初中数学主题探究性学习模式的研究，本文主要内容关键词为：初中数学论文,探究性论文,模式论文,主题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本世纪以来，我们国家在基础教育阶段始终在倡导创新教育，在这个大环境下，数学教育研究者和教师开始关注数学的探究性学习和教学模式.2000年的《数学教学大纲》中就已经涉及数学探究性课题.我们现在所说的数学探究性学习，主要着眼于学生的学，鼓励学生以类似数学研究和实践的模式来主动进行探索活动，强调通过学生主动去“做”的探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力[1].
一、研究基础
在最近几年的工作和研究中，我们接触到了大量的初中数学主题探究性学习的教学设计案例.所谓的主题探究性学习，是指学生围绕一个探究主题进行深入的或广延的探究性学习活动.这个“探究主题”可能是学生发现并提出的一个可探究的数学问题，也可以是教师根据学习要求和学生的实际学习、生活需要而设定的探究问题.通常情况下，探究主题的背后是一个明确的数学知识或数学方法.
在众多的数学主题探究性学习的教学设计案例中，我们挑选出了其中115个较为完整的设计，这些教学设计的作者是北京和江苏地区的八十多位一线教师和教研员.在进行更深入的研究工作前，我们研究小组抽选了其中的37个教学设计案例（约占总数的三分之一）进行了实践，以确保这些教学设计具有可行性.实践结果表明：被抽选出的教学设计都能够实现原案例中的探究过程和学习目标，说明这些教学设计本身都具备了可行性与可操作性，具有研究的价值.
按照义务教育数学课程标准中给出的四个领域划分方式[2]，115个探究性学习设计案例的分布情况如表一所示.
可以看出，这115个案例已经涵盖了初中数学的四个内容领域，除了统计与概率的内容较少外（实际上初中教科书中这一部分的内容也确实比较少），其他三个领域的数量大致相当.
在此基础上，我们对115个案例进行了深入的研究和分析，希望能够就初中数学的主题探究性学习模式进行一些分析和归纳.
二、数学探究模式的分类
一个完整的主题探究性学习活动是由一系列探究要素构成的.美国学者Priestley等人曾提出将探究活动划分为“提出问题（proposed problem or issue to be explored）”、“设计研究方法（addresses or plans procedure to be used）”、“方案实施（explores or carries out procedure）”、“得出结论（supplies answers or conclusions）”四个要素.我国的一些数学教育研究中，从数学探究特征出发（这里的“特征”指数学探究有别于科学探究的地方），将四个要素修改为“提出问题”、“分析与假设”、“方案实施”、“评价与结论”作为数学探究的一般要素[3].本文中采用这一要素划分标准.
在我们研究的所有数学探究设计案例中，若干案例“方案实施”过程呈现出了明显同质化趋势，而且这种同质化与探究主题所涉及的数学知识领域无关.由于这115个案例是由80多位教师各自进行设计，因此这种同质化趋势并不是源于教师个人习惯，而是揭示着初中数学主题探究性学习中存在几类基本模式.我们对这些探究性学习案例的同质化趋势进行了归类，发现这115个案例的证据收集过程可以分为以下四个基本类别.
1.基于演绎推理的探究模式
演绎推理又称为论证推理，是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，是从一般到特殊的推理，它是以某类事物的一般判断为前提做出这类事物的个别、特殊事物判断的推理方法[4].这样的研究方法在数学研究中是很常见的.
中学数学教育中有合情推理和演绎推理两种推理方式.其中演绎推理作为一种严格的数学推理过程，始终是中学数学教育中最主要的推理方式.在探究性学习中，从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照法则证明和计算[2]，最终得到结论的探究模式就是基于演绎推理的探究模式.
案例1 探究活动：勾股定理的应用——如何测量旗杆的高度.
旗杆顶端系有一条绳子，绳长大于旗杆的高度.同学只能站在地上进行测量（即不许爬上旗杆测量或解开绳子），应如何测得旗杆的高度？
这是一个比较开放的数学探究活动.题目的限定条件很少，学生解决问题的办法也不唯一.不过无论学生采用哪种方式，在这个活动的限定条件下都需要用到勾股定理和一元二次方程解决问题.
在这个案例中，学生在拿到问题时就已经知道应从构造能使用勾股定理的直三角形入手.勾股定理和一元二次方程（及其解法）都属于已知的、一般的事实和规则，而问题中测量旗杆高度的情境属于特殊事物.这种由一般到特殊，通过逻辑推理和计算得到结论的探究过程就是演绎推理的过程.
2.基于数学实验的探究模式
数学教育家G.波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看来却像是一门实验性的归纳科学.”[5]实际上数学教育界也有许多学者主张用归纳的方法和实验的手段来发展和研究数学.与演绎推理相对应，基于数学实验的探究过程建立在合情推理的基础之上.
案例2 探究活动：怎样把图形分成面积相等的两部分
要做一条能够将三角形面积平分的直线，最简单的方式就是画三角形的中线所在的直线，那么除了这三条直线外，是否还存在其他直线将三角形的面积平分呢？怎样画出这条直线？
案例2中，当学生拿到这样一个探究问题时，很难直接将问题与所学的某几个知识联系在一起的.在进行探究时，学生都会先从画出三角形的中线平分三角形开始，然后再尝试作其他能平分三角形的直线，通过若干次的试验后去寻找这些直线之间存在的规律.在三角形的选择上，学生也会从等边三角形、直角三角形等特殊三角形出发进行探索.与基于演绎推理的探究模式最大的区别在于，学生并非从一般性的原则或公理、定理入手，而是从特殊情况出发，逐渐归纳出一般情况.
在通过这种合情推理得出一般结论后，严格的数学结论需要进行证明后得到.但在中学的探究性学习中，不一定非要对结论进行证明.如案例2中的探究活动是可以进行证明的，但也有很多案例中证明结论超出了学生的能力范围.从数学教育的角度看，合情推理结论的证明可以根据学生的具体情况提出不同程度的要求.
3.基于社会调查的探究模式
社会调查是有目的、有组织地向社会某一方面进行了解和研究的活动，直接接受社会各种信息（接触典型事例和人），从而受到生动活泼的教育的一种方式，也是理论联系实际培养学生分析问题和解决问题能力的重要方法[6].同时社会调查也是近代应用数学中常用的一种研究方法.
现代数学教育理念注重培养学生的数学应用意识.在探究性学习活动中，存在一类以现实生活作为出发点和背景的主题.在这类主题的探究中，学生也需要对某种社会现象作充分的调查和了解，并且有时需要在调查中取得数据；最后再运用数学知识得到探究结论.
案例3 探究活动：我校周边农村家庭人均碳排量的调查
学生以组为单位，去山区、楼区、平原的农村家庭进行调查，然后根据调查的数据计算出其碳的排放量，并绘制成图表和统计图，并进一步对数据进行分析，得出结论.
案例3是北京的一位农村初中老师设计的探究性学习案例.这个案例中，学生必须通过社会调查取得数据，再运用统计知识分析数据并得出结论.这个主题中强调数学应用意识，并且充分体现学生自主探究与分工合作.
与前面两种探究模式不同的是，基于社会调查的探究模式需要较长的探究时间.课堂上的工作以探究开始时提出问题、布置任务，以及调查和分析结束后的汇报与交流为主.社会调查和数据分析则放在了课外进行.这类探究模式所涉及的生活背景非常丰富，研究对象从学生视力、考试成绩到出租车车费、校园面积等，涉及的数学知识包括统计、概率、图形几何、函数、方程等.
4.基于文献研究的探究模式
文献法，又称文献分析法，是利用文献资料对课题进行研究的方法.[7]文献研究无论在数学、自然科学或是社会科学的研究领域都有着广泛的应用.在初中数学的主题探究性学习中，文献研究常被作为一种独立的探究方法，在以数学史、数学在其他学科中的应用为主题的探究活动中使用.
基于文献研究的探究模式适用于那些需要学生学习和了解大量与数学知识相关的其他资料的探究活动.与基于社会调查的探究模式相类似，这一探究模式下学生的主要探究时间和工作都放在了课堂以外.从相关案例的分析来看，采用文献研究探究模式的探究主题往往需要学生去了解较大量的背景知识和资料，这一特点决定了探究时间和资料获取方式都难以在课堂上完成.这种模式下的一般探究流程是：教师先在课堂上布置探究任务；学生在课下完成文献资料的收集和整理，并形成总结或报告；教师在布置探究任务的一段时间后，再选择课堂时间让学生对探究结果进行汇报和交流.
这种探究模式主要能够培养学生查找、收集、分析、汇总各种信息的能力，能让学生通过阅读大量文献了解更多的与数学有关的历史知识或其他学科的知识，对学生未来在各个领域的研究能力和知识面都有促进作用.
案例4 探究活动：勾股定理的历史
了解勾股定理在中国和国外的产生及发展变迁过程，收集有关故事.了解一下古时的中外数学家们都是如何证明勾股定理的.
案例5 探究活动：生活中的黄金分割
探究黄金分割在自然界和生活中有哪些实例，初步了解部分实例中采用黄金分割的理由，感受数学知识的美学价值和实用价值.
案例4和案例5是两个典型的案例.在这两个案例中，所涉及的数学史知识和数学与建筑、音乐、美术、生物等学科关联知识非常多，即便是教师也很难以全面了解.在我们研究的案例中，不乏有学生通过文献资料查找到一些连任课教师都不了解的内容.可以说，这种探究模式能够更多体现学生的自主性和创造性.
三、对数学主题探究性学习模式的一些深入探讨
通过前文的举例，我们发现不同的探究模式类型之间的根本区别在于学生所采用的不同研究方法，不同研究方法决定了学生在行为、探究过程上存在的差异，进而又导致了探究性学习活动的教学条件、课时安排、教学组织等方面出现更为明显的差异.
与之相对应的是，在案例4和案例5中，由于采用了同样的研究方法，尽管两个案例所涉及的数学知识没有太多关联，但在学生的探究行为、教学组织、课时安排、教学条件等方面却非常类似，就如前文所说：这种同质化与探究主题所涉及的数学知识无关.
回归到数学探究的本质：“学生以类似的数学研究和实践的模式来主动进行探索活动”这一观点上，我们认为：因为数学研究本身存在多种方式方法，也就对应产生了数学探究性学习的不同模式类型.前文所述的四种基本类型实际上是适合于初中学生掌握的四种数学研究方法在主题探究性学习中的反映.
在我们所研究的案例中，每一个案例的主题都明确地限制在一个较小的范围内，涉及的数学知识也不复杂，在教学实践中基本都能在1～2个课时内完成.这样的探究主题其实是一种“小型”主题，可以采用前文所述的某一种数学探究性学习模式来完成.而在实际数学研究中，数学家经常所用到的研究方法不止一种.与之对应的，在教学活动中也存在所涉及的背景、数学知识十分复杂的“大型”探究主题.这就要综合两种以上的基本类型，可能需要先研究文献，再进行社会调查，最后通过推理演绎得出结论.
由于数学学科的分支领域和研究方法众多，如果离开“初中”这个学段，还有其他的数学探究性学习基本类型存在.例如：在高中阶段，当学生学习算法的相关知识后，计算数学中的研究方法就可以简化后迁移进入课堂，可以形成一种新的探究模式类型.这种基于计算数学研究方法的探究性学习模式类型将在学生的探究行为、教学条件、教学组织方式等方面明显区别于其他类型.