把握原型，转变所需，提炼思维--论初中二年级学生学好数学的“三步”_数学论文

把握原型，转化所求，提炼思想——浅议初二学生学好数学的“三步”曲，本文主要内容关键词为：所求论文,原型论文,三步论文,思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      当问及初中二年级学生数学成绩不理想的原因时，一部分学生常常会说：数学难学.这句话并不完全没有道理，小学数学内容少而直观，大多数知识当堂就能消化掉.而进入初中尤其到了初二以后，从过去的数、式演绎到数、式和形，而“形”（几何图形及函数图象）相关内容的增多，引发了学法的变化，而此时很多学生的学习仍旧停滞在机械的模仿演算中，这种“原地踏步走”的方式使他们陷入学习的困境，致使成绩下滑乃至个别学生自暴自弃.初二学生正处于思维发展的关键期，思维方式、方法和品质都处于一个新的转折点，同时又是学习的两极分化期，学习产生分化的焦点.那么，教师怎样引导学生及时更新学法，适应新的内容，尽早地走出困境，获得成功的体验呢？

      一、把握原型，确立目标

      这里提及的原型是指将实际问题经过去除背景后而提炼出来的纯“形式化”的数学内容，它包含基本的概念、图形、式子（包括公式及法则）.原型从具体事例中的抽象、概括及归纳的过程，是源于教师对教材中知识点的深度挖掘和对学生的相机诱导.引导学生挖掘概念的内涵，将公式变形，拓展图形中蕴含的结论，这些都将有助于学生形成解决问题的“思维工具”，积累数学活动经验，所以原型是解题者确立解题目标的联想依托.学生感觉数学难学，其中的一个重要的原因就是找不到所解问题的“影子”（原型）.心中有了“原型”，就犹如找到了问题的“抓手”（作用点）.

      现以双曲线下的矩形（或直角三角形）面积和“k”值二者之间的数量关系为例寻找到一个关于双曲线下图形面积解答方法的原型.

      

      

      概念、定理是原型中的“基元”，而对相关概念、定理的异同点模糊不清、似是而非是很多学生的通病.区分易混概念（如，平方根、算术平方根；平方根、立方根；有理数、无理数；等腰三角形、等边三角形），要通过比对的辨析方式明晰它们之间的异同点，做到准确理解概念的内涵，恰当地掌握概念的外延，从而掌握好概念的本质；有关定理、法则之间联系密切，把握相关的定理（如，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定）和法则（如，幂的运算法则），通过数学语言的表述变换及对比等方式的训练，有助于学生的理解、记忆与应用，培养学生的思辨能力.

      例如，下面一组概念的对比辨析就是针对“实数”概念设计的.

      （1）实数不是有理数就是无理数；（

       ）

      （2）无限小数都是无理数；（

       ）

      （3）无理数都是无限小数；（

       ）

      （4）带根号的数都是无理数；（

       ）

      （5）两个无理数之和一定是无理数；（

       ）

      （6）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数.（

       ）

      【评析】学生初学“实数”时，感觉概念多、散、混，而通过这样的对比辨析训练，澄清了相关的概念，收到了事半功倍的效果.

      二、寻求途径，转化所求

      学生学数学离不开解题.学生知识量增长的同时，“直来直去”的东西则变得少了.许多问题都会设置出深浅不一的“障碍”，需要经过学生的一番思考才能解决.而有的学生怕费劲，缺乏耐力又不求甚解，则出现了遇到问题就茫然的现象.而问题解答的魅力往往体现在对问题的类比、联想和转化上.类比、联想和转化首先需要有原型做依托.有了原型，确立了解题目标，那么再考虑将所求的问题围绕“原型”展开联想，寻求途径，通过一步步转化所求，逐步“贴近”原型.在知识的“综合”处，教师可根据学生的“疑点”、“易错点”进行解疑和补漏，修补“断裂带”.向原型转化是一个解题思路的开启过程.转化是一个由复杂到简单、由未知向已知的渐进过程，所以教师对习题的设计应遵循基础性和层次性的原则，其中拔高题的设计要以学生思维的“最近发展区”为立足点，通过“度”的调控，力求使学生收到“跳一跳，摘得到”的效果.现以双曲线下图形面积的求解为例，就如何以原型为依托，寻求途径，转化所求提供一个思维“路径”的启示.

      1.用基础题做好铺垫，为学生注入学会的动力，并架设一座通向难点的桥梁

      铺垫是将综合题中较基础的、易错的、易混的、易忽视的部分单独分离出来作为“小题”让学生解答，架设了学生通向难点的桥梁，尤其对中等生和学困生来说，在解答综合问题过程中能起到启发和迁移的作用，收到化难为易的效果，而分层推进，激发了绝大部分学生学好数学的积极性.因为基础试题要面向全体学生，达到教学的基本要求，所以问题的起点低，台阶密，坡度缓，解答起来基本上就是“套”原型.

      下面是为解答双曲线下图形面积问题而设置的4道基础题.

      

      

      

      

      【注】第（1）、（2）题均考查了反比例函数中的k值与双曲线下矩形（或直角三角形）面积之间的数量关系（“k”值的几何意义），而第（2）题由面积求k值应注意双曲线所在的象限，即k值的正、负性；第（3）题考查了双曲线下矩形（或直角三角形）面积的不变性；第（4）题在第（3）题的基础上拐了一个小“弯”，是属于稍微“跳一跳”的题.“千里始足下，高山起微尘”，夯实基础，将基本题完成好，方能破解综合题.

      2.分段设置综合题，让学生体验到解题就是一个转化的“创造”过程

      综合题的解答能使学生尽情地释放学习的潜能.而综合题的难易度要针对目前学生知识的储备量和思维的潜在水平来设计.在综合题的解答过程中，让学生通过类比、联想，寻求途径加以分解，逐步将未知转化为已知，所求转化为可求，这里的“已知”和“可求”可以说就是原型.其间，可选取一些中考题作为素材适时穿插在不同的学习阶段供学生训练，以激活学生思维.以下5例从不同的角度呈现了双曲线下图形面积的有关问题，转化方法典型、灵活.这5例可设置在3个不同的阶段中.

      （1）穿插在单元知识的梳理中，整合所学的单元知识点，将“点”串成“线”.

      

      （A）2 （B）3

      （C）4 （D）5

      解析：如图7，分别过点A、B作x轴的垂线，交x轴于点N、M.

      

      【注】例1将“k”值的几何意义与面积的“割补法”巧妙地结合在一起，将所求平行四边形的面积转化为双曲线下矩形的面积之和.

      

      

      解析：将所求矩形的面积转化为双曲线下两个矩形的面积之差.

      故所求面积为2（过程略）.

      

      

      解析：因为直线BC//Oy，所以当点A为y轴上的任意一点时，△ABC的面积都不变（因为这些三角形同底等高）.

      故此，可将点A取为原点O（选取特殊点）.因此，

      【注】例2将“k”值的几何意义与平行线间同底等高三角形面积的不变性进行了综合，并且让学生感受特殊化法给问题解答带来的简捷性.

      （2）穿插在全章的小结复习中，综合相关知识，注重由“线”到“面”的扩大.

      

      （A）4 （B）3

      （C）2 （D）1

      

      【注】由“k”值求得到面积后，则转化为相同面积下矩形周长最小值的“条件”问题（面积相同的矩形中正方形的周长最小）.而将配方法融入其中，增大了试题的难度.

      

      

      （A）1 （B）3

      （C）6 （D）12

      解析：平行四边形的面积=底×高.

      由图可知，底为AD的长，即点A的横坐标的绝对值，高为点A的纵坐标的绝对值.

      因此，

ABCD的面积就转化为双曲线下的矩形面积.

      故选C（过程略）.

      【注】此题考查了平行四边形面积的计算方法.解答中应用了数形结合和转化（将平行四边形面积转化为矩形的面积）的思想.此题解法灵活性强.

      （3）穿插在期末复习中，兼顾到知识的综合性和思维转化的灵活性，不断优化学生的思维品质.

      

      

      

      【注】此题注意到△AOD的面积与k值的关系.引进两个辅助量（a、b虽参与列式，但在运算过程中被“整体”替换），便于列出方程.此题基于知识的综合性及思维的灵活性，建议将此题放在期末复习中.

      转化思想在数学教材中随处可见.如，分式方程向整式方程的转化、四边形向三角形的转化等等.以基础性试题为起点，搭建学生转化的平台，再逐步向综合方向扩展，这体现出循序渐进的教学原则，符合学生的认知规律.同时，转化思想又是解决综合问题时贯穿的一条主线.因此，教师在揭示知识的产生和运用的过程中，要渗透转化思想和途径，提高学生的转化思维能力.

      三、提炼思想，形成方法

      思想方法是以知识为载体，在运用知识解决问题的过程中积淀而形成的.其价值不亚于知识本身.知识或许会被遗忘，但思想方法形成后将会根深蒂固，时刻伴随着你，是终身受益的“无形”力量.解题之后，引导学生理清思路，及时归纳，将“分析综合”过程中蕴含的思想方法渗透给学生，在学生的体验和感受中，优化学生的思维品质.以上5例均考查了“k”值的几何意义（“k”值与面积的关系）这一知识点.转化思想、数形结合思想贯穿于题目中，成为解题的一条主线.在转化思想的引领下，结合题目特点，做到具体问题具体分析，以面积的割补法、面积的和、差化法、等积法为途径，使所解问题逐步逼近“原型”，展现了思维的广阔性、深刻性和灵活性，而这些思想方法的形成需要靠师生长期的共同“研磨”.

      有些题目的解答方法呈现出“思想”相同的特征，而学生解题呈现出的具体方法、途径往往又具有多样化的特点，彰显了学生个性化的思维.只要是学生自己想的，即使方法不那么灵动，教师也要给予鼓励以激发学生探究的积极性，因为这是学生思维走向“转折”必经的一个阶段，同时又是萌生创新意识的开始.而这需要教师的耐心“等待”，在“无声”中使思想和方法渗透于学生头脑中.

      例6 如图13，在梯形ABCD中，AD//BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于点N，AB=a，MN=b.求梯形ABCD的面积.

      解析：解这道题需要添加辅助线.辅助线的添加需要依托原型展开联想，而学生头脑中的原型“不唯一”，这就注定转化的途径千姿百态，辅助线的添加会多样化.下面列举了此题辅助线添加的3种情况（如图14、图15和图16），图14是将梯形的面积转化为三角形的面积；图15是将梯形的面积转化为平行四边形的面积；而图16是将梯形的面积转化为平行四边形和三角形面积之和.（过程略.）

      

      【注】前两种辅助线的添加方法比较常规化，而第三种辅助线的添加较为新颖，此时师生的探究和分享是双赢的.

      越基础的东西往往越容易迁移，常常是人们思考问题的原型或起点.因此，要理解教材中的每个概念的内涵，把握关键的字、词、句，弄清公式、法则的来龙去脉，分清定理的条件和结论，注意它们适用的条件.同时，做好文字、图形和符号3种语言之间的转换，把握通法和通则，心中有了这些东西，就有了解题中的“思维工具”.随着思想方法的渗透，尤其是像初中阶段数形结合思想的融入，会使思维变得开阔、灵动.久而久之，数学的枯燥、难学就会变得趣味横生.思维的“思想”化，解题的“方法”化，是一个量变的积累过程，一个由学会向会学的转化过程.这个过程需要让思维成为学生内心的愉悦需求，让探究成为一种自发的思考习惯才能逐步形成.

      综上，“三步”曲中的每一步都不是孤立存在的，而是共同构成了一个有序且彼此间相互交融和相互作用的整体.所以，教师要树立系统、联系和发展的观点，使数学学习过程更易于学生的理解、记忆与应用.这有利于减少学生因学习产生的“分化”，有利于大面积提高学生的学习质量，促进学生思维“转折”期的健康发展.

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