王立欣[1]2000年在《关于树的整和数的研究》文中认为和图与整和图的概念是由Frank Harary[13][15]提出的。近年来人们对该领域进行了大量的研究和探索，取得了不少成果，同时仍存在许多未解决的问题。本文首先系统地总结了十年来关于和图与整和图的研究成果和研究进展[7-33]。其次详细介绍了Ellingham标号算法[8]，此算法可以证明任意非平凡树T的和数均为1。在Ellingham标号算法的基础上，通过引入悬挂路和尾巴这两个新概念，我们将树的和标号成功地推广为树的整和标号，从而得到关于整和图的一个结论，即尾巴长度不小于3的树均为整和图。此结论改进了[17]中由粘贴法得到的一类整和树的结论。此外，我们证明了双星是整和图，从而推翻了[15]的一个结论：S（1，3）和 S（2，2）不是整和图。我们还指出在同构的意义下双星的整和标号是唯一的。
魏建新[2]2005年在《关于（模，整）和图的几个结果》文中研究表明本文仅考虑有限无向简单图,所用图论记号及术语遵循文献[1]. 1990年,F.Harary提出了和图的概念,令N表示正整数集,N的非空有限子集S的和图G+(S)是指图(S,E),其中uv∈E当且仅当u+v∈S,一个图G称为和图,若它同构于某个S(?)N的和图,此时我们说S给出了G的一个和标号。而一个图G的和数σ(G)是使得G∪nK_1是和图的非负整数n的最小值。 1994年,F.Harary又介绍了整和图、整和数的概念,即把和图、和数定义中的正整数集N换成整数集Z。 模和图的概念是由Boland等人提出的。模和图是取S(?)Z_m{0}且所有算术运算均取模m(≥|S|+1)的和图,其中Z_m={0,1,2,…,m-1},一个图G的模和数ρ(G)是使得G∪ρK_1是模和图的孤立点数ρ的最小值,这个概念是Sutton等人提出来的。 从实用的角度来看,(整,模)和图标号可用作图的压缩表示,即表示图的数据结构,可作为图的一种定义及存储方式。 目前对和图的研究主要集中在两个方面:一方面研究图的(整)和数与其它图参数、图结构的联系;另一方面是从一些特殊图类着手,确定它们的和数、整和数与模和数。迄今为止,已经取得了许多成果,提出了一些好的方法,给出了一些一般性的理论,并且还将和图的概念推广到了超图上。 在本文的第一章中,我们主要介绍了关于和图的一些概念、术语、符号,而且给出了几个关于(整)和图与其它图参数、图结构联系方面的定理;在第二章确定
徐海涛[3]2006年在《（下整）和图的结构与几类图的（下整）和数》文中指出本文仅考虑有限无向简单图,所用图论符号及术语遵循文献。 1990年,F.Harary提出了和图,和数的概念,从而开始了对和图的研究。 1994年,F.Harary又介绍了整和图,整和数的概念。 令V(G)表示图G的顶点集合,|S|表示集合S中元素的个数。令N(Z)表示正整数(整数)集,N(Z)的非空有限子集S的(整)和图G~+(S)是图(S,E),其中uv∈E当且仅当u+v∈S。一个图G称为(整)和图,若它同构于某个S(?)N(Z)的(整)和图。图G的(整)和数σ(G)(ζ(G))是使得G∪nK_1是(整)和图的非负整数n的最小值。一个连通图的最小度δ是其和数的下界,能达到此下界的图称之为δ-最优的。 模和图的概念是由Boland等人提出的。 模和图是取S(?)Zm{0}且所有算术运算均取模m(≥|S|+1)的和图。一个图G的模和数ρ(G)是使得G∪ρK_1是模和图的孤立点数ρ的最小值。 2004年,李敏提出下整和图的概念。用Q~+表示正有理数集。Q~+的非空有限子集S的下整和图G_+(S)是图(S,E),其中uv∈E当且仅当[u+v]∈S。 从实用的观点来看,各种和图标号都可用作表达图的数据结构,它们比用其他的方式输入图更能节省存储空间。 到目前为止,和图方面的研究已取得许多成果,给出了很多的一般性理论。现在研究的重点主要集中在两个方面:一方面是图的和数与它的图参数、图结构方面的联系;另一方面确定一些特殊图类的(模、整、下整)和数。
王瑞苹[4]2009年在《几类图的（排斥）下整和数》文中进行了进一步梳理本文仅考虑有限无向简单图,所用图论基本术语与符号遵循文献[1].1990年H arary[ 2]提出和图的概念.1994年Harary[3]提出整和图的概念.令N ( Z )表示正整数(整数)集, N ( Z )的非空有限子集S的(整)和图( )G +S是图(S,E),其中uv∈E当且仅当u+v∈S.一个图G称为(整)和图,若它同构于某个S ? N ( Z)的(整)和图.此时我们说S给出了G的一个(整)和标号,并且将顶点与其标号不加区分.G的(整)和数σ( G)(ζ(G))是使得G∪nK1是(整)和图的非负整数n的最小值.2005年Miller等人[4]提出排斥图的概念.图G∪nK1的(整)和标号S称为排斥的( exclusive ),若uv∈E ( G )当且仅当u + v∈S V ( G).图G的排斥(整)和数ε(G)(ζ′( G)是使得G∪nK1有排斥(整)和标号的非负整数n的最小值.2006年,李敏等人[5]提出下整和图的概念.令Q *表示正有理数集. Q *的非空有限子集S的下整和图( )G +S是图( S,E ),其中uv∈E当且仅当?? u +v??∈S.一个图G称为下整和图,若它同构于某个S ? Q*的下整和图.我们说S给出G的一个下整和标号,并且顶点与其标号不加区分.下整和数( )σ' G是使得G∪nK1是下整和图的非负整数n的最小值.图G∪nK1的下整和标号S称为排斥的( exclusive ),若uv∈E ( G)当且仅当?? u + v ??∈S V ( G) .图G的排斥下整和数ε/ (G)是使得G∪nK1有排斥下整和标号的非负整数n的最小值.2007年窦文卿等人[ 8 ]提出模整和图的概念.模整和图是取S ? {0,1,2, , m? 1},且所有算术运算均取模m (≥S)的和图.一个图G的模整和数ψ(G )是使得G∪nK1是模整和图的非负整数n的最小值.从实用的观点来看,各种和图标号都可被计算机用作图的压缩表示.当利用它们来工作时,不仅可以节省内存,还可以加快某些图算法的运算速度.在本文的第一章中,我们主要介绍了文章中所涉及的一些概念、术语、符号;在第二章中我们称图( V,E )(其中V = a1 , a2 , b1 , b2 , , bn , c1 ,c2,E = a1 a2 , c1 c 2 , a1 b i , c1 bi i = 1,2,,n )为灯笼,称去掉悬挂点a2的图为残灯笼;称将n个K 3,m个K 2的各一个点粘合在一起所得的图为风车, K 2的边叫其柄;称由具有一个公共端点的三条路Pm , Pn ,Pt组成的图为三路树,记作P ( m, n ,t );称图( )C n,2 = V ,E( { }其中n≥3, V =a1 , a2 , , an ,c, E = a1 a2 , a 2 a3, , an ?1 an , an a1 ,ca2)为气球.我们给出了它们的(排斥)下整和数;第三章中,我们确定了不交完全二部图的并的排斥下整和数、两个不交完全三部图的并的排斥下整和数、K n∪mK2的(排斥)下整和数.本文中我们主要得到如下定理:定理2.1.1路Pn ( n≥2)的排斥下整和数是1,即( )ε' Pn= 1.定理2.2.1灯笼Bn ( n≥2)是下整和图,灯笼Bn ( n≥3)的排斥下整和数是1,即( )ε' Bn= 1.定理2.2.2残灯笼( )Bn * n≥2是下整和图,排斥下整和数是1,即. ( )ε' Bn* = 1.定理2.3.1有柄风车是下整和图,无柄风车不是下整和图.定理2.4.1 n为偶数时, ( ( ))ε' P n? 3,2,4 = 1.定理2.5.1气球的排斥下整和数是1或者是2,即( )定理3.1.1不交完全二部图的并的排斥下整和数是1,即定理3.2.1两个不交完全三部图的并的排斥下整和数是2,即定理3.3.1 K n∪mK2是下整和图,排斥下整和数是1,即
张明[5]2005年在《图论中和图标号问题的研究》文中提出图论是数学的一个分支,特别是离散数学的一个重要分支,它在物理、化学、天文、地理、生物学,尤其是计算机科学中有非常广泛的应用。 本文主要研究图的标号问题,图的标号问题起始于1966年A。Rosa的著名的优美树猜想。一个图的顶点标号是图的顶点集到整数集的映射。而根据对映射的不同的要求,产生了各种各样的图的标号问题。1988年,F。Harary给出(整)和图的标号;1990年,Bollaud,Laskar,Yurner和Domke把和图推广到模和图。2000年,Sonntag和Teichert把(整)和图的概念推广到超图上。 和图标号在射电天文学及计算机网络理论中有着广泛的应用。本文研究了三类标号:(整)和图标号、模和图标号、(整)和超图标号。分别解决了三类标号中的一些问题和猜想。主要工作概括如下: 给出完全三部图K_(1,1,r)r≥3的(整)和数、完全三部图K_(1,r,r)r≥2(整)和数的一个上下界;并证明了扇图F_n及任意个扇图在中心处相交构成的图是整和图,同时荷兰风车D_n也是和图、整和图、模和图。Chen猜想树是整和图,本文证明了花树是整和图;用粘合法推广了一类整和图(任意一个整和图和三叉树的沾合);给出单位图(σ(G)=1)和星图的并,任意星图的并是整和图。 Sutton,Miller,Ryan和Slamin中提出了两个问题:扇图(F_n)和K_(n,n)的模和数。本文证明了扇图(F_n)不是模和图,并给出当n偶数时,ρ(F_n)=2;ρ(K_n,n)=n。 Sonntag和Teichert猜想:当d≤n-2时,ζ((?)_n~d)=σ((?)_n~d)。本文证明了当n≥2d+1时。ζ((?)_n~d)=σ((?)_n~d),当d≥4时,给出了d-正则超圈是超整和图。把模和图推广到超图上去,并证明了当d≥4时,d-正则超树,d-正则超圈是超模和图。给出完全d-正则超图((?)_n~d),当d=n,n-1,(?)_n~d是模和超图,当n≥2~d+d不是模和超图。
石端银[6]2005年在《关于模和图与整和图的一些新结论》文中提出图论是数学的一个分支,特别是离散数学的一个重要分支,它在物理、化学、天文、地理、生物学,尤其是计算机科学中有非常广泛的应用。 图的标号问题的研究源自于1967年Rosa的一篇论文《On certain valuation of the vertices of a graph》。图G的顶点标号是标号f到G的顶点分配,使得对每一条边uv,推出的标号依赖于顶点标号f(u)和f(v)。早在1988年,Harary介绍了和图的概念,图G(V,E)被称为和图(sum graph),若有个从顶点集V到正整数集合S的单射f,uv∈E当且仅当f(u)+f(v)∈S。在和图中,由于具有最大标号的那个顶点没有与之相邻的顶点,所以每一个和图都一定包含孤立点,对于一个连通图G,我们令σ(G)表示使得图G成为和图的最少孤立点的个数,称为G的和数。 在1990年,J.Boland, R.Laskar, C.Turner和J.Domke提出了模和图的概念,图G(V,E)被称为模和图(Mod sum graph),若存在一个正整数n和—个从顶点集V到{1,2,…,n-1}_的单射f使得对某个顶点w有:uv∈E当且仅当f(u)+f(v)=(mod n)=f(w)。显然所有的和图都是模和图,反之不成立。对于一个连通图G(V,E),如果它不是模和图,则我们用p(G)来表示使得G成为模和图的最少孤立点的个数,称其为G的模和数。 在1994年,Harary又进一步推广了和图的概念,允许S是全体整数集,即对于图G(V,E),如果存在有顶点集V到全体整数集Z的一个映射标号λ满足:uv∈E当且仅当λ(u)+λ(v)=λ(w),其中u,v,w∈V,则称图G为整和图(Integral sum graph)。并非所有的连通图都是整和图;对于一个连通图G,如果它不是整和图,则我们用ξ(G)来表示使得G称为整合图的最少孤立点的个数,称其为G的整和数。 本文取得的主要工作可概括如下: 1.在本文第三章第二节中,证明了一类新型的模和图<C_4;n>,<C_5;n>,<C_6;n>。 2.在本文第四章第二节中,利用粘合的思想方法证明了龙虾树和花树都是整和图。 3.在本文第四章第三节中,又证明了MS{m~n}是整和图。
李婧梓[7]2007年在《关于（下）整和图的若干结果》文中研究指明本文所用图论基本术语与符号遵循文献[1]。1990年Harary提出和图的概念。1994年Harary提出整和图的概念。令N(Z)表示正整数(整数)集，N(Z)的非空有限子集S的(整)和图G~+(S)是图(S，E)，其中uv∈E当且仅当u+v∈S。一个图G称为(整)和图，若它同构于某个S(?)N(Z)的(整)和图，我们说S给出了G的一个(整)和标号，并且将顶点与其标号不加区分。G的(整)和数σ(G)(ζ(G))是使得G∪nK_1是(整)和图的非负整数n的最小值。1990年Boland等人提出模和图的概念。模和图是取S(?){1，2，…，m-1}且所有算术运算均取模m(≥|S|+1)的和图。由此，2002年Sutton等人提出了模和数的概念。一个图G的模和数ρ(G)是使得G∪nK_1是模和图的非负整数n的最小值。2006年，李敏等人提出下整和图的概念。用[x]表示不超过实数x的最大整数(称为x的下整数)，Q~*表示正有理数集。Q~*的非空有限子集S的下整和图G+(S)是图(S，E)，其中uv∈E当且仅当|u+v|∈S。一个图G称为下整和图，若它同构于某个S(?)Q~*的下整和图。我们说S给出G的一个下整和标号，并且顶点与其标号不加区分。下整和数σ′(G)是使得G∪nK_1是下整和图的非负整数n的最小值。从实用的观点看，计算机可将图的(各种)和标号作为图的压缩表示，利用它工作时，不仅可以节省内存，还可以加快某些图算法的运算速度。到目前为止，对和图的研究主要集中在两个方面：一方面是图的(模、整、下整)和数与其图参数、图结构方面的联系；另一方面确定一些特殊图类的(模、整、下整)和数。迄今为止，已经取得了许多成果，提出了一些好的方法，给出了一些一般的结论，并将和图的研究推广到了超图上。在本文的第一章中，我们主要介绍了关于和图的一些概念、术语和符号以及前人关于和图的一些重要研究结果；在第二章中我们讨论了由粘合得到的一类图的整和性；第三章中，我们确定了偶圈、气球、轮星、扇星的下整和数；在第四章中，确定了不交完全二部图、完全三部图的并的下整和性。在本文中，我们主要得到如下定理：定理2．1设G_0是关于r_0的星和图，P(a，b)是毛虫T的脊，则(G_0，r_0)∞(T，a)是关于b上的一悬挂点的星和图，特别地(G_0，r_0)∞(T，a)是整和图。定理2．2令(G，r)=(G_0，r_0)∞(G′，r′)，其中G_0是关于r_0的星和图，(G′，r′)=(G′(n_1，n_2，…，n_t)，r′)是广义星，其中t是这些路中最长路的长，n_i是这些路中长为i的条数(1≤i≤t)，则G是整和图。定理3．1．3除G_4为下整和图外，偶圈C_(2n)的下整和数为1。定理3．2．1当n≥4且n为偶数时，气球C_(n，2)是下整和图。定理3．3．4当n≥3，m≥2时，轮星W_(n，m)是下整和图。定理3．3．6当m≥1时，扇星F_(n，m)是下整和图。定理4．1．3 K_(n_1，m_1)∪K_(n_2，m_2)∪…∪K_(n_r，m_r)是下整和图。定理4．2．3当m，n，p，r，l≥2时，K_(m，n，p)∪K_(r，s，l)的下整和数为2。定理4．2．4当n≥4时，K_(1，m，n)∪K_(r，s，l)为下整和图。
程绩[8]2006年在《有向超图理论及其有向和标号》文中认为为了恰当地表示大型超网络、数据库系统、时间安排和线路设计等研究课题中各元素之间的关系,有向超图模型做为一般图的推广被自然的引入。由于其良好的应用背景,有向超图理论成为现在图论领域中迅速发展的子学科之一。本论文首先综述了无向超图的基本概念和研究现状,然后统一各种文献中有向超图的概念。文章根据有向超边的大小定义了不同类型的有向超图,并通过作对称象和添加虚拟顶点等不同方法实现了各类有向超图之间的转换。另外定义了有向超图的基础超图和有向二部图,它们在后面的讨论中有非常重要的应用。其次,在有向超图的性质方面,重点研究了路径、超路径间的关系,在这里定义顶点间连通与超连通。给出一个求解无向超图和有向超图中最短路径的有效算法,并且提出有向超图中的最短超路径问题。同时研究了有向超图的可平面性,通过定义有向超图的结构图,在有向超图的可平面性判断与其结构图的可平面性判断之间,在BF-超图的可平面性判断与无向超图的Zykov平面性判断之间建立起等价关系,并且证明这些判断都是可在线性时间完成的。第三,有向超图的应用是本论文研究的重点之一,受无向超图的各种特殊标号方式的启发,提出了基于有向超图的一种新的标号方式——有向和标号,即对有向超图顶点的一一映射整数标号,使每一条有向超边的头顶点和尾顶点的标号和相等。结合定义给出了一个有向超图存在有向和标号的充要条件以及几个必要条件。将判断有向和标号的存在性和求解由关联矩阵确定的线性方程组联系起来,给出了有向和标号的算法以及标号的一般步骤。特别地,文章讨论了B-超图和有向星这两类特殊有向超图的标号情况,给出了B-超图有向和S的范围,并对不同类型的有向星标号情况作了讨论。最后提出了有向和标号继续研究的两个新方向:1).添加孤立点后的标号问题;2).基于有向和标号的规划问题。在系统建立有向超图理论的基础上,本文研究了有向超图的路径与超路径以及有向超图的可平面性这两个非常重要的性质。并结合实际问题的需要,研究了全新的标号方式——有向和标号,对有向超图给出了求解标号存在性以及标号方式的算法和求解步骤。
高秀莲[9]2006年在《几类图的（排斥，排斥整，下整）和数》文中进行了进一步梳理本文仅考虑有限无向简单图,所用图论基本术语与符号遵循文献[1].1990年Harary[2]提出和图的概念.1994年Harary[3]提出整和图的概念.令N(Z)表示正整数(整数)集,N(Z)的非空有限子集S的和(整和)图G+(S)是图(S,E),其中uv∈E当且仅当u+v∈S .一个图G称为和(整和)图,若它同构于某个S?N(Z)的和(整和)图.此时我们说S给出了G的一个和(整和)标号,并且将顶点与其标号不加区分.G的和数(整和数)σ(G)(ζ(G))是使得G∪nK1是和图(整和图)的非负整数n的最小值.2003年Miller[4]等人提出排斥图的概念.图G∪nK1的(整)和标号S称为排斥的(exclusive),若对每条边uv∈E(G) ,u+v∈S V(G).图G的排斥和(整和)数ε(G)(ζ′( G))是使得G∪nK1有排斥和(整和)标号的非负整数n的最小值.2004年李敏[5]提出下整和图的概念.令Q+表示正有理数集. Q+的非空有限子集S的下整和图G+ (S)是图(S,E) ,其中uv∈E当且仅当?u + v?∈S .一个图G称为下整和图,若它同构于某个S? Q+的下整和图.我们说S给出G的一个下整和标号,并且顶点与标号不加区分.下整和数σ' (G)是使得G∪nK1是下整和图的非负整数n的最小值.图G∪nK1的下整和标号S称为排斥的(exclusive),若对每条边uv∈E(G)当且仅当?u + v?∈S V(G) .图G的排斥下整和数ε/ (G)是使得G∪nK1有排斥下整和标号的非负整数n的最小值.从实用的观点来看,各种和图标号都可被计算机用作图的压缩表示.当利用它们来工作时,不仅可以节省内存,还可以加快某些图算法的运算速度.在本文的第一章中,我们主要介绍了一些文章中所涉及的概念,术语,符号;第二章介绍了棱柱En( n≥3)、残棱柱E n*( n≥3)、残皇冠Cn′⊙K1( n≥3)、梯子
高秀莲[10]2011年在《几类整和数树》文中指出一个图G称为和(整和)图,若它同构于某个SN(Z)的和(整和)图.树是图论中的一种常见的重要图形,本文证明了三毛虫树、偶星毛虫树、至多含三支奇毛虫的星毛虫树、广义双星、广义毛虫都是整和图.
参考文献：
[1]. 关于树的整和数的研究[D]. 王立欣. 河北工业大学. 2000
[2]. 关于（模，整）和图的几个结果[D]. 魏建新. 山东师范大学. 2005
[3]. （下整）和图的结构与几类图的（下整）和数[D]. 徐海涛. 山东师范大学. 2006
[4]. 几类图的（排斥）下整和数[D]. 王瑞苹. 山东师范大学. 2009
[5]. 图论中和图标号问题的研究[D]. 张明. 大连理工大学. 2005
[6]. 关于模和图与整和图的一些新结论[D]. 石端银. 大连理工大学. 2005
[7]. 关于（下）整和图的若干结果[D]. 李婧梓. 山东师范大学. 2007
[8]. 有向超图理论及其有向和标号[D]. 程绩. 重庆大学. 2006
[9]. 几类图的（排斥，排斥整，下整）和数[D]. 高秀莲. 山东师范大学. 2006
[10]. 几类整和数树[J]. 高秀莲. 德州学院学报. 2011