在教材中渗透数学实验的思考与实践，本文主要内容关键词为：教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
谈起实验，我们自然会与物理、化学、生物等学科产生联系.其实，数学的发展与学习也离不开实验.数学家欧拉曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要实验”.著名数学家、数学教育家G.波利亚也曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，它是创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”，指出“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见摸得着”.
在发达国家，数学实验已经成为常见的教学形式，美国的中学里有专门的数学实验室，英国的中学教材中有许多数学实验材料.美国2000年《学校数学的原则和标准》中要求，教师在课堂教学中有责任构建良好的智力环境，促进学生进行认真的数学思考.教师应该选择和使用合适的课程材料、恰当的工具、先进的教学技术，以便支持学生的数学学习，组织适当的实验，让学生在实验与操作的过程中理解数学.
进入21世纪，“数学实验”在我国也引起了广大教师的积极关注，并在一些学校得以探索性的实施.《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（以下简称《课标（修改稿）》）在基本理念、课程目标及内容的设定、教材内容的选取及呈现、教学资源的建设等方面都提出了数学实验的相关要求，为我们开展数学实验教学提供了新的发展空间：在基本理念中提出了“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式”“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，提出了“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去”；在总体目标中提出了在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，增加了基本思想和基本活动经验，在强调发展学生分析问题和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的课程目标，突出了培养学生创新精神和实践能力的改革方向.
《课标（修改稿）》提出“教材应选用合适的学习素材，介绍知识的背景；设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用.”另外，《课标（修改稿）》在课程资源开发与利用建议中还明确地提到了开展数学实验教学的相关要求：教师应当努力开发制作简便实用的教具和学具，有条件的学校可以建立“数学实验室”供学生使用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力，发展其个性品质与创新精神，使不同的学生在数学上得到不同的发展.
数学教材为学生的数学学习活动提供的学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.因此，如何选取适合的数学内容呈现数学实验，理应成为教材编写者认真考量的一个重要方面.
一、关于数学实验的基本认识
数学实验是让学生借助于一定的物质仪器或技术手段，并在数学思想和数学理论的指导下，借助于对实验素材进行数学化的操作来学（理解）数学、用（解释）数学或做（建构）数学的一类数学学习活动.数学实验一般具有可操作性和实践性，注重实测与直观，让数学在实验的过程中对所研究的内容“可视化”，让学生从中获得对数、形的理解，并逐步对其适度抽象，进行更高层次上的“再实验”，进而体会数学的研究方法和构成体系，使学生在活动中认识并改造自己的数学知识结构.因此，数学实验可以使学生逐步学会数学思维的物质实践方法，掌握数学研究的规律，培养理性思考问题的习惯，能够解决学科和实际生活的问题，并检验和论证问题的结果.数学实验大致可以分成以下三种类型：
1.实物验证型——建立在实物直观上的数学理解
有些数学实验，可以帮助学生通过实验检测、验证已解结论或猜想的正确性，从而在实物直观的基础上获得数学的理解.
例如“三角形的三个内角和等于180°”，可以设计以下操作实验让学生获得初步结论：方法1：画一个三角形，用量角器量出它的三个内角，求其和；方法2：将一个三角形的三个角剪下来，拼成一个平角.
在数学教学中所运用的测量、手工制作、实物或教具演示等形式属于实物验证型的数学实验，其主要目的在于帮助学生获得、理解和把握数学概念、定理，其形式可以是教师示范式，也可以是学生动手操作式.
2.操作思考型——建立在实物模拟下的数学思考
从认识的过程来说，直观是在事物的作用下，学生在头脑中形成感性知识的过程.尽管直观只能形成感性知识，但它是思维的起点，是感性知识转化为理性认识的开端.这里的事物，不一定是事物本身，也可以是模型、图表、幻灯、电影等，借助直观（不一定是让学生用手摸，用眼看，也可以是通过对具体事例的描述、演示，让学生在头脑中恢复和建立起事物的形象）来帮助学生进行思维，从中发现数学事实，进而揭示数学规律或问题解决的本质.
例如，“三角形的三个内角和等于180°”，可以设计以下的实验帮助学生进行思考和理解.
用铅笔在纸上所画的一个△ABC上做实验：
首先将笔尖指向A点（铅笔与AC边平行）；
第1次旋转的度数为∠A后，笔尖指向点A（铅笔与AB边平行）；
第2次旋转的度数为∠B后，笔尖指向点C（铅笔与BC边平行）；
第3次旋转的度数为∠C后，笔尖指向点C（铅笔与AC边平行）.
经过三次旋转后，笔尖正好调转一个方向，这说明∠A+∠B+∠C=180°.
这类设计本质上为学生提供所要学的数学知识与已有的经验建立内部联结的实践机会，其价值体现在它既能使经验材料经过数学抽象得以升华和结晶，又可以让数学概念事实有了现实经验背景，利于理解和记忆.
3.探索发现型——建立在信息技术平台上的数学探究
计算机的使用正在改变数学的性质，数学正在成为一门“实验科学”.借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，可以引导学生开展自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的学习活动.在技术中介的参与下，学生可以进行“发现”或“再发现”.
现今适宜用作中学数学实验教学软件平台的专门软件很多，主要有以下几种：①“几何画板”，它几乎涵盖了整个中学数学课程的全部内容，操作也较为简单；②“Z+Z智能教育平台”，其融合了“几何画板”的优势，软件所提供的各种功能可以像在超级市场购物一样进行随意组合；③由美国Wolfram研究所开发的“Mathematica”，虽然初衷是为大学和科研机构服务，但它良好的表现使得它在中学数学实验中的应用前景也比较乐观.
数学实验以动手实践为基点，数学思维为主线，问题解决为目标.因此，在选取某个数学内容开展数学实验活动时，设计者需要考虑该数学内容是否具备以下三个条件：
①可以选取适当的物质工具（实物模型、仪器或技术等）数学化地描述该数学内容或过程；
②实验的物质工具能被学生有目的地使用，实验的方法与过程具有可操作性；
③经历数学实验活动的过程，有利于学生更好地理解和掌握数学，发展数学思维，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.
二、数学实验的课程价值
数学实验是通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以学生人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动.因此，“数学实验”形象直观地再现数学知识的发生过程，学生通过实验获得的是真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论，充分体现了新的数学课程所追求的理念和目标.
1.数学实验可以激发学生的兴趣，从而引导学生主动参与学习过程
爱因斯坦在1935年的一次演讲中这样说：“做同样的工作，它的出发点，可以是恐怖和强制，可以是追求威信和荣誉的好胜心，也可以是对于对象的诚挚的兴趣和追求真理的愿望，因此也可以是每个健康儿童都具有的好奇心.”借助数学实验，学生可以通过观察、操作、实验等实践活动来进行数学学习，在这样的学习过程中，学生不是被动接受课本上的或教师叙述的现成结论，而是从自己的“数学现实”出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展为自己的数学认知结构.因此，在数学实验中，学生由于亲自动手操作，从一个旁观者和听众变成了一个主动参与者，所以更容易对实验结果、产生结果的原因、新的知识、新的学科以及新的方法等产生强烈的好奇心.
2.数学实验可以使抽象数学形象化，让学生容易理解数学的本质意义
数学概念是抽象的，但许多抽象概念是来源于现实的生活实践，是从现实中概括出来的.因此在概念学中，教师应注意从现实中寻找实物模型或通过演示实验帮助学生对概念形成感性认识.
例如，关于函数概念的学习，可以借助“函数发生器”的实验活动来帮助学生建立函数的概念：输入一个x，输出一个唯一的y.利用“函数发生器”，既可以帮助学生直观地了解函数概念的本质，又可以避免抽象语言带来的理解上的困难.
直观和具体是理解数学概念的重要方法和手段，教学中教师应努力通过生动形象的数学实验解释抽象的数学理论，让学生真正理解数学概念的本质意义，增强概括抽象能力.
3.数学实验可以帮助学生学会思考，寻求到解决问题的途径与方法
在数学课堂教学中，常常会碰到学生解题时因为找不到突破口而困惑，此时我们可以引导学生通过数学实验来发现规律，从而获得解决问题的途径和方法.
例如：客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米.如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒.求两车的速度.
本题中由于两车同时在运动，且有相向与同向两种运动方式，学生的思维容易混乱.教学时可以就地取材，让学生拿出计算器和文具盒，模拟两车的行驶方向进行实验，借助模拟实验，学生就容易发现：相向行驶时，客车行驶的路程与货车行驶的路程之和等于两车车身长之和；同向行驶时，客车行驶的路程减去货车行驶的路程等于两车车身长之和.这时问题就迎刃而解了.
4.数学实验可以让学生手脑结合，在体验的过程中积累活动经验
《课标（修改稿）》将传统的“双基”发展成“四基”，首次将基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想一起作为学生数学素养的重要标志之一.
数学活动经验是指在数学目标的指引下，对具体的数学对象进行操作和探究时所获得的一种认识.从静态看，数学活动经验是知识，是对数学活动产生的认识；从动态看，数学活动经验是过程、是经历，主体性、动态性、活动性是其主要特征.获得的途径主要包括：在“做数学”的过程中获得；在“数学化”的过程中获得；在“数学探究”中获得.因此，“数学实验”也是学生积累数学活动经验的一种重要途径.
5.数学实验可以让学生享受成功，培养学生的积极的学习情感
有调查显示，学生对数学的评价是抽象、枯燥、伤心、离实际远等.数学实验的有效开展，使学生认知方式有所改变，认知途径得到拓展，许多科学结论不再以完成、完满的形式出现在学生面前，他们需要参与实验活动，亲身体验数学知识发生、发展的过程，每个学生都可以自由地、大胆地猜想和实验验证，享受数学发现的喜悦，感知数学思想形成的生动历程，实现了从“学数学”到“做数学”再到“玩数学”，从被动学习到主动学习再到创造性学习的飞跃.随之而来的是学习态度的转变和由静态的、绝对的机械反映论的数学观向动态的、（拟）经验的、模式论的数学观的转变.因此，数学实验教学对发展学生的积极数学情感是大有裨益的.
三、数学实验的教材设计
初中数学中，有许多内容与“数学实验”有关，特别是在初中数学中改造了传统的几何，引进了几何变换、直观几何等内容，在传统的代数中强调了“过程”，使得可供学生参与实验活动的材料非常丰富.
苏科版教材在设计之初，就将数学实验引进教材.例如在每一章都设计了章头活动，依据学生已经具备的数学知识、活动经验，结合本章将要学习的内容，设计了一个数学活动；在知识发生阶段，设置了“做一做”“操作”“实践与思考”等栏目，设计了适合学生观察、操作、实验、归纳等形式的活动材料，让学生在“做”数学的过程中“发现”数学规律、数学结论，获得数学思想和方法，学会学习、学会思考；专门设置了“数学实验室”，并且每章一个“数学活动”、每册一个“课题学习”……经过8年的实践与完善，逐步形成了苏科版教材“做数学”的特色，为教师在教学过程中开展数学实验提供了帮助.
1.设计教材导游图，让学生感受到动手实践也是数学学习的一种重要方式
苏科版教材第一章设计了“生活、数学”“活动、思考”两节作为全套教材的导游图，用以让学生初略感受本套教材将要学习的基本内容——数与代数、空间与图形、概率统计、综合与实践，感受本套教材的主要特色之一——教材以“生活、数学”和“活动、思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系、引导学生在活动中思考、探索，促进学生学习方式的转变.
教材在第二节“活动、思考”中，设计了4个实践活动：①通过剪纸活动感受图形性质；②通过搭火柴棒活动发现图形与数字规律；③通过月历发现规律和解决问题；④通过调查、数据统计作出判断.在观察、操作、想象、推理、交流等数学活动中，学生经历动手实践、自主探索、合作交流，增进了对数学的理解，感受到动手操作、调查研究等也是数学学习的一种重要并且有效的方法与途径.同时，根据这些实验内容的教学活动，可以引导教师关注创设能引发学生兴趣和思考的操作性活动作为教学情境，以更好地实现数学课程目标.
2.设计章头活动，在实验活动中激发学生兴趣以及对后续学习的愿望
各章的“章头”中，教材编写者结合本章内容设计一些的简单问题，引导学生借助生活经验或已有知识，通过“做”（操作、实验等）来探索解决问题的途径和方法，从而激发学生学习本章的兴趣.
例如，在八年级第十章《图形的相似》中，教材编写者设计了如下两个操作活动来引入本章内容：首先，借助于方格纸，尝试学生熟悉的画图游戏——将可爱的熊猫放大，从生活中感受“对应”与“放大”的含义；其次，通过对抽象的数学图形（多边形）的放大，并通过问题“这两个多边形的形状相同吗？”进一步体会数学图形放大所发生的本质变化；然后再通过度量这两个多边形的对应边和角具体感受图形放大后的“变”与“不变”.由此引入本章的研究内容与研究方法，在动手操作中激发学生后续学习的愿望与兴趣.
3.设计“做”数学栏目，引导学生经历实验探究揭示“事例”的数学本质
在知识发生阶段，教材较多地采用“学生‘做’——在‘做’中感受和体验——主动获取数学知识”的方式呈现，并在学生通过“做”获得感受的基础上，揭示“事例”的数学本质，然后明晰有关知识.
例如，在“探索三角形全等的条件”中，教材设计了“做一做”栏目：首先，用一张长方形纸剪一个直角三角形（剪下一个角）.怎样能使全班学生剪下的直角三角形都全等？其次，观察图中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？然后，画出一个已知两边与夹角的具体数值的三角形，剪下后与同学所画的三角形进行比较，能重合吗？由此得到三角形全等的判定方法之一.
在各章节的教学内容，除了“做一做”，教材还设置了“操作”“实践与思考”等多种形式的栏目，设计适合学生观察、操作、实验、归纳等形式的活动材料，让学生在“做”数学的过程中“发现”数学规律、数学结论，获得数学思想和方法，学会学习、学会思考.
根据初中各年段学生的知识基础和认知水平，三个年级的栏目也有所变化：七年级设置了“做一做”“试一试”“议一议”“想一想”“练一练”等栏目；八年级设置了“实验”“操作”“交流”“讨论”“尝试”“探索”“猜想”“思考”等栏目；九年级设置了“实践与探索”“操作与思考”“思考与探索”“观察与思考”“尝试与交流”“猜想与证明”“拓展与延伸”等栏目.这样，便于教师根据学生的年龄特征和思维水平以及教学内容的不断深入，恰当地组织、开展教学活动.
另外，教材还专门设置了“数学实验室”，引导学生通过数学实验感受数学、探索知识和结论、应用所学知识解决问题.
例如，“数据在我们周围”一章中是通过设计了一个关于“环保小卫士”的选举活动的数学实验室，在实验中体会并引入频数与频率的概念；又如，学生在学习完反比例函数内容后，教材设计了“用计算机探索函数y=
图象随k值的变化情况”，引导学有余力的学生借助于现代信息技术，继续对反比例函数的性质开展探究活动，加深对反比例函数的图象与性质的理解和把握.
根据学生的知识与经验基础以及心理与认知的特点，“数学实验室”在不同的年级设定了相应的层次要求：七年级——感受（知识、方法、价值）和体验，会描述实验过程中的数学现象，能寻找解决问题的方法；八年级——感受和体验、验证和发现一些简单的规律或结论，会表述实验过程和结果；九年级——探索实验现象的联系和规律，在实验过程中能反思和质疑，发展推理能力.
4.设计“课题学习”与“数学活动”，将数学实验活动由课内延伸到课外
本套教材在每一章设置了“数学活动”，在每一册后设计了“课题学习”，为学生提供更多的“做”数学的机会，将数学实验由课内引申至课外.
例如，教材在“位置变化与数量变化”一章的数学活动中，设计了如下的一个实践活动：
确定藏宝地
小明在一本课外读物中看到这样一段文字和一幅图：
图4是寻宝者得到的一幅藏宝地图，荒凉的海岛上没有藏匿宝藏的任何标志，只有A、B两块天然巨石.
寻宝者从其他文件资料上查到，岛上A、B两块巨石的直角坐标分别A（2，1）和B（8，2），藏宝地的坐标是（6，6）.
你能在地图中画出藏宝地吗？
这是一个充满趣味和探索的传奇活动，是一个逆向思维与操作的数学活动，要求学生先根据已知点的直角坐标寻找失落的平面直角坐标系，然后再根据给定的坐标在这个坐标系中确定点的位置.确定藏宝地的方法可能并不唯一，以下方法可供参考：
①在地图上连接A、B两点；②在一张透明的纸上面任意画一个平面直角坐标系x＇Oy＇，并在该坐标系中描出点A＇（2，1）与点B＇（8，2）；③将上述透明纸覆盖在地图上面，使点A＇与A重合，并使线段A＇B＇与线段AB的方向重合；④计算线段AB的长是线段A＇B＇长的多少倍，并使坐标系的单位长度也增大同样的倍数，画出新坐标系xOy；⑤在新坐标系xOy中描出点C（6，6）的位置.则此点即为宝藏藏匿之地.
不同年级的“数学活动”力求体现一定的层次性：七年级侧重于“游戏”“调查”“制作”；八年级侧重于“调查”“制作”“设计”；九年级侧重于“制作”“设计”“课题研究（研究报告）”.
“课题学习”和“数学活动”的设计突出“动”和“用”两个字，引导学生在实践活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决实际问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验.
数学实验是现代数学发展的必然产物，也是学生学习、理解和掌握数学、发展创新能力的重要途径.与物理、化学、生物等实验性学科不同，我们不能也不必依赖于实验方法来学习数学，但完全可以用实验方法去探索真理、发现真理.以创新精神为核心的素质教育要求我们必须进一步加强数学实验的研究与实践，努力创设适合学生动手“做”数学的良好的学习材料与环境，充分发挥数学实验在数学学习与智慧发展等方面的积极作用.