从算术思维到代数思维--“逐字逐句”的教学价值与教学策略_数学论文

从算术思维到代数思维的飞跃——“用字母表示数”的教学价值与教学策略，本文主要内容关键词为：思维论文,用字论文,算术论文,代数论文,教学策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      “用字母表示数”是小学生学习代数知识的起始，标志着小学生从算术的学习开始转向代数的学习，从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨.从算术到代数是人们对现实世界的数量关系认识过程中的一个飞跃，也是数学思想方法上一次重要的突破.下面结合苏教版五年级上册“用字母表示数”这一单元，谈谈其教学价值与教学策略.

      一、“用字母表示数”的教学价值

      “用字母表示数”对于学生更好地认识和理解数学、发展思维以及后续学习都具有重要的意义.具体表现在以下四个方面.

      一是有利于学生尽早感受符号的作用，接触代数的思想方法，学会用代数方法解决实际问题.我国著名数学家吴文俊教授说：“对于‘鸡兔同笼’之类的许多四则难题，你若用代数方法来做，就会变得非常容易；更重要的是，尽管这些四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远，更不能腾飞.可是只要一引进代数方法，平平淡淡的你就可以很容易地把题解出来了.每一个人都可以做，而且他可以腾飞，可以飞得很高、很远……四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育这是非常重要的.”

      二是有利于加强中小学数学的衔接.过去的小学生只学习算术，到中学学习数学，思维方法上就有些脱节，对代数的思维方法不能很快适应，给代数的学习造成了不必要的障碍.让小学生初步接触一点代数知识，能使学生摆脱算术思维方法中的某些局限性，降低算术思路容易形成的思维定势，为初中开始系统学习代数知识做好认识的准备和铺垫.

      三是有利于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性.对于小学生来说，一年级从具体事物的个数抽象出数是认识上的一个飞跃，现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，更是认识上的一个飞跃.用字母表示数，表示所学过的数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式，实际上是一种抽象.用字母表示数是对数的抽象，学生认识到x可以表示任何一个数时，他的抽象思维水平就迈上了一个台阶，思维发展就达到了从具体的量到抽象的数过渡的水平，这种进一步的抽象是认识上的重大转折.因此，小学生学习用字母表示数的过程，是发展抽象概括能力的过程.而且，在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题可以用代数方法，从列出算式解发展到列出方程解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题的能力提高到一个新的水平.

      四是有利于巩固和加深理解所学的算术知识.通过用字母表示所学过的数、数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式，可以使学生更清晰、概括地认识和理解算术中的数和算式的意义，加深对这些知识的理解和巩固.

      总之，在小学阶段让学生学习一些代数初步知识，初步体会符号意识和方程思想，有利于学生尽快地从算术方法转变为用代数的方法去解决实际问题，不仅有助于他们巩固和加深理解所学的算术知识，提高分析和解决实际问题的能力，加强中小学数学教学的衔接，同时可以使他们思路开阔，思维更加灵活，更有利于抽象、概括能力的培养和数学模型思想的感悟.

      二、“用字母表示数”的教学策略

      “用字母表示数”是在学生学习一定的算术知识，已初步接触了一点代数知识的基础上进行学习的.“用字母表示数”的教学，教材注意从学生熟悉的探索规律入手，引导学生结合具体情境理解用字母表示数的意义，感受用字母表示数的优越性，在具体的不同情境中学会用字母表示数.同时，教材十分重视让学生感受符号的作用，发展抽象思维，体会初步的数学模型思想.

      1.前渗透——先期引入数学符号，初步感受代数知识

      （1）先期引入数学符号

      根据学生的认知特点，苏教版小学数学教材引入了以下几类符号：

      ①个体符号.表示数的符号：如，0，1，2，3，…；a，b，…，x，y，z；常数π；以及表示小数、分数、百分数的符号.表示几何形体的符号：如，点A，线段AB，表示角的符号“∠”等.

      ②运算符号：+，-，×，÷（：），

等.

      ③关系符号：=，≈，＞，＜等.

      ④结合符号：（ ），[ ]等.

      ⑤分隔符号：竖式中的一些短线用于把纸面分隔成几部分，以便分别书写参与运算的数和运算所得的数，小数点、循环点都可以看成是分隔符号.

      ⑥计量单位符号：角的计量单位符号“°”，字母表示长度和质量单位等.

      ⑦性质符号：正号“+”，负号“-”等.

      其中a，b，…，x，y，z等字母符号，（ ）和“？”等的认识为感受初步的代数知识打下了基础.同时，这些符号的引入和学习也为学生逐步建立符号意识打下了基础.

      （2）初步感受代数知识

      学生在进入“用字母表示数”的学习之前，已经经历了相当多的“算术”知识和初步“代数知识”的启蒙.这些“算术”知识和初步“代数知识”是学习“用字母表示数”的重要基础.在苏教版第一学段小学数学教材中，学生在学习加、减法和乘、除法的意义时，就已经接触了诸如9+（ ）=15，（ ）×5=20等形式的练习，初步体会到已知与未知之间的相等关系.而学习长方形、正方形等平面图形的面积计算时，用字母来表达这些面积计算公式，以及教学加法和乘法的运算定律，用字母来表示各运算定律，则为接触初步代数知识提前作了孕伏.简单实际问题中如“速度、时间、路程”等常用数量关系的认识和理解也是帮助学生深入学习初步代数知识的重要前提.

      2.中建构——学会用字母表示数，逐步感受变量思想

      （1）学会用字母表示数

      首先要会用字母表示数.“用字母表示数”是式与方程的基础内容，是学习数学符号，学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步.课程标准（2011年版）在第二学段的内容标准中提出：在具体情境中能用字母表示数；结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示.在小学数学中，字母可以表示数，含有字母的式子可以表示数量关系、求积（周长、面积、体积）公式、运算律或运算性质.由于小学生初步接触这部分内容，所以教材注意循序渐进编排.联系学生熟悉的现象与数量关系，先写出只有一个运算符号的式子.如摆1个三角形要3根小棒，摆a个三角形要小棒的根数是a×3；甲、乙两地之间的公路长280千米，一辆汽车行驶了b千米，剩下的路程是（280-b）千米.然后才写出有两个或三个运算符号的式子，如冷水壶里有1100毫升果汁，倒掉3杯，每杯x毫升，壶里还剩下果汁（1100-3x）毫升；小华用小棒摆a个三角形（每个三角形用3根），小芳用小棒摆a个正方形（每个正方形用4根），两人一共用小棒（3a+4a）根.

      其次要理解字母所表示的数.教材中特别注意让学生联系现实情境，体会在含有字母的式子里，字母所能表示的数.如上面摆a个三角形用小棒根数a×3，这里的a是自然数；汽车行驶后剩下的路程是（280-b）千米，这里的b是0～280的整数或小数；壶里还剩下果汁（1100-3x）毫升，这里的3x不能超过1100毫升，x不能超过

毫升.当字母表示某个数时，含有字母的式子就有确定的数值.当字母表示不同的数时，含有字母的式子一般就有不同的数值.含有字母式子的数值与字母表示的数是相对应的.如280-b这个式子中，如果b=120，280-b=160；如果b=200，280-b=80.

      最后要掌握书写规则.教材还要求学生知道用字母表示数的书写规则，并逐步适应规则.在数和字母相乘、字母和字母相乘时，乘号可以不写出来，并把数写在字母的前面；如果两个相同字母相乘，一般写成平方的形式.学生学会化简如“ax±bx”这样含有字母的式子，既初步“涉足”代数式运算，又体验了数学表达的简练，发展了符号意识.

      （2）逐步感受变量思想

      教材在不同阶段，逐步体现用字母代表数的思想.一开始，用符号代表特定的数.如，用□或（ ）表示算式中的未知数.后来引进用字母表示数，从用字母表示一个特定的数到用字母表示一般的数，实现认识的飞跃.如摆一个三角形用3根小棒，摆a个三角形用3a根小棒.这里的a可以表示任意一个自然数.用字母表示数，还可以简明抽象地表达数量关系的一般规律，如用s=vt表示路程、速度和时间的关系.依据苏教版小学数学教材的编排体系，由具体的数发展到用字母表示数，再由用字母表示数发展到方程，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识.例如，在探索积的变化规律或商不变的规律的过程中，可以先让学生认识到在什么情况下积或商不发生变化，在什么情况下积或商发生变化，是怎样变化的，注意渗透变化与对应思想.当学生理解这些变化规律后，可以用字母表示变化规律，再安排适当的练习，要求学生能比较熟练地应用规则求出运算结果.在进行“用字母表示数”的教学中，可以让学生体会到“字母每取一个值，含有字母的算式就有唯一确定的值”.在数量关系的教学中，根据“路程、时间与速度”，“总价、单价与数量”这些常用数量之间的关系，让学生初步发现“其中一个数量确定时，另外两个数量之间所存在的变化和对应关系”.在“图形与几何”中教学长方形、正方形的周长和面积时，可以让学生理解“当长方形长加宽的和一定时或当长方形的面积一定时，长与宽之间相应的变化关系”.

      3.后延展——重视培养符号意识，适当渗透模型思想

      （1）重视培养符号意识

      “用字母表示数”的教学还要引导学生学会运用符号表示变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.例如，教材在教学“用字母表示数”后，安排了“钉子板上的多边形”这一探索规律的主题活动，教材先引导学生探索多边形内只有1枚钉子的面积计算规律，这是特殊的，也是最容易发现规律的情况.在探索规律的过程中，要通过对比观察，发现这些多边形之所以有这一规律，是因为多边形内只有1枚钉子，初步感受研究的规律不仅和多边形边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关，进而迁移探索多边形内有2枚钉子、3枚钉子、4枚钉子……的情况.在探索多边形内有2枚钉子的情况时，要注意将学生探索出的表示规律的多种算式引导到基本算式上，并学会用字母表示.再探索多边形内没有钉子时的面积计算规律这一特例.需要说明的是这一特例必须研究，一是因为表达规律的算式与前面的算式不同，二是研究这一特例后，呈现的例证较为完整，有利于应用不完全归纳法概括最后的规律（可以根据学生的实际情况进行设计，并非一定要进一步概括）.最后是回顾反思探索过程，引导学生体会用含有字母的式子表示规律，能使规律简明易懂，同时也增强了学生的符号意识.

      （2）适当渗透模型思想

      结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示，这是在用字母表示数的基础上形成方程概念的核心，只有掌握用字母表示数，才能用字母表示数量关系并列方程.方程是描述客观现象里的相等关系的数学模型，学生形成关于方程的概念，不仅要知道方程是含有未知数的等式，更要体验方程能够表示现实的相等关系.教学方程的意义，不能局限于它的外在特点，还要凸显它是表示数量之间相等关系的一种数学形式.在具体情境里列方程，体会方程在刻画数量之间相等关系时的准确性和简约性，有利于学生深入感悟方程的意义.

      在实际教学过程中，第一步往往是将实际问题抽象成数学问题，并用恰当的符号进行表示，这也是“数学化”的过程.第二步是选择算法，进行相应的符号运算.因此，要特别重视列方程解决实际问题的教学，即引导学生将实际问题转化为数学问题，并用符号语言建立等量关系.例如，教学“方程”时，教师要引导学生从已有的知识经验出发，让学生经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解答的全过程，自主理解并掌握有关方程的解法，加深对列方程解决实际问题的体验.其间要重点处理好三个关键环节：一是根据题意找出数量之间的相等关系；二是根据等量关系列出方程；三是解方程并检验.

      学会“用字母表示数”是学生后续进一步探索变化规律，列方程解决实际问题的基础，也是学生初步建立符号意识的基础.教师应根据学生的认知特点和现实水平，在小学数学中应重视并突出“用字母表示数”的教学.

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