数学课堂教学中问题的设计，本文主要内容关键词为：课堂教学中论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
由费赖登塔尔的再创造理论，数学课堂教学主要是运用问题的解决来启迪、培养和优化学生的思维品质，教师的任务是通过问题的设计为学生的发现和创造提供自由广阔的天地，进一步引导学生探索，挖掘其中蕴含着的值得深思的问题，本文就笔者近几年课堂教学中几类问题的设计作用的一些有效的尝试和探讨，就教于各位同行。
1 设计实用性问题和实际性问题
初中数学知识，都是直接或间接地来源于现实世界，是现实世界中的实际问题的数学抽象；另一方面，以从现实世界中抽象出的基本数学概念、法则、公式、公理为基础，经过严密的逻辑推理，得出一般性的数学结论，不仅经得起客观现实和生产实际的检验，还能有效地用于解决现实生活中的实际问题，并且在解决实际问题的思想、方法方面能起积极、有效的指导作用，对学生来说，实用性和实际性问题，使他们更有亲切感和好奇心。
例如，学习了多边形的知识，学生大都认为它只能用于有关的几何方面的实际问题，可设计下面的一个多边形知识的实用性，彻底改变了学生的看法。
问题：有5个学生，每两个人都有1本书相同，而且每本书恰有两位学生具有，问这些学生共有多少本书？
实用性分析：若将5个同学看作图1中五边形的5个顶点， 因为两人之间有1本书相同，且每本书恰有两位学生具有， 可以转化为对应的两个顶点恰有一条线段相连，因此书的总数即为五边形的边数与对角线条数之和，可得书的总数为10本。
类似的6个学生，7个学生，……拥有书的总数可借助于六边形，七边形……得出。
又如：算术平方根的性质：
可先从下面实际问题进行教学。
实际问题：一块面积为a的正方形土地，把它扩大成面积是原来的4倍的正方形土地后，边长应是多少？扩大成9倍，16倍……呢？
分析：如图2，扩大后的正方形土地的边长
2 设计迷惑性问题和批判性问题
教育学、心理学研究表明：目前中学生思考问题时，条条框框太多，思维定势束缚大，他们不敢对课本及老师传授的知识提出质疑，不能提出自己的意见。所以在课堂教学中应适时地设计一些迷惑性问题和批判性问题，让学生认认真真地出错，诱使“上当”，使学生思维的批判性趋于成熟、全面、正确。
例如，在学习了“三角形的三边关系”后，笔者设计了一个问题：甲离学校10km，乙离甲3km，问：乙离学校几km？ 大多数学生马上得出结论：7km或13km。显然学生受到初一行程问题的思维定势的影响， 认为甲、学校、乙在同一直线上；而也有些学生，不置可否，磨磨蹭蹭。笔者偏偏让他们发表意见，一个略微大胆的同学才小心翼翼地说：假使甲、乙、学校不在同一直线上呢？这就是问题的关键所在！一个小小的提示，使众多学生走出误区。
再如，学习了“相似三角形的判定”后，笔者引导学生把相似三角形的判定与全等三角形的判定作了简单的比较后，设计以下问题：每个三角形有三边三角共6个元素，现两个三角形有5个元素分别相等，问这两个三角形一定全等吗？几乎全体学生都落入“陷阱”：根据三角形全等判定定理，它们当然全等。而事实上，“分别相等”并不同于“对应相等”！引导学生举出如下反例：设△ABC三边：a＝8，b＝12，c ＝18，△A′B′C′三边：a′＝12，b′＝18，c′＝27，有a/a′＝b/b′＝c/c′＝2/3，故△ABC～△A′B′C′，从而∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，前面又有b＝a′，c＝b′，于是这两个三角形有5 个元素分别相等，但显然这两个三角形不全等。通过以上批判性的举例，使学生对于“元素对应相等”（对应成比例）有了更深的理解。
3 设计开放性问题
徐利治教授指出：“任何一位科学家的创造能力，可用如下公式来估计：创造能力＝知识量×求异思维能力。”课堂教学中，在培养学生求同思维的同时，不可忽视他们的求异思维能力，因为求异思维是创造性思维的源泉，而开放性问题是培养求异思维最有效的途径之一。所以除了有计划、有目的地设计一些一题多解，一题多变，一题多用等问题培养学生全方位、多层次探索问题能力之外，还应设计一些开放题，发展求异思维，为培养学生创造能力打下基础。
在学习“平行四边形的判定”这一节课后，笔者抛出一道开放题：要证明一个四边形是平行四边形，课本上介绍了四个判定方法，你还能否“发明”几种与课本不同的判定的方法。学生通过冷静的思考，提出了以下几个判定猜测：
猜想（1）：一组对边平行， 一组对角相等的四边形是平行四边形。
猜想（2）：一组对边平行， 一组对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
猜想（3）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
猜想（4）：一组对角相等， 一组邻角互补的四边形是平行四边形。
猜想（5）：一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是平行四边形。
猜想（6）：一组对边相等， 一组对角相等的四边形是平行四边形。
猜想（7）：一组对边相等， 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
猜想（8）：一组对角相等， 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
每提出一个猜想，学生都通过热烈的讨论，最后发现猜想（1）（2）（3）（4）是正确的，而猜想（5）（6）（7）（8）分别可以由下列反例证明是假命题。
猜想（5）反例：等腰梯形
猜想（6）反例：如图3中的四边形ABCD，其中AB＝CD＝1，∠ABC＝∠D＝60°
猜想（7）反例：如图4中的四边形ABCD，其中四边形ABC′D是平行四边形，CD＝C′D，从而CD＝C′D＝AB，OB＝OD。
猜想（8）反例：如图5中的四边形ABCD，其中OA＝OC，且AC⊥BD，可得∠BAD＝∠BCD。
可见，在教学中，可以通过一些开放性问题鼓励学生大胆猜想，标新立异，独树一帜，多方位，变角度思考问题，才能达到求异，求佳，求新的境界。
4 设计探究性问题
张奠宙先生指出：数学课堂教学就是要把火热的思考变为冰冷的美丽。在火热的思考中，进行抽象的概括，透过事物的表面现象，洞察事物的本质，把握问题的核心，认识其发展规律，并掌握其应用途径。在课堂教学中，引导学生理解问题的实质，看透问题的本质，追根溯源，从而优化学生思维品质。切忌以为找到答案，问题就已解决，孰不知仅仅找到答案，这是问题解决的基本要求，这不是问题解决的最终目标，因为求出答案后不能把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来，就等于在原有的思维水平上简单重复，原地踏步而已。所以探究性问题对于培养学生思维的深刻性大有帮助。
例如，学习了“四边形”这一章以后，笔者引用了一道题： 如图6.1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′D′的另一顶点，如果两个正方形的边长相等，求证正方形A′B′C′D′绕O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个定值。
在课堂讲解时，笔者从特殊化入手，考虑图6.2或图6.3的特殊位置，显然重叠部分面积为1/4，由此，得到一个证明思路，在图6.1 中证明△OAE≌△OBF。显然上述分析方法很有启发性，它先退，既看到重叠部分面积确为1/4，又探索到证明定值的途径。但这个问题到此为止则显得浅薄，因为上述分析始终对定值的成因没有任何几何实质的揭示，使学生陷入“知其然，而不知其所以然”的境地，所以应更深刻地引导学生探究此问题的实质所在。如图6.4，过正方形中心O的两条互相垂直的直线l[,1]，l[,2]，正方形被分成4部分S[,1]，S[,2]，S[,3]，S[,4]，现将图形绕O逆时针旋转90°，则A转到B，B转到C，C转到D，D转到A，l[,1]转到l[,2]，l[,2]转到l[,1]，只是字母换了。整个图形没有变化，于是S[,1]与S[,2]重合，S[,2]与S[,3]重合，S[,3]与S[,4]重合，S[,4]与S[,1]， 自然有S[,1]＝S[,2]＝S[,3]＝S[,4]＝（1/4）S[,正方形ABCD]。
这个分析抓住了正方形的结构特征和l[,1]，l[,2]的位置特征看透了问题的本质，使我们立即看清了正方形OA′B′C′的大小其实是非实质的，并且题中的图形是否为正方形也是非实质的，比如把两个正方形换成两个正六边形仍有类似结论。
5 设计创新型问题
修订后的初中数学教学大纲增加了“逐步形成数学创新意识”这一教学目标，并将创新意识界定为“对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学角度发现问题，并加以探索和解决。”张奠宙先生指出：目前中国数学课堂教学中，学生多了一份好胜心，少了一份好奇心。而恰恰好奇是创新的源泉。
在初二“平行四边形”复习课中，继前文“设计开放性问题”中所提到的“平行四边形的判定”中，笔者设计了一个问题：我们知道，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；另外，命题“一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线，被另一条对角线平分的四边形是平行四边形”是假命题，你能否判定“一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的真假呢？
学生马上被这个问题所吸引，因为在“平行四边形的判定”一节时，好像所有猜想都已论证了的。在好奇心的驱使下，着手设计反例，设计了好长时间，发现很难设计，一部分学生转向证明它是一个真命题，最终借助于圆的有关知识及对称性，设计如图7中的四边形ABCD， 证明了它是一个真命题。
最后，我们要明确课堂教学中问题的设计必须要遵循适度性原则，也就是说设计的问题必须符合绝大多数学生的认识水平，适合大多数学生的知识、能力水准的“最近发展区”这样才能激发学生学习兴趣，诱发学习动机，学生思维的积极性也油然而生，避免出现“启而不发”或“发而不着边际”的现象。