在概念教学中体现数学美——“正切”课堂教学片段展示与思考，本文主要内容关键词为：正切论文,课堂教学论文,片段论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
概念教学的核心是“概括”，即以一些典型的生活事例、几何图形、数学知识为载体，引导学生进行分析、归纳、抽象、概括等一系列思维活动，从而获得概念.笔者在江苏省张家港市第三届“苏派名师”教学思想研讨活动中设计并试教了“正切”一节课，以期通过几何操作、归纳提炼、数学概括来引出概念，让学生感受概念自然的形成过程. 一、教学背景 学生来自生源状况比较好的一所初中，基础比较扎实，自学能力、运算能力比较强，有一定的自主探究、合作学习的经验。 本课取自于苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第七章“锐角三角函数”的第一课时，是解直角三角形知识体系中的基础.在教材处理上，它隐含着角度与三角函数值之间一一对应的函数思想，锐角A与三角函数值互相对应并且用符号tanA来表示。本课的学习，以学生熟悉的正方形网格为背景，并从学生已有的直角三角形和相似三角形的有关知识出发，得出正切函数概念。学生在知识的形成中，进一步感受数形结合的数学思想方法，并在对实际问题的思考、探索中，提高解决实际问题的能力和应用数学的意识，为之后的学习打下基础，作好铺垫. 二、教学片段展示与思考 1.情景导入，构建概念，体现数学概念的自然美 师：在前面的学习中，有时我们会将一些几何图形放在正方形网格中，研究几何图形的面积、有关线段的长度、角度的大小等问题。今天的课也从正方形网格开始. （1）观察思考 在12×12的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，将∠MAN如图1放置.在网格中取一个格点B，过B作BC⊥AN，垂足为C.从△ABC中，你能读出哪些信息？ 生1：在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，∠C=90°，它的面积为6.
师：在网格中取另一个格点D，过D作DE⊥AN，垂足为E。从△ADE中，你能读出哪些信息？ 生2：在△ADE中，DE=6，AE=8，AD=10，∠E=90°，它的面积为24. 师：很好！那么对于△ABC与△ADE，你还有什么发现？ 生3：因为∠A是公共角，所以Rt△ABC与Rt△ADE相似，从而
. 师：我们观察等式的第一个等号，并将它改写成
.请问如果在AM上任意取一个非格点F，过F作FG⊥AN，垂足为G，你又有什么发现？ 生4：可知
，因为Rt△ABC∽Rt△ADE∽Rt△AFG. 师：如果将正方形网格去掉，
还成立吗？ 生5：仍然成立，因为相似关系保持不变. 教学思考 从学生熟悉的正方形网格入手，通过简单易行的操作，由特殊的格点到一般的任意点，让学生充分感受
是不随点的位置变化而变化的。这样从操作活动到数学知识，有助于加深学生对新知识的感悟与认识，也为接下来概念的形成做好铺垫. （2）归纳提炼 师：根据上述探究，我们有如下发现：如下页图2，如果一个锐角A的大小确定，那么它一边上任意一点到另一边的距离与顶点A到垂足的距离的比是不变的，即
是一个定值.如果将锐角A看作是直角三角形的一个锐角，那么，我们就能进行如下的数学概括：
如图3，如果直角三角形的一个锐角A的大小确定，那么这个锐角的对边与另一条直角边的比值也确定，即
是一个定值.
教学思考 前面的操作、观察、感悟迅速引起了学生的数学思考.学生对
是一个定值已经确信无疑了，也有想进一步深入了解它到底是什么、有什么研究价值的愿望. （3）形成概念 师：△ABC每一个角都有一条相应的对边。如果这个三角形是直角三角形，我们把直角C所对的边称为斜边c.特别地，我们把锐角B的对边称为锐角A的邻边.在此基础上，我们就有如下定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A的对边和邻边，我们把∠A的对边a和邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
教学思考 概念教学的核心是“概括”.本设计从网格中的角到任意的角，再到直角三角形的一个锐角，引导学生进行分析、归纳、抽象、概括等活动，最后得出正切的概念，给学生以水到渠成的感觉，充分体现数学的自然美. 2.知识应用，提升概念，展示数学概念的简洁美 练一练：如图4，求下列直角三角形中∠A的正切值.
师：很好！这位“小老师”不仅讲解流畅，还注意了运算结果的规范化和简洁美。 生7：第③题，虽然不知道小正方形的边长，但是BC的长是6个单位，而AC的长是3个单位，假设每个单位的长为k，则
师：还有其他解法吗？
（其他学生作顿悟状，经过老师点评，教室里掌声一片.） 师：tanA=2是一个定值，说明什么呢？ 生9：锐角A的正切值只与∠A的大小有关，与所选取的三角形的大小没有关系. 教学思考 问题①的设计简洁明了，学生能轻松解决。问题②是问题①的深化，还是属于基础性训练问题，主要目的是帮助学生加深理解、巩固新知。问题③又回到了正方形网格中，它考查的是学生在情境中运用“规则”的能力，利用学生观察图形的不同视角，初步感知锐角A的正切值只与∠A的大小有关，与所选取的三角形的大小没有关系这一基本事实，充分展示数学概念的简洁美. 3.性质探究，深化概念，领悟数学概念的内在美 （1）直角三角形中两个锐角的正切值之间的关系。 师：观察图5，在Rt△ABC中，如何求锐角B的正切呢？ 生10：根据正切的定义，
师：tan A与tan B有什么关系呢？ 生11：tanA·tanB=
·
=1.
师：很好！这就是我们得到的正切的第一条性质： 性质1：已知∠A，∠B都是锐角，且∠A+∠B=90°，则tan A·tanB=1.（教师板书） 教学思考 在定义锐角A的正切时，我们没有让学生过多地关注锐角B的正切，主要目的是让目标集中、知识单一，便于学生掌握新知。本环节的设计，一是回归定义，巩固正切的概念；二是探究性质，发现互余两锐角正切之间的关系，为求锐角的正切提供一条新的转化途径，使学生在循序渐进中完善对概念的认识. （2）任意锐角的正切值计算. 师：在Rt△ABC中，若能求得两直角边的长，根据正切的定义，就可以求得两锐角的正切值.如果给出任意一个锐角，那么如何求它的正切呢？ 如图6，将锐角α的顶点放在坐标原点，一边与x轴的正半轴重合，另一边在第一象限.过点A（1，0）作x轴的垂线，与另一边交于点P，则tanα等于线段________的长.
（幻灯片分步出示上述内容，学生填空后小组讨论） 师：你们的结果是什么？ 生众：
师：我们设定了点A（1，0），因此tanα=AP.这里选择A（1，0）很漂亮，使得结论简洁、易记.这样的操作测量的步骤比较少，不需要计算比值，求得的结果误差也可能比较小. 教学思考 用这种方法求某个锐角的正切，既直观又有助于学生巩固对定义的理解。这样求得的近似值可能会与精确值之间有差距。因此我们应当告诉学生，必要时可以放大图表（增大单位长度），以求得更为精准的近似值。 师：如图7，直线y=kx与x轴正半轴的夹角为α，那么tanα等于多少？
生12：过A（1，0）作x轴的垂线，与y=kx交于点P，则点P的坐标是（1，k），
师：这个结论反映了正切与正比例函数之间的联系.我们容易证明：如果将“y=kx”修改为“y=kx+b”，那么tanα=k仍然成立. 师：如果以坐标原点O为圆心、1为半径作一个圆（单位圆），观察图形，你有什么发现？（幻灯片出示图8，隐去射线
及∠β） 生13：PA是⊙O的切线. 师：很好！由tanα=PA可知，锐角α的正切值正好是这个单位圆的切线段AP的长.这个结论更加直观，也就是为什么把它定义为正切的道理所在。
师：当锐角α变大，α的正切值有什么变化？（幻灯片上出示射线
及∠β） 生14：当锐角α增大时，切线AP的长也增大，即α的正切值也增大. 师：非常好！也就是说，若α，β都是锐角且α＜β，则tanα＜tanβ.根据图形，谁来说说怎么证明？ 生15：tanα=AP，tanβ=
，因为α＜β，所以AP＜
，即tanα＜tanβ. 师：如果两个锐角相等，它们的正切值相等吗？ 生众：相等. 师：用一句话来说就是，当锐角α越来越大时，α的正切也越来越大.这与我们前面学过的函数的性质是类似的，因此tanα可以看作是锐角α的函数. 教学思考 从观察图形，推理论证，到形成性质，学生在不知不觉中感受到了角度与三角函数值之间一一对应的函数思想，对正切概念的认识更加清晰明了了.这一过程也体现出数学的内在美. 三、感悟与提高 “正切”的教学可以有多种教学设计方案，但大体上可以分为两类：一类是由教师较快地给出概念，用较多的时间讲解例题、组织学生练习，以求熟练掌握概念；另一类是既关注数学的结果（正切的概念），又关注数学结果的形成、发展与应用的过程及其中蕴涵的数学思想（数形结合、等价转化等），着力培养学生观察、归纳、抽象、概括的能力.本课的大多数知识是通过师生对话、生生合作、活动探究、共同交流来发现、归纳、提炼而成的。丰富的师生活动、生生活动实现了知识的传递，充分体现了数学的自然美、简洁美及内在美。
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数学美在概念教学中的体现&“切线”课堂教学片段的展示与思考_数学论文
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