在中学数学教学中渗透公理化思想，本文主要内容关键词为：公理化论文,中学数学论文,思想论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文首先以介绍公理化思想的发展简史，接着就公理化思想对数学的发展以及对中学数学教学的重要作用进行论述，得出在中学数学教学中必须渗透公理化思想的结论，进而提出渗透公理化思想的一些具体措施，并对实际教学中必须注意的问题从认识论的角度作一简单评述。
1 公理化思想简介
1.1 公理化方法与公理化思想
所谓公理化方法，就是从少数不加定义的原始概念和一些不用证明的命题出发，通过演绎、推理，得出其它新概念、新命题，最终构建成演绎系统的方法。这样形成的系统叫公理系统。公理化思想是对公理化方法的本质性认识，相对于外显的公理化方法来说，它融合在公理化的产生、发展、应用、变通之中，是内隐的。
1.2 公理化思想发展简史
公理化思想最早出现在古希腊时期， 逻辑学创始人亚里士多得（Aristoteles）创建了三段论学说，即古典的公理系统。其后， 数学家欧几里得（Euclid）以亚里士多得的演绎逻辑为工具，总结了人类长期以来积累的大量几何知识，在几何理论中成功地引进了公理化思想方法，从23个定义、5个公设、5条公理出发，推证出465条定理， 于公元前275年完成巨著《几何原本》，从而构造了实质的公理系统。此后， 欧几里得公理化思想下的几何观念统治数学界长达两千多年。其间，特别是在文艺复兴以后，几何学取得了种种发展，如曲线研究、射影几何等，但这都是在欧氏几何的范围内或在其观念影响下获得的。直到近代，人们开始怀疑《几何原本》中公设、公理等的真理性，以希尔伯特（D.Hilbert）为代表的数学家掀起了对几何基础的研究。希尔伯特放弃《几何原本》中公理的直观显然性，舍去一切与逻辑分析无必然联系的内容，着眼于对象之间的关系，强调逻辑推理，于1899年发表了《几何基础》这本经典著作，这标志着简明、完整、逻辑严谨的形式化公理系统的诞生。20世纪以后，人们把形式化公理系统的思想应用于其它领域，如代数领域、理论力学领域，等等，形成高度形式化和抽象化的现代形式公理化思想方法。这样，公理化思想也发展到历史上的最高阶段。
2 公理化思想对数学发展的促进作用
2.1 公理化思想促进数学新知识的发展
数学的发展常常超越物质世界的发展，其中公理化思想发挥了重要作用，运用公理化思想方法定义一些原始概念和关系，无须明确其具体含义，摆脱多种数学原型的具体内容和非本质属性的束缚，可将人们关心的某一侧面的本质属性集中反映出来，从而得到可能远远越出人们直观范围的数学成果。罗氏几何的发现是最典型的例子。罗氏几何于1826年诞生后，由于在现实世界中找不到合理的解释而遭到人们的非议，直到1868年才由意大利人贝特拉米证明罗氏几何可实现在欧氏空间的“伪球面”上，这一新的几何分支才得以大放异彩。
2.2 公理化思想促进抽象分支的建立
通过对公理化思想方法逻辑特征的研究，人们创建了许多新的数学分支。例如，由于对公理系统协调性的深入研究，希尔伯特等数学逻辑家创立了《元数学与证明论》。
2.3 公理化思想促进数学问题的解决
20世纪初公理集合论的出现，不仅解决了康托朴素集合论中的悖论，而且使一些“老大难”问题取得很大的进展。这方面有力的例证首推20世纪60年代柯恩对连续系统假设及选择公理所取得的重要成果。
2.4 公理化思想促进新的数学方法的产生
例如，由于对非标准模型的研究而产生的非标准分析等。
3 公理化思想对数学教学的积极作用与意义
3.1 公理化思想促进学生数学认识结构的优化
学习者的数学认知结构可以看成是数学知识结构在其头脑中的反映。
从我国中学数学知识系统的逻辑结构和具体内容安排来看，总体上体现了公理化思想。尤其在平几、立几中，更是明确地给出了公理（代数中的法则、运算律等也可以看作朴素的公理）。具体地，中学数学知识结构大致按下列逻辑结构、采用演绎方法展开：
原始概念的描述
┐
定义的叙述
｝
公理（法则）的叙述┘
命题（定理、推论、公式等）┐
新定义的叙述
｝新命题……
新公理（法则）的叙述
┘
为了便于学生接受，通常增添使于理解教材内容的实例，具体章节内容按这样的顺序组织：感性材料背景→公理、概念的定义→定理、推论或公式的获得→应用。
由此可见，公理化思想可以帮助学生遵循知识发展的方向积极探索、发现，主动建构自身的认知结构；可以帮助学生概括、整理所学知识，揭示知识间的内在联系，使之系统化、逻辑化，从而促进学生的理解、记忆与保持，最终形成清晰、稳固的数学认知结构。
3.2 公理化思想促进学生思维能力的发展
3.2.1 促进学生传统思维方式的转变
从中国古代数学思想发展的历史看，数学的应用意识占主导地位，过于谋求对事物本质、整体作直观的洞察，而缺乏从具体事物中抽取原理、进行抽象化、体系化的精神，缺乏揭示体系间严密对应关系的精神。因此，在古代中国不可能产生作为学问的逻辑学。而至今，这些思维方式的影响仍然存在，公理化思想可以作为我们接受西方数学的先驱，教会我们分析地、逻辑地、体系地把握事物，进而改进思维方式，转变我们的数学观。
3.2.2 促进学生优良思维品质的培养
公理化思想可以使学生发散思维，从数学知识系统整体的角度认识新知识、研究新问题，使学生善于在合情假设之后进行科学论证，从而培养思维的广阔性、灵活性；公理化思想可使学生了解学科中的原始概念与公理，按“系列知识”的逻辑顺序理清数学知识在相应系统中的地位，弄清问题的根据，避免“循环论证”等的错误，可培养思维的深刻性、批判性；公理化思想可使学生有意识地分析、解决问题，加工整理相关学科的知识，并且善于发现新事物，从而培养思维的独创性、敏捷性。
3.2.3 促进数学思维策略的选择
数学思维策略是指在解决数学问题、发现数学知识的过程中所采取的总体思路，是带有原则性的思想方法。面对数学对象，在公理化思想的指引下，学生通过观察分析，根据对象提供的关键信息进行广泛的联想，凭借公理化的、结构化的知识与经验，迅速检索和提取相关信息，作出直觉性的理解与判断，从而得到总体思路或入手的方向、原则，即选出相应的思维策略。
3.3 公理化思想对学生学习活动的指导意义
根据建构主义学习理论，公理化思想能使学生的数学学习过程变成一个主动积极，并且具有创造性、发展性的建构过程。
3.3.1 公理化思想指导学生在解决问题时“寻找根据”
在解决问题的过程中学生对自己作出的论断的真实性缺乏判断的意识和能力，通常不能把握解题的正确性与方向性，在公理化思想的指导下，学生可自觉运用有关概念、规则以及那些已知的正确论断，通过逻辑推理，表达或证实每个论断的真实性，做到步步“有理有据”，形成逻辑严谨的良好风格。
3.3.2 公理化思想指导学生在解决问题时进行“要素分析”
（1）分析问题自身的诸要素，弄清问题本质；（2）分析解决问题必需的基本要素，得出解决问题的可能方案；（3）以原问题为依托， 分析一般化或特殊化的问题的基本要素，建构奠基性的知识、策略结构。学生通过“要素分析”，不仅能加深对问题的认识，而且能发现新问题、获取新知识，从而进行发展性、创造性的学习。
3.3.3 公理化思想教会学生“在假设（公理）的前提下思考”
（1）学生从基础性的原理（公理）出发， 根据自身水平和个性倾向建构自身的数学认知结构，并通过不断的运用、反思，逐步加深对原理（公理）的理解，完善教学认知结构的意义建树；（2 ）学生在假设（公理）的前提下可积极探索、尝试、创新，进行发散式和聚合式思维，研究原理、法则、规律等的推广与衍变，努力开拓新的研究领域，发现新的成果。
由上可见，公理化思想对完善学生的认知结构、培养学生良好的学习习惯、发展学生的思维能力、学习能力等方面具有非常重要的作用，因此，在中学数学教学中必须渗透公理化思想。那么，在实际教学中具体应如何渗透呢？笔者认为应着重考虑：
4 渗透公理化思想的几点措施
4.1 根据学生的发展水平，充分利用教材，理清公理化思想。
（1 ）中学数学知识系统的逻辑结构及具体内容安排总体上体现了公理化思想（这一点本文第三部分已作简单说明）。在实际教学中，应充分挖掘这些资源的教学价值，使学生注意从微观、宏观的不同视角来理解、把握。微观上，让学生发现许多知识点、数学分支在公理、概念或法则之后展开。例如，高中阶段让学生发现：集合的有关知识中，先对集合作描述性说明（朴素的公理），再给出集合的交、并、补等运算规则（公理），在此基础上进行集合的有关运算与研究。对此学生经过讨论、总结、形成公理化思想的初步印象。宏观上，让学生比较不同知识体系的组织，发现其按公理化思想展开的共同规律，进而对未学习的知识进行猜测、探索、创新与论证，进行发展性的积极学习。例如，学生通过对数学的研究发现，每次当数域扩展后，都要考虑有关运算规则（公理）在新数域中是否仍然适用，并以此作为进一步运算的基础。根据这一思想，学完平面几何再接触立体几何时，自然会去思考：作为平几基础的公理、定理在立几中还成立吗？立几中应有哪些基础的公理、定理？具体如何描述？如何推衍？等等，这样学生对公理化思想的认识与理解得以进一步加深。
（2）不同发展阶段的中学生对数学思想的理解能力存在明显的差异。有研究表明，一般年级越高，对数学思想理解与自觉运用的可能性越大。就公理化思想的渗透而言，可以在初二年级开始，逐步深入，至高二、高三达到运用水平。
4.2 强调思想，妥善处理“三性”问题。
一般地，我们接触到的科学的公理系统要求具备相容性、独立性、完备性（这里不涉及哥德尔不完全性定理与形式化公理系统）。为了减少学生接受上的困难，我们可放弃公理系统的独立性和完备性，这从教学论的角度看是具有积极意义的，这一点在中学数学教材中得以广泛体现。例如，人教版九年制义务教育初中平几教材中引进了16条公理，与欧氏几何相比，既过剩又不足，是不完备和不独立的。16条公理中，有5条强化了公理（如平行公理）和11 条新增公理（如三角形全等公理），11条公理有效地从思想上提高了学生认知的起点，减少不必要的理解、论证过程，提高了学生进行数学发现的速度。
4.3 在解题教学中，通过学生积极的联想、探索、 尝试和元认知活动，强化公理化思想。
问题是数学的心脏，只有充分挖掘数学问题的教学价值，才能真正深化有关的数学思想。在解题教学中，应引导学生对数学问题进行“要素分析”，展开联想，探索解决问题的路径，寻找每步的根据，弄清原理，正确评价，产生丰富的元认知知识和元认知体验，进行积极的元认知监控。学生在解题过程中多问几个“问题的实质是什么”、“问题的真实性依据哪些要素”、“这样做有什么根据”“在此前提（假设）下有什么结论”、“可有哪些推广”等问题，这些小问题的解决可保证原问题解决的方向性、科学性、使公理化思想的精髓得以提炼和升华。
尽管公理化思想对中学数学教学有着极其重要的作用，但辨证地看公理化思想也存在其局限性，这一点在教学过程中进行思想渗透时，我们必须清醒地认识到。
5 公理化思想的局限性
5.1 公理化思想必须与其它数学思想方法相结合才能显示其生命力。
（1）公理化思想与符号化思想、化归思想、映射思想、 模型思想等有很深的渊源，彼此相辅相承、共同发展；（2 ）公理化思想必须以具体的数学方法为载体才能在数学领域发挥作用，皮亚诺公理及其支撑下的数学归纳法便是很好的例证。
5.2 过分强调公理化思想会产生许多消极因素
20世纪60年代在世界范围内进行的强调公理化思想方法的课程改革，于1981年宣告失败，这足以证明这一点。（1 ）过分强调“寻求根据”，片面追求逻辑性，会禁锢学生的思维，抑制学生的数学直觉与灵感，不利于数学发现；（2）过分强调系统性、 严密性会束缚学生的认知活动，限制认知结构的建构与拓展。
5.3
形式公理系统的不完全性决定了公理化思想适用范围的局限性。
5.4 公理化思想的传播必须充分考虑对象的可接受性。
不同年龄、不同主体特征的学生必须区别对待，提不同的要求，采取不同的措施，这大大提高了渗透的难度。
最后，我们应该看到，公理化思想发展至今已有两千多年历史，无论在方法论上，还是在认识论上，它都是人类认识世界、改革世界的重大成果，我们既要看到公理化思想对数学发展的重要作用及其卓越的教学价值，也要看到其局限性，既不能过分夸大公理化思想的作用，也不能简单地说一句“欧几里得必须滚蛋”，只有在教学过程中恰当地渗透这一思想，才能有效地发展学生的思维能力和分析、解决问题能力，才能提高学生创造性、发展性的学习能力，最终才能教会学生数学地生活、数学地思维。