认清教学门道 合理掌控教学——谈如何抓住教材中蕴藏的数学思想和方法设计教学，本文主要内容关键词为：门道论文,教材论文,思想论文,数学论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
门道，即思想和方法。义务教育课程标准实验教科书已经沿用多年，蕴藏于教材中丰富的数学思想和方法在被老师津津乐道地谈论的同时，却很少被老师归纳、继承和沿用，这很可惜。本文试借6则亲历内容的设计，举6种“合理掌控教学”之说，提6点“认清教学门道”之法，与大家谈6类“有效教学”之实。
一、“瞻前顾后”法
数学学习是连续的，教材每一章中的每一节教学内容都具有连续性，尤其是现行义务教育课程标准实验教科书，都把《数学课程标准》要求学习的内容按照学生的认知发展规律和知识发展、演变的需要分配到各个学段，再在每册中设定大章内容，并依据知识的前后需要安排每个小节。相对之前的教材编排，一个明显的改变是许多小节又被按需分配为1、2或1、2、3等多个教学小节，这种承上启下的小节安排，既强化了每个小节作为教材“单元”的基础作用，展示了小节的独立性，更强调着教学内容的连续性。因此，备课时的教材阅读和教材分析阶段，应该瞻前顾后，以实现课堂教学内容的有效对接。
浙教版八上第二章《特殊三角形》中2.5节是《直角三角形》（见教材33页），本节又安排1、2两个教学小节。内容2的教学目标是经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的发现过程。老的浙教版教材是在学习了矩形的“对角线互相平分且相等”之后才提出并证明上述定理的。但新教材中此节教学重点是直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。由于在内容1中，已经提出等腰直角三角形并探索其斜边上的中线的性质（见教材33页例2）。因此，内容2教学可安排如下：
步骤1 复习回顾。复习等腰直角三角形的性质，即在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，则
。
步骤2 提出问题。在步骤1问题中，AD到底是以顶角的角平分线的身份、底边上的中线还是以底边上的高线的身份，才满足上述性质的呢？
步骤3 寻找方法，实践验证。请同学们任意作一个（或几个）直角三角形，画出斜边上的中线、高线和直角的角平分线，看一看，哪一种线等于
？
学生通过画图比较，顺利找出了满足上述问题的AD是中线，不是高线或角平分线。设计以例为线，瞻前顾后，承上启下，紧密联系前后知识内容，实现课堂教学知识的有效对接。这一招无疑是教材安排中的一个成功点，巧妙的设计更有效地提高了课堂教学效率。
二、“认准规则”法
现行数学教材，往往以知识点为纲，通过能明确反映数学思想的教学素材中的规则要领来丰满教学思想，引导课堂教学的展开。因此，认准教学素材的规则要领，看清材料中蕴藏的数学思想和教学策略，选好统一规范的教学路径，才能在课堂上不走“回头路”，才能保证课堂教学的连续和实效。
北师大版九（上）6.1《频率与概率》中有如下内容：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2。从每组牌中各摸出一张，称为一次实验。
笔者在听课时发现小组合作学习的汇报结果，令人咂舌，相差迥异，后经与老师讨论分析才发现有的合作小组早已把“两组相同的牌，每组两张”共4张合为一组，理解为：把准备好的两组相同的牌放在一起组成一组，两张牌的牌面数字分别是1和2，从4张牌中同时摸出两张牌称为一次实验。而这两个试验，“两张牌的牌面数字和等于3的频率”显然是不同的，若老师在进入课堂前自身不能辨清这个事实，不能在设计中预见这个规则应该试验前“统一规范”，势必导致课堂教学试验失误，从而延缓课堂的发展，减弱课堂的教学功能。
这个课例从另一个角度告诉我们，教学设计应该尊重教学素材，尊重教学素材就要认清教学素材的规则要领，就要理清教学素材中的“易错点”和“失误点”。统一规范的规则要领，才能让教学课堂生机盎然，才能让课堂实效得以落实，这是开展有效的教学活动必备之法门，也是教学设计必备的关键。
三、“制作演示”法
数学教学的关键是让学生在自己的脑海中有意识地建立起自己的数学知识网络，为帮助教学实现这个目的，教材也竭其所能地展示每节内容的特点和知识本质。因此，认识并开发教材的这些功能，事关教学内容与教学方法的结合程度及有效性，不容小视。如锐角三角函数，教学总目标是促使学生建立三角函数概念，包括以下两个特性：①变化性——随着角的大小的变化，以该角为内角的直角三角形的各边的比值在变化；②唯一性——当角的大小确定时，以该角为内角的直角三角形的各边的比值唯一确定。
为体现三角函数的上述特性，各教材都为本节内容设计了必要的教学探究活动，其中浙教版教材还设计了一组“合作学习”，但这是不必要的。首先，该合作学习目的性不强。教材试图通过走特殊到一般的路线来呈现三角函数特征，并期望学生由此归纳得出概念的本质，这个设想很好，值得重视。但从教学过程看，学生只就单一情形提出相应数量关系，达不到归纳提炼的目的；其次，学生已有较好的三角形函数相关知识经验，如相似三角形对应边成比例、特殊三角形的边的大小关系等，学生还未建立的仅仅是三角形函数概念本身。为实现教学设计，并弥补上述不足，可制作如下演示器：如图1，在废旧圆规的两个张脚上都标上准确的刻度，另一边作一个滑道，并在滑道上制作一个勾，便于悬挂小铅锤，滑动小铅锤，铅锤线总对应着相应位置的数据。
演示时，张开规角α，记录数据。当α变化时，两个直角三角形中α的邻边与斜边的比值大小一样，α越大，比值越小；α越小，比值越大。这说明三角形函数的变化性。当α确定时，把铅锤沿着轨道移动，则α所在的直角三角形的各边比值大小相等。这说明三角函数值的确定性。演示器非常突出函数特性，学生的猜想能在演示中得到一步一步地验证，思辨过程也就一步一步紧逼三角函数的本质特征。这样的过程设计，既完成了概念特性的演示，凸显了知识本质，也完成已有知识的回顾，感受了对比学习的重要性。这个制作的原创者是衢州市柯城区沟溪初中的徐建珍老师，特在此表示感谢。
四、“先破后立”法
教学中，破与立是相对的。破，是在不破坏教学目标的前提下，改变教学设计思路，突破教学已有的设计意图的固囿，实现教学的改变。破，有破的要诀。立，是指在破的基础上重组教材素材，重树新的教学思路，使教学与教师自身风格、学生认知事实、教学客观条件相吻合，实现教学的有效性。立有立的意旨。
《圆周角》的习惯教学设计一般是引出圆周角概念之后，提出一边为直径的圆周角与圆心角（同弧所对）的大小关系，再引申到另两种情形。这类设计没有突出学生必须理解的2个数学事实：①为什么要分类证明？不分类讨论可不可以？②怎样让学生自觉地认同过直径的作用并在后继证明中自觉地利用这条辅助线？
鉴于上述元素，笔者在新授《圆周角》时，采用如下设计：先由与半径相等的弦分析弦所对的弧（优弧或劣弧），并求圆心角的度数，强调“所对”；拖动圆心角的顶点至圆周上，使其一边仍然经过圆心，求这个角的度数，强调“直径”；在圆周上移动角的顶点，展示圆心与角的位置关系，促使学生树立分类解决问题思想，并求各种情形下的角的度数，强调“分类”；依据所求，分析这类角与圆心角的大小关系，提出“圆周角”概念及圆周角定理，“认识定理”；简易证明圆周角定理。这个设计，难点解决有效，定理的证明是“水到渠成”，并且老师的书写可以突出一类情形，其他由学生自觉完成。
继续拖动顶点，让学生感知一条弦所对的圆周角有2个，它们的顶点分别在弦所对的优弧或劣弧上，与引课呼应，并提出圆内接四边形及对角关系；改变，拖动弦的一个顶点，使这条弦拓展为直径，导出推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。整个过程，同步分析了例1，也解决了定理的应用问题，学生也明白了为什么要分类以及为什么要从一边是直径的圆周角开始探究的道理。这样的破，旨在为更有效的“立”作准备，教学由此也获得了更好的“新生”。
五、“于旧引新”法
中学数学特级教师张思明老师曾说过：数学学习就是数学复习。应该说，张老师从数学教学的又一个视角讲出了个人独特的数学教学观：类比已学，于旧引新。这个说法恰恰也说明了数学教学与数学学习的连贯性与相通性。
《二元一次方程》前，学生已有了一元一次方程、一元一次方程的解、列一元一次方程解决简单实际问题等学习经验。而依据教学安排，《二元一次方程》的教学过程同样也可分3个环节：概念的产生、解的产生、用一个字母的代数式表示另一个字母的数学思想的产生。所以，这两节内容执行3个类比的同时，更应突出教学难点即用一个字母的代数式表示另一个字母的解决问题策略的类比设计和解的产生过程的类比设计。可借鉴如下片段设计：
片段1 解的产生。解决问题：小明要邮寄费用是7.2元的物品，但他只有票额为0.6元和0.8元两种邮票若干张。若设票额为0.6元的邮票需x张，票额为0.8元的邮票需y张，列出方程。
学生列出方程：0.6x+0.8y=7.2。
师：哪位同学愿意来说说你的邮票张贴方案？
生：0.6元的4张，0.8元的6张。
师：你怎么验证你的方案可行呢？
生：把x=4，y=6代入方程，则左边=0.6x+0.8y=0.6×4+0.8×6=7。2=右边，所以满足需要。
师：还有其他方案吗？
生：0.6元的8张，0.8元的3张。
生：全部用0.6元的邮票12张，0.8元的0张。
师：很好。像这样使得二元一次方程左、右两边相等的一对未知数的值就叫做二元一次方程的解。
片段2 用一个字母的代数式表示另一个字母的数学思想的产生。方程：2x+3y=10。判定并让学生尝试写出方程的解。
师：（课件或小黑板展示）完成填图，如图2所示。
学生独立完成求当x=0，1，5时，y的值。
师：大家是怎样求当x=-1时，y的值的呢？
生：把x=-1代入方程，得-2+3y=10。移项，得3y=10+2。合并同类项，得3y=12。两边同除以3，得y=4。
师：当x=0，5时呢？
生：一样。代入后，移项，合并同类项，利用等式的性质2求出y的值。
师：那每根据一个x的值求y，都这样是不是太麻烦了呢？能不能“一步登天”呢？
生：能。把2x+3y=10移项，得3y=10-2x；两边同除以3，得
。以后每次只需把x的值代入这个式子就行了。
师：你很棒，发现了一种优越的解决问题策略，将方程变成这个形式后，只需把已知x的值代入这个式子即可求得y的值。这种方法我们称为“用含字母x的代数式表示y”，当然也可“用含字母y的代数式表示x”。请大家把方程2x+3y=10变形为“用含字母y的代数式表示x”的形式。
两个片段，类比已学，于旧引新，不仅教学自然流畅，还适时突破了教学重、难点，提高了课堂教学效率。
六、“按需优选”法
综合与实践是《数学课程标准（修改稿）》中4个学习领域之一，课题学习是综合与实践在第3学段的具体体现，目标之一是结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展相应的能力。《美妙的镶嵌》就是有着这样目标的一个课题学习内容。
平面几何知识的图形学习顺序是线与角→三角形→四边形→多边形→圆。可镶嵌内容却由荷兰现代版画艺术家埃舍尔的作品引出后，让学生动手操作四边形的镶嵌过程。这里为什么不选择更为简单的三角形，而选择四边形呢？
理由1，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，也就是说要在一点镶嵌，用三角形的个数比用四边形的个数多2个，这说明用三角形拼一幅镶嵌图案的过程比用四边形更为繁杂和困难；理由2，实际生活中，学生广泛接触到的密铺图形多为正方形、长方形，都是四边形（少数地方有正六边形），而很少有三角形的，而四边形分凹四边形和凸四边形，更利于学生深入体验分析问题和解决问题的过程，发展解决问题的能力。即选择四边形更能有效地突出教学内容的本质思想，利于学生发展相应的数学能力，是优选。
综上所述，设计教学必须先认清教材中蕴藏的教学门道，读会其中的教学思想和方法，才能结合教师自身实际和学生学习实际，合理掌控教学。本文从6个方面就6个内容谈了挖掘教材中蕴藏的教学思想的6点方法，并与大家交流，希望我们的数学教学设计思路能为大家提供有效的参考价值，也敬请同仁批评与指正。