“过分规范”的直接反对；另外，所说的“开放性”也就直接决定了我们在此不可能按照既定的模式机械地去从事解题活动，而必须主动地、积极地去进行探索，从而，开放题的教学对于学生创新精神的培养就是十分有利的。
但是，现在的问题在于：开放题能否被看成培养学生创新精神的惟一途径呢？显然，上述问题的解答依赖于对于创新精神的正确理解，而如果认为培养学生创新精神的主要内涵就是应更加突出学生在学习活动中的“自主性”和思维的“开放性”（发散性），也即应当鼓励学生积极、主动地去进行探索，并能大胆地突破各种已有的条条框框的束缚，那么，我们在此自然就可以引出这样的结论：学生创新能力的培养所主要涉及的并非题型的改变，而是教学思想的重要转变。这也就是说，在数学教学中我们应当明确反对过分的规范，而应强调思想的开放性，并应彻底改变学生在学习过程中的被动状态，促使其更为积极、主动地去进行探索。
笔者以为，也只有从这样的角度去分析，我们才能很好地理解以下的教学实例（载《纽约时报》，2000年4月12日）的积极意义，这就是指，只要树立了正确的教学思想，即使是典题的“传统问题”也可以用来培养学生的创新精神和能力。
这位美国小学教师给自己所任教的四年级学生提出了这样一个问题：每箱橘汁都装有24罐，为了使250个学生人手一罐，共需要多少箱？
从传统的观点看，这显然是一个除法问题。但是，教师在此并没有直接写出相应的算式“250÷24=?”，而是写出了表达式“250?24”，其主要目的就是为了让学生“自由地”进行探索。事实上，在所说的实例中，有些学生就是用加法——对24进行连加以逼近250——从而求得了解答；有些学生则采用了减法，也即是从250连续减去24以逼近0——从而求得了解答；有些学生试图利用乘法去求得解答，即努力去发现24与何者相乘将得到250。
还有一个小女孩提出了如下的求解方法：100包括4个25，由于250个学生是两个100再加上半个100，因此，如果每箱橘汁都装有25罐的话，相应的结果就是4箱加4箱再加2箱（总共10箱）；但现在每箱只有24罐，也即每箱少了1罐，从而就必须从第11箱中补取10罐。
另有一个小组采取了“实验”的方法：他们在纸上画了一个长方形，并用垂直的平行线将它分成24个部分，这时画一条水平线就将生成24个小的正方形，而又只需通过连续作出这样的水平线直到得到250个小正方形就可获得相应的解答。
显然，这种主动的、积极的探索对于学生在数学上树立信心也是十分有益的，而后者正是人们能否成功地从事发明创造活动的一个必要条件。
二、“问题解决”与“问题提出”
这也是一个较为普遍的看法，即认为创新能力主要“是在认识、解决和处理各种问题时体现出来的”，从而，“从本质上说，创造就是困难问题的解决过程”。（任子朝：《高考数学科考试创造力考查的探讨》，《中学数学》，2000年第1期）
显然，从这样的角度去分析，数学教育中对于“问题解决”的突出强调也就是十分合理的了。因为，就其基本的意义而言，“问题解决”即是指“综合地、创造性地运用各种已有的数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题”（详可见另著：《问题解决与数学教育》，江苏教育出版社，1994年），而又只需与美国心理学家吉尔福特关于创造性思维主要特征的论述作一对照，我们就可看出，上述关于“非单纯练习题式的问题”的提法与“综合性”、“创造性”等要求即是与吉尔福特所说的“独创性”(orginality)、“流畅性”(fluency)和“变通性”(flexibility)直接相对应的，从而，“问题解决”也就十分有利于学生创新精神的培养。
但是，在作出上述肯定的同时，笔者以为，我们在此又应十分注意防止这样的倾向：将学生创新精神的培养简单地等同于如何在教学中积极地去设置各种“新颖”的问题（包括“问题情境”）；将如何“创设一定数量的新颖情境的试题”以及积极“开发新的题型”看成考核改革的主要方向。
显然，如果忽视了培养学生创新精神的主要内涵，那么，上述的倾向事实上就只能说是一种“标新立异”，从而也就可能造成严重的消极后果，特别是，就考核而言，就十分容易导致“题海战术”的进一步升级与扩展，而这当然是与“努力”培养学生的创新精神”这一基本目标直接相背离的。
从而，与惟一强调问题的“新颖性”相比，我们就应更加突出地强调学生在学习活动中的“自主性”和思维的“开放性”。另外，也正是从后一角度出发，笔者以为，除解决问题的能力以外，我们又应十分注意培养学生提出问题的能力。
事实上，有很多著名科学家都曾突出地强调了提出问题能力的重要性。例如，爱因斯坦就曾指出：“提出一个问题比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。”
但是，数学教育在这一方面的现实情况怎样呢？在此不妨提及不久前所进行的一次中美数学教育比较研究（这一材料是由贵州师范大学吕传汉副校长提供的）。这是以四年级小学生为对象进行的一次测试，试题共包括两个部分：第一部分要求学生按照所给出的情境（共有三个情境，下图所示的是其中的一个）分别提出易、中、难三个数学问题；第二部分则要求学生实际求解试卷中根据特定情境所已直接给出的两个数学问题。结果表明，美国学生普遍感到第二部分难于第一部分，而对中国学生来说却是相反的情况：第二部分对中国学生来说似乎没有任何困难，但面对第一部分试题他们却显得完全不知所措，甚至在事后对中学生乃至大学生所进行的测试中，也可看到同样的情况。
这一比较研究就清楚地表明了这样一点：中国学生与美国学生相比较为缺乏提出问题的能力。而如果我们不能及时地对此加以改进则就可能在未来的国际竞争中处于劣势。
事实上，笔者以为，这也应被看成传统的“传授—接受”式教学思想的一个具体表现，即学生总是被要求去求解由其他人（教师、教材编写者、考题设计者等）所提出的问题。所以，注意培养学生提出问题的能力就不仅应被看成是培养学生创新能力的一个重要方面，而且也直接关系到了“应试教育”向“素质教育”的重要转变。
三、创新与文化继承
我们仍可以“问题解决”为例来说明在创新与文化继承之间所存在的重要联系。
具体地说，这正是“问题解决”这一国际性的数学教育改革运动为我们所提供的一个重要教训，即在相应的实践中经常可以看到这样的现象：学生们（甚至包括教师）只是满足于用某种方法（包括观察、实验和猜测）求得了问题的解答，而不再进行进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性（包括完整性）作出必要的检验或证明，这样，“在现实中，开放性问题在某些场合正在成为不求甚解和不加检验和猜测的同义词”。上述的现象当然是不能为人们所接受的，人们就因此而引出了如下结论：实际解答的获得——包括肯定性解答（如求得了所要求的未知量）和否定性解答（如证明了原来的问题是不可能得到解决的）——不能被看成相应的数学教学活动（以及数学活动）的最终目标，我们在此所需要的应是“求取解答并继续前进”。另外，从更为深入的角度去分析，这也就是指，与“问题解决”这一口号相比，“数学地思维”应当说是更为恰当的，也即我们应当将帮助学生学会数学地思维看成数学教育的主要目标。这正是数学思维的一个重要特点，即数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，并总是希望能获得更为深入的理解。而后者不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地去从事进一步的研究，如：在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论，这些事实能否被纳入某个统一的数学结构，等等；他们又总是希望能达到更高的简单性和精致性，如是否存在更为简单的证明，能否对相应的表述方式（包括符号等）作出适当的改进，等等。（对此可参见另文：《关于“大众数学”的反思》载《数学教育学报》，1994年第2期；《关于“问题解决”的再思考》，载《数学教育的现代发展》，江苏教育出版社，1999年）
显然，从创新精神的培养这一角度去分析，以上的论述就清楚地表明了：我们应当要求学生积极、主动地去进行探索，但这又不能被理解为在数学学习中每个学生都可以各行其事；同样地，思维的“开放性”也不应成为学生满足于现状、包括拒绝学习新的更有效方法的理由。
更为一般地说，笔者以为，我们在此事实上就突出地遇到了“继承”与“创新”的辩证关系，而这就应被看成培养学生创新精神的一个重要环节，即在高度重视创新的同时，我们还应十分重视对于前人科学成果的继承，而后者则又不仅是指各种具体的数学知识或方法，而且也包括“数学思维”或“数学精神”。也正是从这样的角度去分析，笔者以为，创新教育就为我们深入开展数学教学研究提供了重要的契机。
正如前面所已提及的，创新不等于“标新立异”，这也就是说，问题的“新颖性”并不能被看成培养学生创新能力的关键所在；同样地，问题的“不确定性”（“开放性”）也不能被看成判断数学题好坏的惟一标准。无论就开放题或其他问题的设计而言，都应符合一些更为基本的原则。
那么，从培养学生创新能力的角度看，究竟什么是好的数学问题？我们又应如何通过“问题解决”的教学来提高学生的创新能力呢？显然，对于这些问题我们现今还不能说已经具有了十分清楚的认识，从而就需要广大教师联系自己的教学实践从正反两个方面对此作出更为深入的分析和研究。
从教学的角度看，如何处理好创新与文化继承的关系显然不应被看成一个纯理论的研究课题。恰恰相反，在此所需要的是具体的行动指南，如在出现多种不同解法的情况下教师应当如何去从事教学，在学生已经成功地解决了问题的情况下我们又如何才能使他们深切地感受到继续学习，包括对自己原有的方法作出“扬弃”的必要性。相信身居第一线的广大教师一定可以在这一方面作出重要贡献。
由于创造性不可能被纳入任何一种固定的模式，而必然具有自己的特殊风格，从而，这就为我们深入开展创新教育提出了一个新的课题，即应如何较好地去体现“个体化教学”的基本思想。
事实上，就后一论题而言，我们不仅缺乏成功的教学经验，在理论上也有很多问题有待于深入地研究和探讨，即如所说的“个人风格”是否应当被看成天生的，或者说，就“个人风格”的改变（或塑造）而言后天的教育究竟能发挥多大的作用。
综上可见，创新教育事实上就为我们深入开展教学研究开拓了十分广阔的前景，愿广大教师的这一方面能作出切实的努力。