动态图象在课堂教学中的运用及其教学价值，本文主要内容关键词为：图象论文,价值论文,动态论文,教学中论文,在课堂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
所谓动态图象，其实就是使用数学专业软件绘制的复杂数学图形，在图形绘制程序中设定某个参数（取值）是动态变化的，于是图形中的相应元素在各幅画面上的位置、形状、色彩就会产生相应的变化，播放出来就成了动画。由于每幅图形都是由数学软件绘制出来的，是真正意义下的数学图形，不同于一般的计算机美工动画，这种动画具有十足的数学风韵。如果画面中元素动静搭配得当，就能表现一个数学主题，可直接用于辅助讲解。动态图象动画既可作为独立课件，也可作为其他课件的核心成分。
动态图象有两个基本特点：图中的某些对象可以用鼠标拖动或用参数的变化来直接驱动；其他没有被拖动或直接驱动的对象会自动调整其位置，以保持图形原来设定的几何性质。
使用得当的动态图象，在培养数学学习者的“数学动态想象能力”方面具有极为重要的教育价值。本文先以实例说明其教学价值，再对价值成因做些相应的分析。文中实例均来自动态几何软件——几何画板。
一、动态图象动画可用于数学教学的种种场合
1.概念型动态图象，动态图象中理解概念
解释数学概念的内涵和外延之后，应尽可能地给出它的不同“变式”，从不同的视角认识这个概念。例如，情侣曲线——椭圆与双曲线的概念教学，可以制作这样的一个动画来演示。实例1如图1所示。
图1
比较点A位置（圆内圆外）及2a与2c关系的踪迹动态图象。A点在圆内（外）时，P点轨迹为椭圆（双曲线），且改变2a与2c的长度，点P的轨迹会随之动态改变，让学生体会圆、椭圆、双曲线三者之间的关系；同时对定义中，2a与2c的限制又有了进一步的理解。
2.绘制函数图象，动态地研究函数性质
在指数函数性质的教学中，动态观察图象，形成对指数函数性质的感性认识。让学生改变a值，通过a的连续变化来演示函数图象的变化规律，在此过程中，学生可以清楚地看到底数a如何影响并决定着函数
的性质。由于函数的图象随着a＞1和a＜1自然“聚集”，学生可以清楚看到a=1这条分界线，而函数的定义域、值域、单调性、特殊点(0，1)等更是一目了然。从而让学生更直观、更清楚地“看到”函数的性质。这样呈现内容，对学生发现和认识“为什么以a=1为分界点”“为什么不讨论a=0和a＜0的情形”等，都营造了很好的环境，使教学的开放性、探索式学习等成为可能。实例2如图2所示。
图2
3.语言符号动态图象，动态地理解语言符号
数学中的对象是动态的，而描述它们的文字和符号却都是静态的。数学中解决这个矛盾的方法就是“断面化手法”：把运动和变化的过程用“任意取定”来实现“定格”成为静止的“瞬间”画面，于其中用静态描写手段予以刻画；然后再使静态断面“活化复原”到过程之中去，从而完成了“使用静态语言符号描绘动态对象”的使命。
例如，正弦线作正弦函数的图象，传统的教学方式既费时又不能让学生有一个直观地领悟和感受。原因就在于：传统的黑板展现的三角函数线往往是一维的，并不能准确地表达出三角函数的动态变化，教师的讲解也无法让学生建立这样的一个动态模型。
教学中借助几何画板生成三角函数线随着角的大小变化而变化的动态图象，让学生亲身感受三角函数线随着角终边的旋转而变化的过程。通过感官上的刺激，学生就可以很轻松地建立极坐标系下的二维变化模型。这样不仅能够准确地得到三角函数的简单性质，同时也加深了对三角函数线的理解。
在动画实例3中，每一帧就是变化过程的一个瞬间断面，顺次播放动画就是“还原活化”。如图3所示。
图3
4.习题例题动态图象，动态地处理习题例题
以往研究复合函数的基本性质，特别是复合函数单调性的判断，总是直接给出结论“同增异减”。学生只知其然，不知其所以然，往往疑惑不解。放置四个图形：其左下方为y=f(x)图象，左上方为复合函数y=f[g(x)]的图象。
画出(x，t)，(t，y)，(x，y)的对应点，认清这三组变量的对应关系。以y=cos(sin x)为例，设t=sinx，y=cost，则如图4所示，学生可以研究g(x)=cos(sin x)的定义域、值域，单调性、奇偶性，最大值、最小值等。
如果改变t=g(x)，y=f(t)函数的具体表达式和绘图范围，就能看到不同的复合函数生成过程。由此可观察t=g(x)，y=f(t)函数的基本性质对复合函数的影响，使复合函数问题变得直观、易懂，对复合函数的有关知识从疑惑不解到清楚明了，由不确定到确定，由含糊到明确。
图4
5.追踪动点路径，动态地探索动点轨迹
解析几何是综合运用代数和几何知识的一门学科，其特点之一是数和形紧密结合，特点之二是把曲线看作为点按一定几何条件运动的集合。《几何画板》的点追踪、轨迹功能形象直观地体现数形结合思想，以运动、变化的观点揭示解析几何的本质。特别在轨迹的学习中，《几何画板》为探求点的轨迹，检验轨迹的纯粹性和完备性提供了强有力的保障。轨迹概念包含完备性和纯粹性两方面的要求，怎样才能使所求轨迹满足完备性和纯粹性，即如何“堵漏去杂”，一直是中学数学教学的难点。静态的图形不仅使学生，也常使教师解题思考不够完整全面。如忽略对动点运动的多种情形的讨论，忽略动点的特殊位置等，从而造成轨迹的遗漏。若教师课前利用《几何画板》的动态图象功能，有助于课堂的教学，并且可能从中又得到一些新的启示；而在课堂中的演示又有助于学生探索解题思路，培养思维的创新能力。
如开展“圆锥曲线的演变”的探究活动（如图5～图9所示）。D是半径为r的定圆A内的一定点，C是圆上的一动点，过线段CD的中点E作CD的垂线与CA交于点F，求点F的轨迹。从绘制过程知道，此时FA+FD=FA+FC=r(AC＜r)，F的轨迹显然是椭圆（如图5）。传统课堂中一般以求出点F的轨迹为结果，而利用《几何画板》可继续开展如下探究活动。
演变1：当E到C的距离小于E到D的距离时，FA+FD＞r（如图6），出现了“奇妙的现象”，点F的轨迹是“鸭蛋形”；
演变2：当E到C的距离大于E到D的距离时，FA+FD＜r（如图7），点F的轨迹是“导弹形”；
演变3：把线CD换成直线，使点E在CD的延长线上（如图8），F的轨迹成了“肾脏形”；
演变4：当点E在DC的延长线上时的图形（这样的演变活动在传统课堂中是很难或无法实现的）。再把点D移到圆外，如图9所示。
图9
通过动态图象开展这样的实验活动，使学生对此问题有了灵活而深入地理解，在活动中拓展了思维、交流了经验、体会了做数学的无限乐趣。
6.数学规律动态图象，动态中猜想数学规律
在动态图象环境下，使抽象的符号、复杂而零散的数据得到直观表示，而且还可以对数学对象直接进行操作（如变换研究对象的空间排列位置、重复引起变化的关键因素、动态显示等），从而对其细节进行观察，这就会使学生发现数学对象不同方面的内在联系的机会大大增加，并为理解其本质特征奠定坚实基础。其实质是对同一数学对象（数学的概念、法则、表达式、定义等）给出几种不同表示，从而使数学对象不同方面的特征得到显示。
如在平面直角坐标系中，
(1)参数方程x=sinatsint，y=sinatsint，t∈[0，2π]，当a=2时表示的曲线是什么形状（图10）。
(2)参数方程x=sinatsint，y=sinatsint，t表示的曲线是什么形状与a有着怎样的关系（图11～图13）。
学生在研究参数方程的图象时，输入不同的表达式，通过观察图形，总结出的规律如下。
图形为“花瓣”形。不同的是“花瓣”朵数不同：
当a为奇数，即a=2n+1
时，“花瓣”朵数为2n+1；
当a为偶数，即a=2n时，“花瓣”朵数为4n。
以上研究的是当a取整数的情形。
如果a的取值为非整数有理数时，图形的形状变化又有什么规律呢？学生输入a的不同取值，观察规律。得出：当a分别取
时，图形分别如图14～图16所示。
通过这个研究的案例可以发现，学生在“玩”的过程中就可以发现数学规律，随时随地进行研究。通过观察实验，来探索数学知识。
7.艺术欣赏园地，再现数学之美
让学生亲历作图的动态过程，容易创作出千变万化的美丽图案。不仅能增强学生的求知欲望、点燃学习数学的激情，而且还可以培养学生的创新品质和审美情趣。
“海岸线与分形”是数学新课程中一块选修内容，教学中可以充分结合信息技术，让学生动手操作，去获得美的体验。同时，可以通过网络等呈现很多漂亮的分形图形，让学生展开丰富的想象，去作出自己想要的分形图形，使学生在审美的同时，感受创造所带来的愉悦。
下面是运用“几何画板”作出的两个著名分形图形：谢尔宾斯基衬垫（图17）和雪花曲线（图18）。这里的谢尔宾斯基衬垫是以三角形为基础作成的，可以启发学生把三角形改为其他图形，如正方形等，按照同样的原理去“创造”自己的衬垫。除了作平面的图形外，还可以让学生的想象向空间发展，作出立体的谢尔宾斯基图形（图19）。在欣赏这些美丽的图形之后，可以进一步研究它们的特征，并结合相关数学知识探讨周长、面积、体积等问题。
在动态图象的帮助下，学生不仅看到了数学外在的形式美，还感受到了内在的数学“真”。这样，数学美的教学才是饱满的、立体的。它带来的不仅有视觉上的冲击和震撼，还有在对美的体验之后，激发起来的创造欲和对数学之“真”探究的冲动。相信当学生面对自己创造出来的美丽图形和获得的美好的数学结果时，他们的内心一定是激动的。
二、利用动态图象应注意的一些问题
1.重视研究教材与教学
教师在学习计算机技术的同时，首先要认真研究教材，研究教学对象，研究教学过程，钻研教学。充分调动学生主动参与探索的积极性，培养学生的创新精神。
2.立足“以人为本”的原则
使用动态图象辅助教学时，应该立足“以人为本”的原则，把学生放在主体地位上，改变以教师讲解为主，学生被动接受的“应试教学”，着重于学生分析问题、解决问题能力的培养，让计算机辅助教学在“素质教育”中发挥重要作用。
3.重视结合教学实际
课件制作要结合教学内容实际，结合数学学科特点和学生心理特点，以有利于教师的教学和学生的学习为准则，充分运用计算机技术的优势，创造教学情境，将化抽象为直观，化静态为动态，化繁为简，化难为易，使教师从大量的解释、说明中解脱出来，着重引导学生把注意力集中在过程及应予突出的重点上。
4.重视师生情感交流
多媒体辅助教学系统的运用，在师生的交流中加入了多媒体这个“第三者”，形成了教师—多媒体—学生—教材4者交流的模式。教师不能只关注多媒体的操作，更要重视学生知识掌握和技能的培养方面的反馈信息，重视师生课堂情感互动。否则，人性化的师生人际情感交流会被冷冰冰的“人机交往”所取代。
5.重视揭示过程
是仅用计算机展示现象、传授知识，还是充分发挥几何画板的“静”变“动”，要注意发挥动态图象抽象变具体等功能来培养学生的各种能力，这是新课程下与以往不同教学观的体现。
三、动态图象教学价值的分析
1.丰富感知，搭建具体到抽象的“思维桥梁”
感知是认知的起点，也是任何心理活动的基础。合理地运用动态图象，对丰富学习者的数学动态感知具有特别的作用。使用数学动画来表现运动和变化，能表现出一些孤立单体之间的相互联系，能表现出变化和运动的过程，使得“不能见对象变为能见对象”。观察这些平时难以见到的现象，丰富感知，就加强了动态想象的基础。可为更高级的抽象提供条件，为抽象思维准备足够的感性材料。在积累运动与变化的感性资料方面，数学动画有不可替代的独特地位。
动态图象带来的感知丰富，虽有较浓的感性认识色彩，然而由于是数学动画，所以它并非低级的纯感性认识，而是含有充足抽象思维成分的感知。这种特殊感性认识的积累，对于数学思维品质的形成具有重要意义。
思维过程的基础是抽象概念，而抽象概念的形成，必须从具体形象出发形成观念中的表象，再经过言语的诱导而升华得来。在这种“形象→表象→概念”，即“感知→想象→抽象”的升华过程中，在两个跃变环节上动态图象都有重要的作用。在这种思维升华中，表象的作用十分重要。表象是感知的某种再现，是直接感知过渡到抽象思维的中间环节，是感性认识和理性认识的中间环节。在形成关于无限、连续、变化、过程的表象的过程中，有了动态图象提供的动态感性认识做准备，对于数学思想的把握才能更加深入。
2.实验探索，搭建发现问题和解决问题的平台
(1)在动态图象中观察、发现问题，引发探究思考。
许多发现起源于对客观现象的观察。作为抽象内容的数量关系和空间形式难以当作普通的观察对象，这时具有“抽象了的直观”属性的数学图形（特别是变化着的数学图形）就可以充任数学的观察对象。此时从动态图象中观察和发现问题，就成为数学研究中一种独特的渠道。
(2)在动态中综合、概括相互联系。
动画，能将同质不同类的对象间的联系予以揭示，能反映出条件发生何种变化时出现何种现象，从而揭示出其间的联系。
(3)在动态中猜想和探求，在动态中检验和论证。
猜想，基于想象。新形象的创造都必须以知觉材料为基础。动态图象不仅能为猜想间接提供感性材料，同时还具有形成想象所需要的诱导言语的直接作用。探求，是对未知的客观规律逐步接近的求索过程。既有分析，也有概括，本身就是一种综合性的理性思维。如果数学动画的程序具有通用性，那么在改变参数输入的动态图象中进行观察，就是一种逻辑思维的探求。动态图象还能提供一种验证方式。具体形象的展示，自然具有一种存在性证明的说服力。
3.提供时空，让学生在探究过程中创造创新
教材知识的呈现方式是单一的、静态的，而学生获取的方式是多样的、动态的。教师要树立“用教材教”的理念。利用动态图象，将教材中静态的数学知识还原成动态的生成过程，尽可能地为学生提供一种思考、交流、探究的空间，像数学家一样参与知识的再发现、再创造过程，引导学生从过程中体验和感悟。为学生的智慧生成而教，使学生在探究中“转知为智，化识为慧”，从知识课堂走向创造创新课堂。
教学活动不再仅仅是重复预设过程，而是师生互动探究的创生之旅，是学生活力焕发和价值呈现的生命历程。在这样的课堂里，学生能根据自己在探究中的体验，能动地认识和改造知识，使生命活力在积极主动的参与过程中充分地体现出来，从而达到增长知识和发展能力的和谐统一。