摘要：面积分析是积分学的重要思想，主要通过分割、近似、求和、取极限的模式对一些具备某种性质的又无法直接计算得到其精确值的量进行计算的一种方法。这类问题的解决模式可被用于物理、经济学、工程学等很多领域中的量的建模，具有重要意义。
关键词：面积分析；积分学；建模
自古至今，人类一直在在努力地理解自己所生活的世界，想要通过理解物质世界的本质来找准自身在世界上所处的位置，摆脱被支配的命运．在这个过程中，努力去发现决定周围物体性质的规则和模式，以及这些规则和模式与人类生活之间错综复杂的联系，而想要理解，进而利用这些规律和模式，离不开数学.享有“近代自然科学之父”尊称的意大利物理学家伽利略曾经说过：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也看不起”。也就是说，数学是一种语言，是一切科学共同的语言，在这一部历史巨著中，微积分占有的比重在近代的自然科学和社会科学中充分体现了出来。微积分由两大分支构成，按照被发现和使用的顺序，积分学在先，微分学在后，但二者相辅相成，构成一个整体。本文主要就积分学中关于不规则曲边区域面积问题的方法应用加以介绍。
函数某部分图像下面对应的某区域的面积问题的解决模式是积分学的基本思想，古希腊称为“穷竭法”，我国古代刘徽的割圆法都体现了这种思想，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。被广泛应用在物理、经济、工程学以及其他领域内的很多量的建模上．而这也正是面积问题的重要性所在。在这里，我们将会说明功的概念是如何使用面积进行模拟的。其他方面的应用在问题中给了出来。
根据物理知识可知，移动一个物体所做的功等于施加在这个物体上的力与物体被移动经过的距离的乘积，用语言描述就是功=力×距离，公式对应着W=Fd。这个公式适用于力是常数的情况。例如，如果推动一个箱子，使之在地面上沿 轴的正方向从x=a处移动到x=b处，在这个过程中，你施加在箱子上的力是一个常力，F=k ．如果把 看为距离x的函数，其图像在图1(a)中给出。可以注意到，在这个过程中，这个力所做的功就是W=Fd=k(b-a)，而这个值正是W=F的图像下方区域的面积（见图1(b)）。
但是，如果做功的不是常力而是变化的力呢?例如，如果施加在箱子上的力随着距离的变化而变化（也就是在某些位置你用的力要比其他位置时的力要大一些）．更精确一些，假设你推着箱子沿 轴的正方向x=a处移动到x=b，在a和b之间的每个点x处施加在箱子上的力是f(x)．图2给出了作为距离x的函数的力F的图像。
同样的分析方法可以用来说明弹簧做功、水施加在某个平面上的压力等很多问题的建模。工程师们也可以利用本问题中给出的方法求出水库中水施加到大坝背面的总的力的大小。面积分析中蕴含的这种深刻的思维方法是先分割逼近，找到规律，再累计求和，从而达到了解整体的目的。这种方法也称作微元法。但使用这种思维模式解决问题也是有条件的，选取微元需要遵循一些原则，分别是可加性、有序性和平权性。
所谓的可加性是指所选取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；而有序性则是为了保证所选取的“微元” 在叠加区域内可以“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，所以在选取“微元”时，应该按照关于量的某种顺序进行；至于平权性，则是因为积分思想中的叠加演算实际上是一种的复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数”，这种叠加演算（也就是计算定积分的过程）极为冗杂，需要很高的计算能力，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会使得计算形式变得简便易行。
面积分析所使用的模式还可用于各领域内很多量的建模，下面以问题的形式对此进一步加以介绍。
问题1．车行驶的距离 距离=速度×时间，所以如果一辆车，比如，以70 mi/h的速度行驶5小时，行驶经过的距离应该是350 mi．但如果车的速度是变化的呢？而实际车辆的行驶，速度一般都是在不时的变化．比如设一个移动物体在时间t时的速度是v(t)．解释为什么这个物体在t=a到t=b之间行驶的距离就是v图像下方位于t=a到t=b之间的区域的面积．
问题2．热容 如果一天室外的温度达到一个最大值90oF，接下来一天的最高温度是80oF，那么我们可能会说第一天比第二天要热一些．然而，如果第一天的温度在多数时间都低于60oF，到达最高温度90oF仅仅是少量时间，而接下来的这天的温度大多数时间都在75oF以上．现在你来判断一下，哪天更热一些?要更好地测量某天的热的程度，科学家们使用热度时的概念．如果温度为一个常数D度时经过了t小时，那么在这一段时间内产生的“热容”是Dt热度时，而热度时=温度×时间。如果温度不是一个常数，那么热度时的量等于温度函数在温度区间内的图像下面的面积，如这个问题中所给出的。
由面积分析所蕴含的思想辐射到各个领域各种方面的应用，充分说明了数学知识的重要性。知识就是力量，已经被历史证明，正如英国十七世纪著名的思想家、政治家和经验主义哲学家弗朗西斯培根所说，“数学是打开科学大门的钥匙”。
参考文献
[1]微积分初步-问题引导法，第6版，David Cohen,Ted Lee,David Sklar，2005 Thomson Brooks/Cole,a part of The Thomson Corporation.
[2]数学的来源，David Eugene Smith（纽约：Dover出版社，1959）.
论文作者:赵金荣 周维山
论文发表刊物:《知识-力量》2019年11月50期
论文发表时间:2019/11/12
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