基于实际波动率的组合选择实证研究，本文主要内容关键词为：组合论文,实证研究论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
1952年，马克维茨开创性地提出了现代资产组合理论(MPT)，把组合选择的问题归结成了风险和收益的权衡问题，即：在承受一定风险的情况下获取最大化的利益，或在获得一定收益的情况下，承担最低的风险水平。进一步地，组合选择的问题归结到了3个因素，即：期望收益、方差及相关系数（协方差）。当然，MPT理论是基于一些假定之上的，譬如，它假定在组合期内，上述3个因素均不发生变化，并且一般是长线投资。而这类假定却与现实发生了较大的背离，特别是假定股票收益服从高斯分布，以及关于波动率在一段时期保持不变的假定。实践的检验加上理论的发展，成就了各种不同的波动率度量方法。Engle(1982)在研究英国的通货膨胀率时开创性地提出了ARCH模型，首次从理论上刻画了波动率的时变性和丛聚性。Anderson等(1998)首次使用实际波动率(Realized Volatility)作为真实波动率的代表，来衡量GARCH模型波动率度量的准确性。波动率理论的发展引致了对上述3个因素度量方法的不同，从而有了组合选择方法的传统与现代之分。传统的方法就是马克维茨的方法，现代的方法指的是在收益率、波动率以及相关系数度量方法上的一些改进。股票收益的波动率对组合选择、风险管理以及期权定价都相当重要。精确地度量和预测股票收益的波动率具有重要的意义和应用价值。本文就是在实际波动率理论的基础上，致力于比较组合选择的传统方法与现代方法的优劣，以突出实际波动率的应用价值。
一、实证研究设计
期望收益即是对下一期收益的预测，传统的方法是用历史收益的均值作为下一期收益的预测值。还有一种方法即通过GARCH模型。关于波动率的计算主要列出4种方法，即：历史收益的标准差，单变量GARCH预测，多元GARCH预测以及在基于对数实际波动率的ARFIMA预测。相关系数的计算主要有3种，即历史收益的相关系数，多元GARCH的单步预测以及实际相关系数单步预测。各种方法之间再进行搭配，共有7种方法。为了充分展示实际波动率的特点，本节先将组合持有期定为一天，对上述方法进行比较。我们根据波动率的预测方法来对纳入比较的方法进行命名，波动率预测方法相同，而期望收益预测方法不同的则缀以1、2区别。表1概括了各类模型关于3个因素计算的各种方法。
分两类来比较，第一类都采用历史收益的均值作为收益率的预测值，第二类采用GARCH单步预测的收益率值作为预测值。
表1 各类模型关于三个因素的计算方法
名称 代号期望收益 波动率 相关系数
传统方法1
历史收益均值历史收益的标准差
历史收益的相关系数
GARCH方法1 2
历史收益均值GARCH单步预测 历史收益的相关系数
GARCH方法2 3 单步预测 CARCH单步预测 历史收益的相关系数
多元GARCH法1 4
历史收益均值MGARCH单步预测 MGARCH单步预测
多元GARCH法2 5
多元单步预测MGARCH单步预测 MGARCH单步预测
RV方法16
历史收益均值
ARFIMA-2单步预测
实际相关系数单步预测
RV方法27 单步预测 ARFIMA-2单步预测
实际相关系数单步预测
表2 7种计算方法的分类
类别代号期望收益波动率相关系数
1
历史收益均值历史收益的标准差 历史收益的相关系数
2
历史收益均值GARCH单步预测历史收益的相关系数
Ⅰ 4
历史收益均值MGARCH单步预测
MGARCH单步预测
6
历史收益均值ARFIMA-2单步预测 实际相关系数单步预测
3
单步预测GARCH单步预测 历史收益的相关系数
Ⅱ 5
多元单步预测MGARCH单步预测MGARCH单步预测
7
单步预测ARFIMA-2单步预测 实际相关系数单步预测
把上述方法的步骤总结一下：
1)确定各种方法在t+1日的3个因素的数据；
2)引入无风险资产，根据MPT理论构造最优组合，计算各组合的资产权重；
3)计算和组合在t+1日的实际收益及实际波动率；
4)计算各组合的酬劳波动性比率，越大越代。
样本的选取
如果组合持有期以天为单位，则对数据的要求比较严格，要求时间序列尽量不缺失。假设有时间序列t，t+1，t+2，t+3等，假定t+1与t+2缺失，那么在新的时间序列里，t+3就成了t+1。那么基于t日的单步预测值与真实值相比就会有较大的误差，因为预测值是真实的t+1日的，而新的时间序列的t+1的真实值实际上是t+3日的。
拟从30只样本中抽取5只，抽取原则是让这些样本在尽量多的共同的交易日中均有交易。样本的时间跨度：将2002年1月2日至2003年12月24日的数据作为初始历史数据，即将2003年12月24日作为t日，这样，最初始的历史数据有461个交易日数据。预测期（t+1日开始）从2003年12月25日开始，至2004年3月23日止，共55个交易日。采取滚动预测收益和方差及协方差的方法，即利用直到第t日的历史数据来预测第t+1目的收益、方差及协方差，利用直到第t+1日的历史数据来预测第t+2目的收益、方差及协方差，依此类推。以下是所抽取的5个样本的基本情况。
表3 所选的5个样本
名称东软股份隧道股份海欣股份陆家嘴星湖科技
代码600718 600820 600851 600663600866
表4和表5分别为5只样本2种收益率计算方法的滚动均值的描述性统计表。
表4 历史收益均值的描述性统计
mean1 mean2mean3
mean4 mean5
min-0.0787 -0.1637
-0.1210 -0.0026 -0.0552
median -0.0410 -0.1054
-0.0938 0.0020 -0.0128
max-0.0228 -0.0807
-0.0817 0.0076
0.0151
mean
-0.0452 -0.1150
-0.0987 0.0027 -0.0181
std 0.0158 0.02410.0111 0.0026
0.0214
注：mean1表示第1个样本的历史日收益的滚动均值，其他类同。
由表4可以看出，前3个样本的历史日收益滚动均值为负，后2个样本中出现了正的收益值。
表5 GARCH单步预测收益值的描述性统计（单变量）
mean1mean2 mean3 mean4 mean5
min-0.1419 -0.1793 -0.1418 -0.0210 -0.1444
median -0.1077 -0.1360 -0.1273 -0.0152 -0.1108
maX-0.0911 -0.1172 -0.1137 -0.0103 -0.0861
std0.0135 0.0172
0.0073
0.0030 0.0161
注：这里是单变量GARCH的单步预测值
可以看出，5个样本中，GARCH单步预测的日收益值均为负。作者觉得GARCH单步预测的收益率值可能误差较大，但正如前文提到的，本文不涉及到收益率预测的比较，所以只对采用相同收益率值的方法进行比较。
但是，由于收益率预测的不理想，导致最终组合选择的不理想的可能性有多大？把收益的预测值用一个变量表示，不赋予具体值，那么就没有办法优化，所以采用一个敏感性测试的方法，如果收益率预测值上下浮动百分几，观察最后组合选择的结果会有怎样的变化。
二、实证结果及分析
按收益率计算方法分类，下面展示各种方法在实现组合选择后的真实组合收益的情况。共考虑两种情形：其一，各种方法在实际组合收益上出现最大的次数；其二，在整个组合期上的累计收益。
表6 真实组合收益率出现最大的次数
方法代号1 2 4 6
不排除全部相同的32293735
排除全部相同的 8 5 1311
注：1.全部相同指四种方法的收益率完全相同，后同；
以历史收益均值作为预测值：
由于收益率预测方面的原因，4种方法在55个交易上有较多个完全相同的权重配置，所以就出现了相同的组合收益率，对于这种情况，我们也把它纳入了最大次数。由表6可以看出，在55个检验期上，日收益率出现最大次数最多的是多元GARCH方法，达到了37次（包括相同的），其次是以实际波动率为基出的ARFIMA方法，它达到了35次，最少的是第2种方法，即GARCH法。下面来看在55个交易日上的累计收益大小。
表7 四种方法在组合期的累计收益率
方法代号 1
2
4
6
累计收益 19.54 18.69 25.82 26.10
表8 真实组合收益出现最大的次数
方法代号3 5 7
不排除全部相同的344133
排除全部相同的 142113
表9 四种方法在组合期的累计收益率
方法代号
3
5 7
累计收益 17.81 32.75
28.42
可以看出，累计收益最大的是以实际波动率为基础的ARFIMA方法，它达到了26.1，其次是多元GARCH方法，它达到了25.82，最小的是二种方法，即GARCH法。
以GARCH单步预测的序列值作为收益预测值：
从表8可以看出，在55个交易日上出现最大次数最多的是多元GARCH方法，它的收益预测值是基于多元GARCH的预测值，最大次数达到了41次。其他两种方法相差不多，它们采用的是单变量 GARCH的收益预测值。
从累计收益来看，还是多元GARCH占优，累计收益达到了32.75。结合表8和表9，总体来看，多元GARH法显著优于另外两种方法的原因可能是它综合考虑了各变量之间的内在联系。
上述两类情形总结如下：
表10 组合持有期为天的各种方法比较结果
注：用c4、c5分别表示第4、5，max(c4)、max(c5)分别表示第4列和第5列的最大值，对于出现最大值的行，用√标记。最大次数表示出现最大值的次数，第四列表示排除相同值后的最大次数。后同。
需要指出的是，以上并没有对各种方法进行实际组合的酬劳波动性比较。本人认为，酬劳波动性比率刻画的是单位风险的收益，它的最大值一般出现在过无风险收益点与有效边界相切的切线上，切点处即为它的最大值。前面进行比较的2类7种方法均是按照酬劳波动率最大这一原则来进行的。所以说，在确定组合权重前，各种方法的出发点是一致的，都是希望获得单位风险上的最大报酬。只是由于对组合协方差矩阵预测值的差异，才会导致各种方法在组合权重上的不同，才会最终导致各种方法的实际组合收益率的不同。所以对各种方法的比较，组合实际收益的累计的大小就可以说明孰优孰劣，而无须再比较实际组合的酬劳波动性比率。
我们注意到通过连续地调整投资组合，在55天的组合持有期上，基于实际波动率的组合选择法的累计收益分别为26.1、28.42（对应两类收益预测方法）。在55个交易日能取得这样的收益，回报率可谓高也。当然，这么理想的收益可能恰逢股市处于一个上升周期，所以我们有必要把这个回报率与同期市场收益率来做一比较。如果这一收益高于同期市场收益率，那就可以说明此种方法是有效的，基于实际波动率的组合选择法是具有应用价值的。我们以上证综指的收益率代表市场收益率，计算这55个交易日的累计收益，其值为14.02。可知市场确实是处于一个上升周期，但基于实际波动率的组合选择法在组合持有期的累计收益远大于市场收益，分别取得了1.08、14.4的超额收益，由此进一步证明了实际波动率的应用价值。
以上是以日序列作为研究样本，并且以日作为组合持有期来检验各种方法在组合选择上的优劣，虽然作者在选择样本时选取了共有交易日最多的5只样本，但还是存在一些非连续的情形。为了改善这种局面，应同时考查在一个更长的组合持有期下，各种方法的组合选择结果。下面以周序列作为研究样本，以周作为组合持有期来考查上述各种方法的优劣。以第92周作为t周，预测期从第93周开始到第113周（连续计数的周，中间节假日的不计入周数，实际上是第96周到第116周），共21周，预测方法同前。像前面一样，分两类情况来考查各种方法的优劣。
以历史收益均值作为预测值：
可以看出，以实际波动率为基础的ARFIMA模型出现最大的次数最多，达到了15次，多元 GARCH方法的最大次数出现了14次。
以实际波动率为基础的ARFIMA模型的累计收益最大，达到了25.98，其次是多元GARCH模型，达到了24.47，最小的是单变量GARCH模型。
综合表11和表12，可以看出，ARFIMA模型在这4种方法中效果最优，但它的优势相对多元GARCH模型来说不是很明显。
以GARH单步预测的序列值作为收益预测值：
表11 组合持有期上收益率出现最大的次数
方法代号
1 2
4
6
不排除全部相同的 13 12 14 15
排除全部相同的 6 5
7
8
注：组合持有期共有21周，采用的是如前的滚动预测方法
表12 整个组合持有期上的累计收益率
方法代号 1 2 4
6
累计收益 22.15 21.36 24.47
25.98
表13 组合持有期上收益率出现最大的次数
方法代号 35
7
不排除全部相同的1312 15
排除全部相同的 7 6 9
表14 整个组合持有期上的累计收益率
方法代号 3 57
累计收益26.7816.4328.46
从表13和表14可以看出，ARFIMA模型出现最大的次数最多，达到了15次，累计收益率也最大，达到了28.46，相对于另两种方法有较为明显的优势。多元GARCH法表现相对不佳。
以上两类情形总结如下：
表15 组合持有期为周的各种方法比较结果
和前面一样，我们注意到通过连续地调整投资组合，在21周的组合持有期上，基于实际波动率的组合选择法的累计收益分别为25.98、28.46（对应两类收益预测方法）。这是一个相当不错的回报率。当然，这么理想的收益可能是源于股市的上升周期，所以我们有必要把这个回报率与同期市场收益率来做一比较。如果这一收益率高于同期市场收益率，那么可以说明此种方法是有效的，基于实际波率的组合选择法是具有应用价值的。我们以上证综指的收益率代表市场收益率，计算这21周的收益，它的值为25.57。可知市场确实是处于一个上升同期。但基于实际波动率的组合选择法在组合持有期的累计收益均大于市场收益，分别取得了0.41、2.89的超额收益，由此进一步证明了实际波动率的应用价值。
敏感性测试：
前面提到，对组合期收益率的预测值可能存在一些偏误，影响组合选择的最终结果。为了检验这种影响的程度，现进行一个敏感测试，即让收益预测值在原有基础上下浮动x%，再进行组合选择计算，看最终的结果与未变化前的结果是否有所差异以及差异的幅度。下文仍以周作为组合特有期，考虑x分别取-20，-10，10，20共4种情形。
总结以上4表，结果如表20。
表20 敏感性测试比较结果
从表20可以看出，就第1类而言，在x的4种取值的情况下，收益率最大次数最多的，ARFIMA法出现了2次；累计收益最大的，ARFIMA法也出现了2次，另两种情况下它居第二位。另外，多元 GARCH法也各出现了2次。就第Ⅱ类而言，在x的四种取值情况下，收益率最大次数最多的，ARFIMA法出现了3次，累计收益最大的，它出现了4次。多元GARCH在这种情况下的累计收益均匀为最小，且相差较大。
由此可见，在第Ⅰ类情形，组合选择结果对组合收益预测值上浮不敏感，对下浮则有一定的敏感性；在第Ⅱ类情形下，组合选择结果对组合收益预测值的浮动不敏感。
三、结论
综合两种组合持有期的研究以及敏感性测试，可以得出以下结论：
1.若以日作为组合持有期，以历史收益均值作为组合收益的预测值，这时基于实际波动率的ARFIMA方法在整个组合持有期上的累计收益最大；若以GARCH单步预测收益值作为预测值，则多元 GARCH法在整个组合持有期上的累计收益最大。
2.若以周作为组合持有期，则不论何种收益预测方法，基于实际波动率的ARFIMA方法在整个组合持有期上出现最大收益的次数最多，累计收益最大。
3.在大部分情况下，单变量GARCH法的效果均显得相对较差，多元GARCH法表现相对较好。
4.基于实际波动率的组合选择法在组合持有期上均取得了为正的超额收益，尤以组合持有期以天为单位的情况为好。
5.敏感性测试过一步加强了我们的结论，即：基于实际波动率的ARFIMA法在组合选择的各种方法中是最优的。
根据以上结论，实际波动率的表现虽然不能用完美来形容，但它的优势可以说是勿庸置疑，其应用价值可以说是一目了然。虽然如此，我们还是注意以了一个现象，即：计算方法的可用性。实际波动率法虽好，但它要利用日内分时数据，数据收集的成本可能较为昂贵。而多元GARCH法虽然计算效果不及实际波动率，但相差幅度也不大，已数据采集成本较低。所以在不便于收集高频数据时，退而求其次，采用多元GARCH法也不失为一个较好的选择。