数学教学设计的新视角——基于数学知识打开再行浓缩的方法探讨，本文主要内容关键词为：再行论文,数学教学论文,数学知识论文,新视角论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教学设计的方式就应该是将数学知识还原、展开、重演、再现等一系列手段的运用，暴露数学知识发生时数学思维活动的全过程，再经由教师从打开获得的众多的知识发生途径的材料中，比较、辨别，作出选择，即将这种充分展开的过程进行浓缩，既能实现数学教学目标，也讲究精心利用宝贵的课堂教学时间，使单位时间内数学知识传授最多，从而既能真正地利用数学知识促进学生素质的发展，又能实现课堂上的高效教学.
一、打开数学知识
由上面的论述可知，数学知识只是意识机能（思维）活动过程的载体，学生通过对这种载体进行活动的过程，可能出现两方面的结果：
其一，他创造性地解决了数学问题.“艺术的对象创造出懂得艺术的能够欣赏美的大众——任何其他产品也是一样.”[1]数学当然不会例外，这就是学生在数学学习中，经由不断地将生活问题数学化，通过审题、解题、演算、猜想、判断等数学实践活动，伴随着这一系列的实践活动，意识机能产生了数学思维活动，创造性地生成了数学知识.当然，这是最为理想的数学学习.但在绝大多数情况下，由于学生的数学认识结构所处的初级发展阶段，这种理想的知识产生过程是极难实现的.
其二，学生与人类历史中的数学家天才性思考——人类智慧对话，与它们进行互渗、交融、交换，从中摄取营养来丰富个体自己的智慧，个体也能够为人类集体智慧添砖加瓦，使得人类智慧宝库所承载的智慧不断滚雪球般地加大，为后来人提供更加丰富，层次更深的智慧.“我们倾听巴赫的乐曲，不是被其音响所感染，而是为其思想所激动，这是因为我们在倾听一个人的思维”.[2]改用这一句话，也可以如此说，我们学习数学，不是在学习数学知识，而是在学习人（类）的思维，是在与天才的数学家的智慧进行交换.
这就是说，数学知识的发生必须要求学生经历数学思维活动过程，现成的数学知识不是学生亲身经历过的，数学知识中所隐含的促人发展的因素没有真正地作用于学生的精神资质，知识中隐含的数学家的发现数学知识的认识活动方式就不会自动地呈现出来，因此，要想办法让学生的意识机能经历这种知识的发现过程，并且不是简单的经历，而是积极主动地参与，亲身去体验，如此，才有可能将数学知识转化为学生的精神财富.就是要把知识原始获得的实践认识活动方式和过程，加以还原、展开、重演、再现……使学生个体与人类“总体”相遇.这就是将数学知识打开，怎样打开数学知识呢？我们来看一个例子：
例1[3]已知：如图1，在△ABC中，∠DAC=∠B.求证：∠ADC=∠BAC.
打开1：要证明∠ADC=∠BAC，由于∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB①，又∠DAC=∠ABC②，∠DCA=∠ACB③，①式两边分别减去②和③的两边，就得到∠ADC=∠BAC.
打开2：要证明∠ADC=∠BAC，由于∠ADC就是∠2，∠BAC=∠1+∠3，于是，只要证明∠2=∠1+∠3①.如图2，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，知∠2=∠B+∠3②，比较①与②两式，知只要证明∠1=∠B就行了，而这正是已知.
打开3：要证明∠ADC=∠BAC，由于∠ADC即∠2的邻补角是∠3，∠BAC的邻补角是∠4，由等角的补角相等，知只要证明∠3=∠4就达到目的了.如图3，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，知∠3=∠1+∠C①，∠4=∠B+∠C②，比较①和②，知要证明∠3=∠4，希望证明∠1=∠B，这正是已知.
打开4：以线段AD为一边，在∠ADC的内部作∠2=∠3，所作的∠2的另一边交AC于E点，如图4，以下只要证明∠1=∠4就达到目的了.由于∠2=∠3，而“内错角相等，两直线平行”，知AB//ED，而“两直线平行，同位角相等”，知∠1=∠B，由已知∠B=∠4，从而得到∠1=∠4.
教师在作教学设计时，要不遗余力地充分打开数学知识.在打开所得到的很多材料中，分析、判断与选择这些材料的教育价值与学生意识机能所需要的营养相结合，教师就能依据培养目标选择出合适的教学思路，如鼓励探究性，培养创造性；设定学生所需要的某种数学方法，渗透学生意识机能中还不具备的某种数学观念等等.
二、浓缩打开材料
数学知识打开的过程是有层次性的，这就要求教师对知识特征与学生认知特征进行精准把握，为二者的渗透、融合创造条件，依据学生的认知特性，掌握好数学知识打开的层次与程度是极为重要的，因为数学知识的环节性与延伸性，不可能进行无限展开，否则，数学教学就陷入繁琐哲学，而不能自拔，致使数学课堂教学效率（知识发生量与所用时间之比）极低，这也是不行的.
教师课前进行教学设计时，可以对数学知识的形成过程进行详细的还原、展开、重演、再现等活动过程.在此基础上，依据学生的认识特征，确定数学知识发生的心理起点，从中选择某一个数学知识点作为教学起点，而对这一知识点的来源不再追问，也可以确定某一知识点的比较合适的发生过程，而不应该，也不可能面面俱到地在课堂上引领学生经历与体验.如此，保证数学课堂教学不至于陷入那种纷繁的为展开知识而展开知识的活动.就是说，教师应依据知识的真实发生过程所获得的许多材料，进行辨别，作出选择，在教学中进行浓缩.
这种浓缩的过程也是很重要的，因为，原原本本地照搬或复制数学家发现数学知识的认识活动的过程，必然会陷入无限后退之中，追踪到最后，又必然是来源于元知识领域，在课堂教学中，如此做法，是不可能的，也是不必要的，甚至是有害的.因此，对知识产生的真实过程要进行改造，作出选择，专门设计、简化、典型化，如缩短过程、平易难度、精简多余环节、模拟思维路径等等.这样，在展开之后，便沿着相反方向，进行压缩、提炼、抽象、概括、回归于数学结论、概念、公式、原理等.
为了达到浓缩的目标，教师就要认真分析数学知识的特性，学生认知心理的特性，把握这两者关联的干预手段.对此，教师可以从这种打开的材料中作出价值评估，从而选择出课堂教学的路径.这种评估不是教师在主观想象中设定的，它有其客观依据的可行性.主要依据有：
（1）知识出现的时序性.在例1中，已经有了四种生成知识的手段，由于这节课要巩固的内容是三角形的内角和定理及其推论，因此，我们可以选择打开1，或打开2；打开3也可以选择，它与三角形内角和及其推理有关，但用到了邻补角，且作了辅助线，问题变得较为复杂，它没有突出这节课的重点，故不宜选它作为课堂上引导学生探究的材料，打开4与三角形内角和及其推论没有关系，当然不选.
（2）学生已有的知识结构特征.如果学生对三角形内角和及其推论的确掌握得比较好了，教师就可以培养学生较高层次的思维能力，他就可以考虑选择打开3，它既用了辅助线，又用了几轮代换，分析发现思路要比较深入的探讨，准确表达这条思路的逻辑过程的要求也很高.因此，这条思路对学生意识机能活动的培养有更大帮助.
（3）学生知识发生的心理特征.数学教学不仅仅只是学生数学知识的增长过程，而且还要考虑学生心理发展过程，使知识发生的同时，对学生的情意产生影响，比如数学观念的渗透，数学情感的依附，数学价值判断的发生等等，这些都不是从数学知识的打开中直接获得的，它要求教师对打开的材料进行深层次的发掘，挖掘其中隐而不显的价值.
（4）教师拟定达到的教学目标.教学总是为一定的教育教学目标服务的，在这四种打开中，如果教师是为了巩固平行线的相关性质，而不是在三角形内角和及其推论的背景中教授这一知识，他就会利用打开4来组织学生探讨知识的发生.
我们还是以例1来加以说明，在教学设计时，我们依据例1所出现的条件，进行了比较充分地打开，获得了四条思路可以达到解题的目标.那么，在课堂教学时，一般情况下，教师不论选择出了哪一条思路进行课堂上传授，他都不会去将这四条思路原封不动地交给学生，而必须有所为，有所不为.教师在选择传授的某一种或两种思路时，就要考虑学生的意识机能中，所存在的数学知识、方法，数学观念，还要考虑情感的体验等.有侧重点地选择出思路，在课堂上带领学生进行探究，并从探究中解决问题.它随着教师对学生的把握不同，所设定的教学目标不同，可以作出不同的选择.笔者在教学中，为了体现渗透“求繁意识”与“整体观念”，选择了打开1的路径：
师（首先，引领学生从整体上来把握，即让学生读懂整个问题）：请同学们用不同记号标出问题结论中的两个角与已知条件中的已经相等的两个角.
师：在这个图形中，要证明的结论∠ADC=∠BAC中的∠BAC被线段AD分割开来，它影响了我们对解决问题的思路的探索.请同学们试一试，我们通过对这个图形进行怎样的处置，以避免这种不良的影响呢？
（这一问，学生群策群力，想出了许多方法，教师通过巡视，有目的地提供对课程的行进有帮助的材料，再通过整理，最终得到了对图1分拆出了的一组图形.首先把图1中的△ADC平移出来，得到了图5和图7；其次，根据已知条件∠DAC=∠B①和所要求证的结论∠ADC=∠BAC②，我们把图5的位置摆弄成图6的位置）.
师：请同学们来比较图7和图8中的这两个三角形之间的角的关系，你们看
已知条件是∠DAC=∠ABC， ①
所求结论是∠ADC=∠BAC， ②
还有公共角 ∠DCA=∠ACB. ③
这三个式子之中，①和③成立，②是所要求证的结论，也应该是成立的，但是还没有确实给以证明.大家想想看，我们可以通过怎样的途径来达到证明②成立呢？
生1：我想应用“三角形的内角和等于180°，下面……
生2（打断生甲）：①，②，③这三个式子的左边的三个角就是△DAC的三个角，右边的三个角就是△ABC的三个角.于是，我们把这三个式子左、右两边相加就得到了两个三角形的内角和了，它们的值都等于180°，即∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°.
于是∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB④，下面……
生3：我们只要将式的左右两边都减去①式与③式的左右两边，就能达到②式了.
师：很好！三位同学的逐渐深入的设想最终使问题获得了解决.
证明：因为∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，
∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°（三角形的内角和等于180°），
所以∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB.
又∠DAC=∠ABC（已知），∠DCA=∠ACB（公共角），
所以∠ADC=∠BAC（等量减等量差相等）.[4]
这种经由浓缩的数学知识发生过程，已经不同于教科书直接给定的知识发生的逻辑过程，它经过教师处理的中介，将数学知识载体上所附着的育人价值的因素（渗透“求繁意识”与“整体观念”，当然，教师可以依据学生的具体情况，作出其他选择途径），注入了学生知识发生过程.因此，这种浓缩不再是简单地回归，而是经过了“否定之否定”的过程.展开与浓缩，是一个问题的两个方面，在处理作为教学的数学知识时，形成了一对矛盾，那么，它们有什么关系呢？
三、打开与浓缩的平衡
长期的数学教学设计的经验，让我们体会到，展开过程是浓缩过程的基础.只有经由充分地展开，得到知识发生一系列物质性的成果，教师在教学设计时，才能依据学生数学认知特性，从这一系列物质性成果中，经由教师比较、评价、鉴别，从而提取出某一条，或几条途径设计出合适的教学思路，为浓缩过程提供了可能性.
展开的过程应该在教学设计的预设中完成，而不是发生在真实的课堂教学中，此时，一方面，教师可以事无巨细，面面俱到，这是为浓缩过程提供条件，教师从这种面面俱到的材料中，选择出最有利于学生知识发生的路径.另一方面，也为在真实的课堂教学中，留有余地，因为，当学生在课堂上自行展开知识时，出于学生的集体智慧，会形成一种动态的、极富创造性的课堂，学生思考问题的思维发散，方向多端，路径多途，对此，教师在教学设计时的充分展开，就应尽可能地调控课堂上的数学知识发散的、动态发展的局面，以最利于促进学生发展的途径将课堂教学向前推进.如此，不仅极大地提高数学课堂教学的效益，而且能够有备无患，避免节外生枝.
于是，数学教学设计时，课前教师事无巨细、面面俱到地进行展开，保证了课堂教学时的删繁就简，削枝增干，使课堂教学达到高效，不至于损失数学知识所包含的促人发展的重要成分及其认识过程的活动方式中的精华.如此，课堂教学必须经由对展开的数学知识进行浓缩，否则，就会眉毛胡子一把抓，形成了中庸平均地处处使力，不能使知识发生过程典型化，不能突出知识的主要的、优秀的育人价值，造成数学课堂教学效率低下.
因此，由于课堂教学活动的时间限制性，学生心理活动的精力限制性，就要求教师必定不能在现实施教的课堂上，对知识进行全方位打开，他只能在教学设计的预设中这样做.进而比较、辨别、作出选择，取得知识发生的合适的思路.于是，知识打开与思路选择是相应于浓缩的要求，即课堂教学的限制性的要求.当然，打开过程与浓缩过程都不是目的，只是手段，它们的目的是为了提高数学课堂教学的效益，最终落脚到提高学生素质，促进学生发展的目标上来.
利用数学教育资源促成学生发展：优化意识结构，活化精神资质，实现能产思维，这就要通过教师对数学知识特征，学生认知特征的适应、融合，进行充分地把握，才能达到数学教学的高层次目标.教学设计的方法，就是教师在教学之前，将数学知识展开，从数学知识展开所获得的一系列成果材料中，选择出合适的路径，即对展开的材料进行浓缩，从而保证经由数学课堂教学，既突出数学知识的教育价值，又保证课堂教学的高效性.
本文参考了王策三先生的文章《认真对待轻视知识的教育思潮——再评由应试教育向素质教育转轨提法的讨论》，（见）中国教育科研报告2006（第一辑）第54-55页.