覃天鸿
湖北宜昌市夷陵区城市建设项目办公室 湖北宜昌 443000
摘要：桥梁结构中普遍存在非线性问题。由于某些材料的特殊特性、结构本身几何构造的特殊性以及结构施工过程中外界条件的改变，往往会体现出各类明显的非线性特征。因此，要对桥梁结构进行精确而详细的分析，就要对其进行非线性问题的求解。本文对桥梁结构的给累非线性以及解决方式进行了说明，为求解桥梁非线性问题提供一定的参考。
关键词：结构非线性；非线性求解
Overview of Nonlinear Characteristics and Solution Method of Bridge Structure
Abstract: There are generally some nonlinear phenomena in the bridge structure. Due to the special characteristics of certain materials, the particularity of the geometric structure of the structure itself and the change of external conditions during the construction process, various types of obvious nonlinear characteristics are often manifested. Therefore, to conduct accurate and detailed analysis of the bridge structure, it is necessary to solve the nonlinear problem. This paper describes the nonlinearity and solution of the bridge structure, and provides a reference for solving nonlinear problems of bridges.
Keywords: material nonlinearity; geometric nonlinearity; state nonlinearity
1 非线性问题的定义和种类
非线性结构的基本特征是结构刚度随着荷载的改变而变化，力与位移的关系是非线性函数。非线性问题不能使用叠加原理，结构响应与路径有关，也就是说加载顺序是重要的。结构的非线性行为主要包括以下三种类型：
1）几何非线性：指的是结构的平衡状态在其发生一定的位移之后会相应的发生变化，结构的平衡均应建立在其变形后的位置之上，而且这种位移一般是大位移，即结构的刚度矩阵是几何变形的函数，一些桥梁结构如索、长柱、柔性墩等在分析计算时必须得考虑它们的几何的非线性。几何非线性问题还包括大应变、大转动、应力刚化和旋转刚化。
2）材料非线性：材料非线性特点是随着荷载的增加，结构上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服而使结构进入弹塑性状态。这时虽然部分材料已进入塑性状态，但相当大部分仍处于弹性范围，因而结构仍可继续承载，直至塑性部分进一步扩展而发生结构的崩溃。在单纯的材料非线性问题中，假定结构位移微小，位移与应变的几何关系是线性的，而应力与应变关系是非线性的。
在实际工程设计中，这种允许材料进入塑性的结构分析称为材料非线性分析。极限状态设计所关心的不是荷载作用下结 构弹塑性的演变历程，而是结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，然后考虑结构应有足够的安全储备，以此作为设计依据显然较全弹性设计更经济合理。
除了塑性问题之外，材料非线性问题还有超弹性、粘弹性即蠕变等。
3）状态非线性：常见的如接触问题、生死单元等。
通常结构的非线性不是单纯某类问题，这几种非线性问题可能存在一种甚至集中同时存在。
2 非线性问题的求解方法
用有限元法进行结构非线性问题的求解，其控制方程最终是一组非线性方程组。非线性方程组的求解方法有很多，方法的选择往往与物理问题的性质、特点、非线性程度、对计算结果的要求以及计算机的容量、计算速度等因素有关。以下介绍非线性问题常用的方法。
2.1 迭代法
迭代法是在求解过程中，逐步修改位移和应变，使之满足非线性的应力-应变关系。通常采用的迭代法有直接迭代法（割线刚度法）、切线刚度法和初应力法等，应用最多的就是直接迭代法。
1）直接迭代法
结构整体平衡方程可用式（2-1）所示的非线性方程组表示：
2.2 增量法
增量形式的有限元列式方法具有一个共同的特点：把整个荷载变形过程划分为一连串的增量段，每一增量段中结构的荷载反应被近似地线性化。简单增量法将每一级增量荷载下直接求得的状态变量视为结构平衡状态，计算相应的切线刚度矩阵，进而作下一级荷载计算，并不断累计位移增量。增量法求解比较简单，但由于每一级荷载并未精确地达到平衡位置，所以存在误差累计问题。为了保证计算精度，常常将增量区间划分得相当小。此外，为了评价解的精度，一般要对同一问题在进一步细分增量区间后再次求解，通过两次解的比较判定是否收敛，这样就需要消耗大量的计算时间。
作为对这一方法的改进，可将不平衡里作为一种修正荷载并入下一级荷载增量，这就有一阶自校正的增量法。一阶自校正增量法具有较高的求解速度，同时也比简单增量法计算精度高。
常用的方法有New-Raphson法。New-Raphson法又有完全New-Raphson法和修正New-Raphson法。
2.3 混合法
混合法是把增量法和迭代法结合使用的一种方法。它一方面按增量法的要求把荷载分为增量，然后逐级施加，另一方面，在每一级荷载增量步的计算中用迭代法进行计算，以提高解的精度。
迭代法的主要优点是简单易行，比较适合与加载历史无关的材料非线性问题和一般的非线性问题。迭代法的主要缺点是不能保证收敛到精确解。尤其是对某些逐渐硬化的物体，可能根本不收敛。它不能给出荷载一位移全过程的变化情况，对于动力问题也不适用。
增量法的主要优点是适应性强和收敛性好。因为只要步长足够小，总能保证得到收敛解。而且除个别情况外，它适用于各种类型和各种程度的非线性问题。增量法的主要缺点是靠方法本身无法判断其解的近似程度，另外，用这种方法求解时，计算量很大。
混和法综合了增量法和迭代法的优点，某种程度上克服了它们各自的缺点。当然用这种方法求解时，计算量更大，但计算精度提高。而且可以判断每一增量步终了时解的近似程度。
3 收敛准则
在迭代法计算中，为了中止迭代过程，必须确定一个收敛的标准。实际计算中，在两次送代后常要比较不平衡结点力或位移增量是否已经足够小了。如果足够小了，便认为是收敛了。
一个数的“大小”可以由其绝对值来判断，单个矢量的“大小”可由其模来确定。对于一个结构，无论是结点力或结点位移都有很多量，组成了一个列矩阵，其“大小”的衡量类似矢量的模。可以定义一个列矩阵或行矩阵的模，或者称之为范数。若[V]表示一列矩阵，则此列矩阵的范数用||V||来表示。
有了列向量的范数，则无论是结点力列阵还是结点位移列阵，其“大小”均可按其范数来判断。若取不平衡结点力为衡量收敛的标准，则满足下列条件时，就认为收敛了：
（2-15）
式中：||Pres||为残余结点力列阵的范数；
||P||列为施加荷载(已经化为结点荷载)的范数；
α为预先指定的一个小数，称为收敛允许值。
若以结点位移增量作为判断收敛的标准，则满足下列条件时即认为收敛：
（2-16）
式中：||δk||是在某级荷载作用下经k次迭代后的某结点位移列阵的范数；
收敛允许α的取值要根据结构计算要求的精度来确定，有时还要和试验所
能达到的精度相适应。通常建议取0.1~1%。对于钢筋混凝土结构，若取α=1~3%即可满足精度要求。
4 结论
本文总结了结构分析常见的非线性问题，叙述了各类非线性问题的特点和各自常见的具体实例。然后详细叙述了求解非线性问题的三种方法和判断求解是否收敛的方法，为求解桥梁非线性问题提供一定的参考。
5 参考文献
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论文作者:覃天鸿
论文发表刊物:《防护工程》2018年第14期
论文发表时间:2018/10/19
标签：增量论文; 结构论文; 荷载论文; 迭代法论文; 位移论文; 结点论文; 塑性论文; 《防护工程》2018年第14期论文;