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数学课程标准指出：“在数学教学中，必须通过学生主动的活动，包括观察、描述、操作、猜想、思考、推理、交流等等，让学生亲身体验如何‘做数学’、如何实现‘再创造’的过程，从而促进数学学习.”基于这样的理念，数学活动走进了我们的课堂.
前日，我带领学生尝试了三角板的镶嵌探究活动——“用含30°的直角三角板拼多边形”.该节数学活动课共包含四个活动：活动一，用含30°的直角三角板拼150°的角.活动二，用含30°的三角板拼三角形.活动三，用含30°的直角三角板拼四边形.活动四，用含30°的直角三角板拼成边数最多的凸多边形.安排这四个数学活动，目的有三：一是增强学生对三角板拼接多边形的感性认识，进而升华为理性认识；二是帮助学生加深对数学思想方法（分类思想、转化思想、方程思想）的感悟；三是培养学生运用数学的意识和能力.
反思这节课的活动过程，可以用王国维先生的“治学三境”来概括.
一、多方操作求铺垫——“为伊消得人憔悴”
【活动一】用含30°的直角三角板拼出5个特殊角，即30°、60°、90°、120°、150°
先要求学生动手实验拼150°的角，再让学生观察拼成的图形，通过分类，找出用含30°的直角三角板拼成的凸多边形，唤起学生对凸多边形概念的记忆，让学生初步认识到用含30°的直角三角板可以拼成多边形这样的事实，并顺势提出本节活动课的探究主题.在此基础上，提出问题：“能拼出哪些度数不同的多边形？”进而，再将问题有序分解：能拼出哪些度数不同的三角形、四边形、多边形？
【活动二】用含30°的三角板拼三角形
拼三角形的活动比较容易，这可以从学生展示在黑板上的示意图（如图1）看出来.教师通过追问：“只有这3种内角度数不同的三角形吗？”引发学生对问题进行深入思考.
生（很肯定地）不可能有其他内角度数的三角形了！因为用含30°的三角板能拼成的小于平角的角只有30°、60°、90°、120°、150°这5种.但150°不可能作为三角形的内角，否则另两个内角的和为30°.所以，拼成的三角形的内角度数只能是30°、60°、90°或120°.如果选定120°为最大内角，那么其他2个角都是30°；如果选定90°为最大内角，那么其他2个角分别是60°和30°；如果选定60°为最大内角，那么其他2个角都是60°.只有这3种情况.
该生的列举法，很好地解释了为什么只有这3种情况.而且这种解释，大部分学生是可以在“最近发展区”内自觉生成的；即使学力不足的学生，经过适当的点拨便能够理解.这符合学生的基本学情，是“跳一跳摘桃子”.
上述两个拼图活动并不复杂，主要是为本节课的难点突破做好铺垫——有了基础知识和经验的积累，类比转化就成为可能.其中，教师的及时追问给学生的拼接活动提供了理性导向.否则，学生会沉溺于动手拼接中，使思考流失在活动的表面.事实上，操作是为了加深思考，思考是为了生成新知，生成是培养一种深究的习惯和能力.
二、独特方法寻突破——“独上高楼望尽天涯路”
在拼三角形的论证中，列举法代表了大多数学生的思路，但也出现了另一种巧妙的方法.
生 因为三角形的每个内角度数都是30°的整数倍，且最小角为30°，最大角为120°，设∠A=30a°,∠B=30b°,∠C=30c°（1≤a≤b≤c≤4,a,b,c为整数），则有：30a+30b+30c=180，a+b+c=6.符合条件的整数解共有3组，分别为（1，1，4），（1，2，3），（2，2，2），对应的内角度数也是3组，分别为：30°、30°、120°，30°、60°、90°,60°、60°、60°.
该生能发现每个内角为30°的整数倍，并运用不定方程和不等式的整数解，找出仅有的3种情况，其超强的思维能力可见一斑.他的精彩演绎，也帮了教师一个大忙，否则可能要费许多口舌进行正面引导.而这一突破，也是后续的拼四边形及凸多边形等的论证的必经之路.有了这样的分析论证作基础，学生便可以轻车熟路地类比得出拼度数不同的四边形的8种情况.
【活动三】用含30°的直角三角板拼四边形
师 用含30°的三角板，能拼成哪些内角度数不同的四边形呢？
生 我们组的同学认为，用含30°的三角板，能拼成的最小角是30°，最大角是150°.因内角和为360°，所以可以设四边形的4个角依次为∠1、∠2、∠3、∠4，且∠1=30a°，∠2=30b°，∠3=30c°，∠4=30d°（1≤a≤b≤c≤d≤5，a，b，c，d为整数）.因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°，所以30a+30b+30c+30d=360，即a+b+c+d=12.又1≤a≤b≤c≤d≤5，故符合条件的整数解和对应内角度数共有8组（如表1）.
师 （惊喜地）你是怎样想到的？
生 受刚才拼三角形问题的启迪，我就试了试，果然管用！
学生自觉使用了类比思维.不过，类比思维也有局限性.在接下来的拼凸多边形的操作中，许多学生就有了碰壁的感觉，类比的思路遇到了障碍.
【活动四】用含30°的直角三角板拼边数最多的凸多边形
生 （不假思索地）既然能拼成三角形、四边形，也应该能拼成五边形、六边形、七边形……
师 那是不是能拼成任意边数的多边形呢？
生 （恍然大悟地）这个等式左边的最大值是100（20乘5），右边是108，显然不存在正整数解了.所以，不能拼成任意边数的凸多边形！
师 这个反例说明，用含30°的直角三角板不能拼成任意边数的凸多边形.那么，我们能拼出的凸多边形的最大边数是多少呢？
生 等式左边的最大值是5n，即5n≥6（n-2），解得n≤12.所以，我猜测能拼成的边数最大的凸多边形是12边形.
三、思考促感悟——“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”
基本活动经验与基本数学思想是一对“孪生兄弟”.该节活动课上，核心问题经过有序分解，成为若干个小问题，然后各个击破，思路非常清晰——从最简单的拼三角形入手，再推广至四边形、多边形问题.其中，有类比思想的模型，也有方程思想的工具，最终是转化思想的自觉行动.数学思想方法的感悟和内化是一个长期磨合、反复实践的过程.当它们逐渐成为学生思维序列中熟悉的，可供随手拈来选择、比较、使用的时候，他们的问题解决能力便达到了一定的水平层次.这些能力不会随着知识的消弭和时间的流逝而消失.相反地，因为它在生活中随时都在被提取，会因时间的久远而得以强化，并臻化为人文性，达到“大境界”.
我们至今也不清楚，卓越的创新是如何成就的？大师是怎样炼成的？我们只能通过遥想和比较研究，去臆想与改进现有的教育.至少，人类演变的事实告诉我们一个基本道理：手的解放促进了人脑的进化.数学活动课是动手与动脑的结合，它将使数学教育回归到教育的本位.
随着新课程改革的不断深入，数学活动课早已不是新生事物，一线教师和专家学者的真知灼见频频闪现.苏科版初中数学教材主编、江苏省教研室副主任董林伟提出，数学活动课的设计要坚持四个基本原则：（1）必要性，是否需要组织学生活动；（2）目的性，活动的目标是否明确；（3）可操作性，是否能真正地活动起来；（4）有效性，是否能真正地引发学生的思维活动.在活动实施中，又必须明确三点：问题由谁提、方法由谁想、感想由谁悟.比如，活动1中的核心问题：“能拼出哪些度数不同的多边形？”应该由教师提出，还是由学生提出呢？不同的处置方式，对学生问题意识的形成，效果肯定不一样.通常情况下，先由教师引导，再由学生讨论提出，似乎更能体现新课程的“双主体”理念.又如，论证方法在没有引导和铺垫的情况下，由某一学生独立发现可能显得有点突兀.这是因为人的思维有时会有“山色空濛雨亦奇”的情况，如果也以“学生为主体，教师为主导”的方式去合作交流，探究出这一独特方法，更能显示我们是在面向全体学生进行教学.包括后面的四边形、多边形的利用方程思想的论证，其他学生可能也是有疑问的，“他是怎么想出来的？我怎么就想不到呢？”学生中的那些出类拔萃的“尖子生”，我们不仅要佩服他们，还要研究他们，更要想办法去“复制”他们.这说明数学活动课更应因材施教，“适合的才是最好的”.