立体几何解题利器——法向量，本文主要内容关键词为：立体几何论文,向量论文,利器论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《数学考试大纲（新课程版）》对“平面的法向量”的要求是“理解”，课本也只是介绍了其定义，而没有介绍其应用.其实，法向量可以用来解决几何里许多棘手的难题：点到面的距离、二面角的平面角等.下面举例来说明其应用.
一、利用法向量求点到面的距离
定理1 如图1，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，则点B到平面α的距离为
证明：过点B作平面α的垂线BC，垂足为C，则∠BAC就是斜线AB与平面α所成的角，显然∠BAC=（π/2）-∠ABC，而向量
例1 已知正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]的棱长为α.
（Ⅰ）求A[，1]到平面ACD[，1]的距离；
（Ⅱ）求AA[，1]与平面ACD[，1]所成的角.
解：（Ⅰ）如图2，以点D为坐标原点建立直角坐标系O-xyz.则A（α，0，0），C （0，α，0），D（0，0，0），D[，1]（0，0，α），A[，1]（α，0，α）（a＞0）.
（Ⅱ）设A[，1]在平面ACD[，1]的射影为E，由（Ⅰ）得｜A[，1]AE｜=d=
，可知AA[，1]与平面ACD[，1]所成角为∠A[，1]AE，在Rt△A[，1]EA中，sin∠A[，1]AE=
∴AA[，1]与平面ACD[，1]所成角为arcsin.
例2 已知正四棱柱ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]，AB=1，AA[，1]=2，点E为CC[，1]中点，求点D[，1]到面BDE的距离.
解：如图3，建立直角坐标O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D[，1]（0，0，2）.
二、利用法向量求二面角的平面角
定理2 如图4，设n[，1]、n[，2]分别是二面角α-l-β中平面α、β的法向量，则n[，1]、n[，2]所成的角就是所求二面角的平面角或其补角的大小.
例3 △ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的大小.
解：如图5，过A作AO垂直于CB延长线，垂足为O，连结OD，由题可知Rt△AOB≌Rt△DOB，∠AOD为平面ABC与平面DBC的二面角的平面角，建立直角坐标系O-xyz，设AB=BC=BD=1，则
由题意，可知＜n，
＞与二面角A-BD-C的平面角互补.
∴二面角A-BD-C的大小为：π-arccos
注意：由于法向量的多样性，所求得二面角两个面法向量的夹角，可能等于二面角平面角，也可能等于其补角，这时可通过题目估计它是锐角还是钝角来确定.画图亦可知：两个面的法向量方向若沿同一旋转方向，则所求得法向量夹角与所求平面角相等，若方向是相向的.则为互补.