逻辑关系图示法——欧拉图、文恩图与逻辑多角阵及其应用，本文主要内容关键词为：逻辑论文,图示论文,及其应用论文,关系论文,欧拉论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
逻辑学中有许多抽象的逻辑关系，记忆起来费时费力，如果用图示方法，可以直观、清楚地表达出来，实践证明，逻辑图示方法不失为一种表达逻辑关系的好方法，它可以寓严密抽象的逻辑关系于直观形象之中，使“枯燥”的逻辑带上一点情趣，凭添一些味道，使人印象深刻，对逻辑学的传播与发展往往起着不可忽视的作用。
逻辑学作为一门比较抽象的理论学科，许多人认为它枯燥、乏味，缺乏情趣。有的人甚至把它比喻成为一杯白开水。其实，这多少是一种误解。众多的逻辑趣谈之类的文字可以使稍有点耐心的读者感觉到逻辑学并非寡味。逻辑学有自己味道。
为了使抽象“乏味”的逻辑关系能够较为形象、直观地表达出来，很早就有人采用图示方法，例如本文要介绍的欧拉图、文恩图和逻辑多角阵。需要指出的是，这些方法本身不是逻辑方法，它们只是用一定的图形巧妙地表达逻辑关系的方法。运用这种方法，可以寓严密抽象的逻辑关系于直观形象之中，使“枯燥”的逻辑带上一点“情趣”，凭添一些味道。因之也显示了这种方法的科学性与生命力。自这些方法诞生之日起，便与逻辑结下了不解之缘，成为逻辑的好伙伴。它们如同逻辑的影子，在历史长河中，与逻辑始终形影不离。更可以把它们比喻成为逻辑战士，一直在为逻辑的传播与发展“鼓与呼”。
一、欧拉图及其应用
欧拉图是瑞士著名数学家欧拉（Leonhard Euler，也有人译作欧勒，1707-1783）首先开始使用的。这种方法的基本要点是用圆圈来表示概念的外延（量）。例如，“人”作为一个概念，它的外延有很多分子。用一个圆圈来表示它的外延大小：
此圆圈表明的是“人”这个概念外延的大小。古往今来凡是能称得上是人的动物都被它包含在内。用不着再去考虑“人”的外延究竟是多大，量到底是多少。总之，凡“人”都在其中。
为了表达同一概念系列或不同概念系列之间逻辑关系（外延关系），欧拉图采用了圆圈的离合方法。设有两个概念为a和b，它们的外延分别为：
从二圆组合上看，可以有以下五种不同的情形：
这五种组合逻辑上依次叫做全同关系、真包含关系、真包含于关系、交叉关系和全异关系。
从图形上看，全同关系表达的是概念a与b外延大小相同而且重合，即a概念的外延同时也是b概念的外延，b概念的外延同时也是a概念的外延。
真包含关系表达的是两个概念a与b外延大小不相等，其中a大b小，且a概念与b概念外延部分重合。
真包含于关系表达的是两个概念a与b外延大小不相等，其中b小a大，且b概念与a概念外延部分重合。
交叉关系表达的是两个概念a与b，它们的外延有部分重合（交叉），即a概念的部分外延同时也是b概念的部分外延，反之亦然。
全异关系表达的是两个概念a与b，它们的外延一点重合也没有，完全排斥。在人类的概念库中，任意两个概念，从外延上讲，无外乎以上五种关系。由此可见，欧拉图可以表达两个概念外延所可能存在的任何一种关系。这种图形组合方法在揭示概念外延间关系上是充足完备的。当然，欧拉图也可以刻划三个或三个以上概念间的关系。例如，设有三个概念a、b、c，它们之间的交叉关系可以用以下一个欧拉图简单、直观地表达出来：
如果用欧拉图刻划直言命题中主项概念(S)与谓项概念(P)的外延关系，我们就不难理解当作出A判断时，只有在S与P处于全同或真包含于关系下才是真的；也不难理解当作出E判断时，只有在全异关系下才是真的，其余情形都是假的。这就是说，运用欧拉图可以帮助我们去理解直言命题的逻辑性质。
下面就用欧拉图来表达直言命题A、E、I、O的真假和S与P外延关系的对应情况：
运用欧拉图方法还可以帮助我们正确地理解直言三段论推理的逻辑性质。例如以“所有的P都是M”和“所有的S都是M”分别作大、小前提进行三段论推理，能否有效地推出结论呢？根据前提的规定，S、M、P三者的关系可用欧拉图表示如下：
据图所示，S与P的外延关系有五种情形：
图1、3，S与P为全同关系；
图2、4，S对P而言是真包含于关系；
图5，S对P而言为真包含关系；
图6，S与P为交叉关系；
图7，S与P为全异关系。
由此可见，以“所有的P都是M”和“所有的S都是M”为前提，不能全有效地推出结论。因为如果得SAP结论，那么，在图1、2、3、4情况下固然为真，但在图5、6、7情况下就为假，可见，得SAP结论只是可能为真，而不是必然为真。如果得SFP或SIP或SOP结论，同样只是可能为真，而不是必然为真。所以，以“所有P是M”和“所有S是M”为前提进行三段论推理不能有效地推出结论。
那么，以“所有的S是M”和“所有M都是P”为大小前提，能否推出“所有S是P”结论呢？能。因为根据前提规定，S、M、P三者可以有以下四种关系，用欧拉图可以表示如下：
显然，以上任一图形都可引伸出“所有S都是P”这个结论，“所有S都是P”在上述四种图形中都成立。所以，结论必然成立。
二、文恩图及其应用
文恩图是英国数学家文恩(John Venn,1834-1923)首先提出的。该图示方法的基本要点是在矩形方框中，用一对交叉的圆圈来表达A、E、I、O中S与P外延间的不同关系。
1、SAP
图中阴影部分表示非P的S是不存在的。
2、SEP
图中阴影部分表示既是S又是P的部分是不存在的。
3、SIP
图中两个圆圈重合处中的“+”号表示至少有的S是P
4、SOP
图中“+”号表示至少有的S不是P
虽然文恩图与欧拉图都可以表达概念外延间的关系，但文恩图在表达直言命题A、E、I、O中S与P外延关系上，有欧拉图没有的优点，这就是文恩图形有一个用来表达论域的矩形。论域即讨论、谈论的范围。矩形意味着概念S与P在外延上的各种关系是就一定论域而言的。我们说”所有的工人都是青年“这个断定就整个社会而言，它是一个假判断，而如果就一个小的范围例如某个工厂它可能就是一个真判断。所以，论域在决定判断逻辑特征时是一个不可忽视的因素。文恩图强调论域的重要性，所以，文恩图比欧拉图更加能够确切地表达A、E、I和O中的S与P在外延间的各种关系。此外，文恩图表示法较之欧拉图表示法更加简化。对欧拉图来讲，要表达S与P的外延关系少则二个图形，多则四个图形，而用文恩图，只用一个图形便可以了。例如要表达SIP，以下四个欧拉图都可以表达：
而用文恩图，它只有一种，即：
如果把概念的外延看作是一个类、一个集合，那么，可以用文恩图直观地表达概念外延或集的推演。
1、外延相加的推演
外延相加的推演又叫做集的并运算。它是把两个概念的外延加在一起，形成一个大的外延。或者说，用两个集中的元素构成一个新集（新集又叫并集，相加符用“∪”表示）。例如：若A是“男人”，B是“女人”，则A∪B＝｛人｝，用文恩图表示如下：
2、外延相减的推演
外延相减的推演又叫做集的差运算。它是用属于一个集而不属于另一个集的元素构成一个新集（新集又叫差集，用符号“／”表示。例如：
“不会游泳的学生今天下午必须参加游泳训练。”这句话中包含一个差集：学生／会游泳的学生＝不会游泳的学生。用文恩图可表示如下：
圆“A”表示“学生”外延，圆“B”表示“会游泳的人”外延，阴影部分表示“学生中不会游泳的人”的外延。
3、外延相乘的推演
外延相乘的推演又叫做集的交运算。它是把两个集中的共有元素组成一个新集（新集又叫交集，用符号“∩”表示）。例如：
“农民”与“企业家”的交集为农民企业家。用文恩图表示如下：
用“A”表示“农民”外延，圆“B”表示“企业家”外延，阴影部分表示“既是农民又是企业家”外延。
三、逻辑多角阵及其应用
在逻辑多角阵中，人们最熟悉的是逻辑四角阵或称逻辑方阵。其实，除了可以构造逻辑方阵，还可以构造逻辑三角阵和逻辑六角阵。下面分别予以介绍。
（一）、逻辑三角阵
在本文第一部分和第二部分介绍的欧拉图和文恩图主要用在表达概念外延间的逻辑关系，而逻辑多角阵一般是用来表达命题间的逻辑关系，逻辑三角阵也不例外。它表达的是假言命题诸类型之间的逻辑关系（真假制约关系）。
假言命题类型有三种，它们的逻辑形式分别是：
1、蕴涵命题：P→q
2、反蕴涵命题：P←q
3、等值命题：P←→q
逻辑三角阵构造如下：
此图直观地表达了三种假言命题形式间的逻辑关系。即P←→q与P→q、P←→q与P←q为从属关系（可以同真可以同假），P→q与P←q为下反对关系。下面用真值表判明其中一条：P→q与P←q的关系。P
q
P→q
P←qT
T
T
TT
F
F
TF
T
T
FF
F
T
T
从真值表上可以清楚看出，P→q与P←q具有一真另一不定，一假另一必真的关系，即下反对关系。
（二）逻辑四角阵
逻辑四角阵即逻辑方阵。它是用来表示直言命题A、E、I、O四种命题形式之间的真假制约关系。在传统逻辑中，这种真假制约关系叫做对当关系。当然，A、E、I、O之间的对当关系是建立在同素材（相同主谓项）基础之上的。事实上，逻辑方阵不仅可以表达直言命题之间的逻辑关系，而且还可以表达模态命题、规范命题之间的逻辑关系。
1、直言命题逻辑方阵
在逻辑方阵中一共有6×2=12条连结线，每条连结线都表达了线的两端逻辑形式之间的真假制约关系。归纳起来，对当关系有以下四种：
①矛盾关系：SAP与SOP、SEP与SIP。不可同真，不可同假。
②反对关系：SAP与SEP。不可同真，可以同假。
③下反对关系：SIP与SOP。可以同真，不可同假。
④从属关系：SAP与SIP、SEP与SOP。可以同真，可以同假。
由此可见，逻辑四角阵可以完备地表达A、E、I、O四种直言命题形式之间任何一种对当关系。
利用对当关系，可以构造对当推理。其中有效的推理模式为（仅就矛盾关系推理而言）：
SAP-→-SOP①
SOP-→-SAP②
SEP-→-SIP③
SIP-→-SEP④
-SAP-→SOP⑤
-SOP-→SAP⑥
-SEP-→SIP⑦
-SIP-→SEP⑧
明朝戴大宾聪明过人，很小就中了举人。有一天一名大官出“凤鸣”二字为上联，让他对下联。戴大宾脱口而出“牛舞”。大官惊讶问：“牛何以能舞？”戴大宾回答：“百兽率舞，牛不在其中耶？”大官不能对。
用逻辑的观点看，戴大宾的回答可看作是采用了从属推理即从SAP-→SIP（从百兽率舞推出百兽之一牛也会舞）。
对当关系中的矛盾关系经常运用于反驳中，我们可以用全称去反驳特称或用特称去反驳全称。
2、模态命题逻辑方阵
从图中看出，在□P、□-P、◇P、◇-P四种模态命题形式之间存在着以下逻辑关系：
①、矛盾关系：□P与◇-P；□-P与◇P。
②、反对关系：□P与□-P
③、下反对关系：◇P与◇-P
④、从属关系：□P与◇P、□-P与◇-P。
利用模态对当关系，可以构造出许多模态推理的有效模式。例如，仅就从属推理可以构造：
□P-→◇P①
□-P-P→◇-P②
-◇P→-□P③
-◇-P→-□-P④
设□P为真，根据逻辑方阵，便可以知晓另外三个命题的真假。即□P为真，那么，□-P必假，◇-P也必假，◇P为真。
3、规范命题逻辑方阵
规范命题是包含规范词的命题。规范命题间也具有对当关系，也可以用逻辑方阵来直观表达不同规范命题间的逻辑关系。
了解了逻辑方阵，头脑中装有逻辑方阵，就不会把判断类型搞错，也可以轻而易举地记住形式逻辑中许多有效的推理模式，而不需去死记硬背。同时，也能加深对形式的理解，因为在逻辑四角阵中，简单明了地勾勒出了不同命题形式间的逻辑关系。
附：假言方阵
在假言推理中，有一种叫做假言易位推理。易位主要有以下三种类型：
①、换位推理，如从P→q推出q←P。
②换质推理，如从P→q推出-q→-P
③换质位推理，如从P→q推出-P←-q
以下四个推理形式具有等值关系：
P→q①q←P②-q→-P③-P←-q④
真值表判定如下：P q -P
-q
P→q
q←P
-q→-P
-p←-qT T F
F
T
T
T
TT F F
T
F
F
F
FF T T
F
T
T
T
TF F T
T
T
T
T
T
这四个逻辑形式可用以下一个假言方阵清楚地表达出来：
（三）逻辑六角阵
逻辑四角阵只能单独地表达一种命题形式之间的逻辑关系，逻辑六角阵较之逻辑四角阵，表达能力更强，它可以揭示存在于或然、实然、和必然命题形式间的逻辑关系。
图中大对角线表达的是矛盾关系即□P与◇-P、□-P与◇P、P与-P。上线与上斜对角线表达的是反对关系即□P与□-P、□P与-P、□-P与-P。侧线和侧对角线表达的是从属关系即□P与P、P与◇P、□P与◇P（右侧亦然）。下线和下斜对角线表达的是下反对关系即◇P与◇-P、P与◇-P、-P与◇P。其中矛盾关系、反对关系、下反对关系各三对，从属关系六对，总共十五对关系。