商业企业在返利条件下利润最大化的销售量决策，本文主要内容关键词为：条件下论文,销售量论文,利润论文,商业论文,企业论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F713.54文献标识码：A
现阶段，生产厂商在产品销售过程中都普遍使用返利手段来促进销售。所谓返利是指卖方根据买方按期完成销售情况，按合同规定，从收入的全部货款中以一定百分比回付给买方的款项。在返利情况下，不少商业企业销售量越来越大，但利润几乎不增加，有的甚至降低。究其原因是商业企业未能弄清和处理好返利与销售量、成本、利润之间的关系，故很有必要对商业企业在返利条件下利润最大化的销售量决策进行探讨。
一、无返利条件下利润最大化的销售量
（一）成本与销售量的关系分析
在一定的条件下，商业企业销售一种产品的边际成本（MC）与平均成本（AC），在开始时都是随着销售量的增加而递减；但当销售量增加到一定限度，就由于“报酬递减规律”的作用转为递增，如图1所示。
按商业企业成本习性可把总成本划分为固定成本、变动成本和混合成本：在一定条件下，固定成本总额不随销售量的增减而变动；而单位固定成本则与销售量的增减成反比。变动成本总额随销售量的增减成正比变动；而单位变动成本则不随销售量的增减而固定不变。混合成本兼有固定成本和变动成本两种不同的习性，它虽然也随销售量的增加而递增，但不是线性关系。产品成本公式如下：
C[,i]＝─+V[,i]+αQ（1）
C＝C[,i]O＝F+V[,i]O+αQ（2）
式中：C[,i]为单位成本；F为固定成本；V[,i]为单位变动成本；α为混合成本系数（α＞0）；Q为销售量；C为总成本。
混合成本系数α的确定，一般运用统计分析法，根据以往销售类似产品的销售量与成本数据，绘制散布图，找出反映混合成本变动趋势线，按照混合成本等于αQ[2]倒推出混合成本系数α；然后根据市场销售因素差异性对α适当修正。
（二）利润与销售量的关系分析
总利润等于总收入减去总成本，通过分析销售收入与销售量的关系，则能分清利润与销售量的关系。在一定的条件下，有“报酬递减规律”的作用可知，销售量很大，价格很低，得不到最大利润；价格很高，销售量很小，也得不到最大利润；价格很高，销售量很大，促销费用极大，还是得不到最大利润；其变化规律如图2所示。 总利润的公式为：
P＝R－C （3）
R＝P[,i]·Q （4）
式中：P为总利润；R为总收入；P[,i]为销售单价。因为P是Q 的函数，将P对Q求微分，可得到P的极大值。
dP d[2]PdP
───＝P[,i]－V[,i]－2αQ且───＝－2α＜0有极大值。令───
dQ dQ[2]dQ
P[,i]－V[,i]
＝0，得Q[*]＝─────── （5）
2α
把（2）、（4）、（5）代入（3），得最大利润
（P[,i]－V[,i]）[2]
P[*]＝──────────－F（6）
4α
二、返利条件下利润最大化的销售量决策
（一）利润最大化的销售量
由返利的定义可知，买方按期完成销售量，卖方从其收入的全部货款中按合同规定回付给买方一定百分比的款项；买方不能按期完成销售量，就得不到返利。因此，在返利条件下利润的表达式为：
P＝R－CR
＝P[,i]Q+tkV[,i]Q （7）
其中：t为返利系数，0≤t＜1，t 是卖方根据买方在合同期的进货量来确定的；kV[,i]为买方进价或卖方售价，k 为把买方单位变动成本折算成进价或卖方售价的折算系数，0＜k＜1；tkV[,i]Q 为一个合同期卖方返给买方的返利额。
得：P＝（P[,i]+tkV[,i]）Q－（F+V[,i]Q+αQ[2]）
＝〔P[,i]－（1－tk）V[,i]〕Q－αQ[2]－F （8）
因为P是Q的函数，将P对Q求微分，可得P的极大值。
dP
即：──＝P[,i]－（1－tk）V[,i]－2αQ
dQ
d[2]P
且───＝－2α＜0有极大值
dQ[2]
dP〔P[,i]－（1－tk）V[,i]〕 P[,i]－V[,i]
令──＝0，得Q＝──────────────＝────────
dQ2α 2α
tkV[,i] tkV[,i]
+─────＝Q[*]+───── （9）
2α 2α
〔P[,i]－（1－tk）V[,i]〕[2]
把Q代入（8），得P[,max]＝───────────────－F
4α
P[,i]－（1－tk）V[,i]
即当销售量为Q＝───────────时，盈利最大为P[,max]。
2α
（二）返利条件下的销售量决策
1.了解卖方收益成本结构、各地市场销售和返利情况以及类似产品的进销价，剔除返利的虚假部分（不论各地商家进货多少均给一定的返利，则这部分返利称虚假返利）。
2.争取在销售（进货）量等于或小于（Q[*]+tkV[,i]／2α）时，获得实质性返利（剔除虚假部分后的返利）；此时，买方利润P＞P[*] ，且销售压力较轻。
3.当生产厂商坚持在销售量大于（Q[*]+tkV[,i]／2α）时给予返利情况下，商业企业一方面要衡量自己能否完成销售任务；另一方面要测算在完成所要求销售量的情况下，获得利润P是否远大于P[*]。 如果二个方面均能达到，则可接受；否则，不可接受；继续与厂商商谈返利事宜，直到可接受为止。
三、实例分析
笔者曾对北京市某汽车听装润滑油厂和它在江苏的三个地区代理商1998年销售和财务情况进行了调查分析，厂方获利为10%，三个代理商A、B和C进价、销售价、成本结构、市场容量和消费水平基本相同， 各自的合同返利条件、利润、成本结构和销售情况如表1所示。
表1 三个商家（A、B、C）销售量、返利、利润情况一览表〔1〕
买方销售收入(万元)
买 方
销量Q 总成本
(万听) A无返利
B返利
C返利(万元)
3102.00 102.00 102.00 98.77
4136.00 136.00 136.00130.58
5170.00 171.40 170.00163.35
5.8017
197.26 198.88 197.26190.30
6204.00 205.68 205.68197.06
7238.00 239.96 241.92231.73
8272.00 274.24 276.48267.34
9306.00 313.56 311.04303.89
9.5 323.00 330.98 328.32322.53
10
340.00 348.40 345.60341.40
买方总利润(万元)
(万听) A无返利 B返利 C返利
3 3.233.23 3.23
4 5.425.42 5.42
5 6.658.05 6.65
5.80176.968.58 6.96
6 6.948.62 8.62
7 6.278.23 10.19
8 4.666.90 9.14
9 2.119.67 7.15
9.5
0.478.45 5.79
10
-1.407.00 4.20
表1注：①进价28元／听，销售价34元／听，F为9万元／年，V[ ,i]为28.50元／听，α为0.474×10[-4]，k为98.25%。②A无返利。③返利：Q为0～5时，t[,B]＝0；Q为5～9时，t[,B]＝1%；Q≥9时，t[,B]＝3%。④返利：Q为0～6.0时，t[,B]＝0；Q为6.0～7.0时，t[,C]＝1%；Q≥7.0时，T[,C]＝2%。⑤表中数据保留两位小数。
1998年A实现年销售量4万听，获利5.42万元；B实现年销售量9.5万听，获利8.45万元；C实现年销售量7万听，获利10.19万元。
从实例分析中可得到以下结论：
1.从利润收益方面来看，在一定的条件下，销售量愈大，不一定收获愈大，这是由“报酬递减规律”决定的。实例中三家买方销售量B ＞＞C＞A，而获利是C＞B＞A。
2.卖方运用返利手段促进销售是成功的，在实例中，有返利的B、C在销售量和商家获利上，均大于无返利的A；而卖方获利也是B（18.62万元）＞C（15.68万元）＞A（11.2万元）。
3.买方在返利条件下利润最大的销售量决策方面，C优于B，在实例中，根据公式（9）可知：t为0.1%、2%、3%时，与最大利润P相对应的Q分别为5.8017万听、6.0971万听、6.3924万听、6.6878万听。而C获利的返利条件与计算的结果较近，故获利最大；B获得1%的返利条件是很优惠的，但追求3%的返利，从利润角度讲是一种失策。
综上，本文为商业企业提供了一种在返利条件下利润最大化的决策方法，对此不仅用数学方法进行了证明，而且用实例分析进行了验证。但仍有进一步探讨的必要，如将生产企业采用返利手段促进销售后，把生产企业规模效益提高与商业企业利润的最大化进行建立模型系统探讨，这将是一个有探讨意义的问题。
收稿日期：1999—06—10