“问题图式”使数学思维更加“灵活”--“轴对称图”数学折纸探索活动的设计_数学论文

“问题图式”让数学思维更“灵动”——《轴对称图形》数学折纸探究活动设计，本文主要内容关键词为：轴对称论文,数学论文,图式论文,灵动论文,图形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      数学学习中，从掌握知识到形成能力，需要经历一定的解决问题训练.认知心理学的图式理论认为，学生在解题训练中形成了问题图式，而解题能力实际上是问题图式的迁移能力.

      所谓问题图式，是指由与问题类型相关的原理、概念、关系、规则和操作程序构成的知识综合体，是解决一类数学问题所特有的认知方式，具有较强的针对性，因此能极大地提升解决问题的有效性.

      与“题型加技巧”的教学比较，以建立“问题图式”为目标的教学并不关注“一招一式”的解题方法，它关注相关知识的联系性，强调数学思想方法的纽带作用，从而能帮助学生在头脑中形成相关的知识组块；重视成功解题经验的总结与概括，并强调将经验抽象成为一定的解题策略，从而增强经验的可迁移性；强调在新问题情境下激活问题图式蕴含的策略、方法和程序，并用以指导整个解题活动的训练.因此，建立“问题图式”对于学生掌握知识和培养能力都具有较高的价值.

      如何让学生有效建立“问题图式”？笔者以此为课题，在自己的教学中进行了较长时间的探索与实践.本文以苏科版数学八年级（上册）第二章《轴对称图形》“数学活动——折纸”教学内容为例，介绍在折纸的问题情境中，帮助学生建立相应的问题图式解决问题的做法，敬请同行批评指正.

      一、教材解读

      教材中安排“折纸”这一数学活动，意在使学生在理解轴对称图形的性质的基础上，通过纸片实物折叠，感知轴对称现象的基本特征，尝试用“观察发现——实践验证——建构图式——拓展应用”的方式，动手实践、亲身体验、主动探索，将合情推理与演绎推理有机结合，在数学实验操作中认识“轴对称变换”的本质，培养学生读图、认图、释图能力，领悟类比、建模的研究方法.

      二、实践过程

      1.问题图式的形成

      首先，把一道典型题及解法作为图式，以此为根，从基本的问题着手讨论和研究，形成合理的知识组块和问题图式.这里，归纳提炼形成问题图式的过程属发现性思维，注重数学规律的揭示、解题策略的优化、合情推理与演绎推理的融合，目的是利用图式启智，引导学生探索和发现解决纸片折叠问题所选用的方法.

      问题 如图1，∠C=90°，将一个直角三角形纸片沿DE折叠，使点B落在点A处，（1）找出相关线段的数量关系.（2）若AC=6cm，BC=8cm，求CD长？（3）若将直角三角形纸片沿AD折叠，使点C落在点E处，你能提出相关问题吗？

      

      问题图式表征 在探究过程中，寻找相关折叠重合边之间的数量关系，归纳形成问题图式，其思维导图见下页图2.

      效能分析 经历折纸实验活动，直角三角形纸片沿DE折叠，形成以DE所在直线为对称轴的等腰△DAB，再把相关线段数量关系集中到Rt△CAD中，利用勾股定理求解.由翻折纸片——轴对称变换——等腰三角形——直角三角形形成问题图式.帮助学生通过轴对称变换提炼出识别Rt△DAE与Rt△DBE全等及Rt△CAD中运用勾股定理建立方程求解等数学方法，引导学生认识轴对称变换与平移变换的区别与联系，以典型数学问题为“根”，抽象概括数学模型，构建问题图式.

      

      2.激活问题图式，积累数学经验

      前已指出，问题图式是与问题解决有关的知识组块，是已有问题解决成功样例的概括和抽象.它可被当前问题情境的某些线索激活，进而预测或猜测某些未知觉到的线索，有助于问题表征的形成.这里，从典型问题出发，通过变式进行纵向拓展，逐渐演化成代表一类问题的概括性内部表征，是形成灵活应用问题图式解决问题能力的有效途径.

      变式1 如图3，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边DC的F处，若AD=8cm，AB=10cm，求EC的长.

      

      解析 在Rt△EFC中，FC=4cm，EF=8-CE，根据

，求出CE=3cm.

      变式2 如图4，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点E处，AE交CD于点F处，AD=8cm，AB=10cm，求（1）AF的长.（2）求折叠后重叠部分的面积.

      

      解析 在Rt△ADF中，解出

      AF=8.2cm，AF=FC，

      

      变式3 如图5，折叠矩形纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF，AB=10cm，AD=8cm，若点P为EF中点，求出DP的长，类比上述研究，请设计问题，展开探究，你还能求出哪些结论.

      

      解析 连接BP，在Rt△ABD中，

      

，DE=DF，EP=FP，

      有DP⊥EF于P，△DEP≌△BEP，

      ∠DPE=∠BPE=90°，

      D、P、B三点共线，

      问题图式表征 （1）折痕位置发生了变化，如何探究几何图形中不变的规律？（2）尝试归纳解决纸片折叠问题的基本思路、常用方法？（3）如何观察三角形、特殊四边形的几何特征，联想几何基本图形构建问题图式？

      效能分析 数学实验容易入手，并能逐步把学生的思维引向深入.放手让学生实验、思考，经历因折痕AE、AC、EF位置变化而引起的三种几何模型变化的探究过程，由浅入深，由问题图式引导学生探索构造图形的要素及其结构.问题图式中，不变的要素及其结构就是轴对称图形的特征和直角三角形三边的数量关系，由相关边的数量关系而建立方程解决问题，这就使问题图式在变式情境中得到进一步的拓展，升华为解决这类折叠问题的通性通法，学生也在这一过程中进一步理解了问题图式的结构特征.

      变式4 动手操作：如图6，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ.当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A'在边BC上移动的最大距离为多少？

      解析 如图6，点Q与点D重合时，在Rt△A'CD中，AD=4cm，A'B=1cm.如图7，点P与点B重合时，最大距离为A'B=3cm，所以点A'在边BC上移动的最大距离为2cm.

      

      问题图式表征 （1）如何理解折纸中“移动的最大距离”，将动态问题转化为折纸的特殊情形？（2）通过折叠纸片折痕变化问题研究，能总结出哪些解题经验？（3）如何灵活应用问题图式进行类比学习？

      效能分析 问题图式具有高度概括性，它可以与一类问题匹配，而不是与单个问题对应.问题图式一旦激活，即可自动通达并执行相应的解题程序，使解题过程步骤简约、快捷.变式拓展旨在引导学生探究“位置变化与数量变化”的内在规律，问题图式把同类问题像“链条”一样串联起来，会一题、通一片.这里，通过探求点Q与点D重合、点P与点B重合的特殊位置，从特殊中寻求一般规律，在运动状态中分别构建Rt△A'BP和正方形AQA'B，从而获得问题的正确表征，在变化的问题情境中发现不变的问题图式，这是在更深层次上探索数学现象的联系与规律.这一层次上的变式关注的是问题图式的“方法性”、“思想性”，意在实现问题图式引领思维训练的教学目标.

      3.内化问题图式，感悟知识的本质

      问题图式的真正内化，是在解决那些与原有问题有实质性变化的新问题中实现的.在此过程中，训练由“量变”到“质变”，学生对问题图式也由“知”发展到“识”.

      拓展1 如图8，折叠直角三角形纸片，使点A与点D重合，∠C为直角，AC=BC，AB=4cm，折痕为EF，D为BC中点，求△DEF的面积？

      解析 如图9，过F作FG⊥AB于G，

      过D作DH⊥AB于H，

      设AF=x cm，AE=y cm，

      

      问题图式表征 （1）从探求折痕等相关线段长度到求解三角形面积，基于直觉和几何基本图形，如何构造问题图式解决问题？（2）说出解决这类折叠问题的通用方法？在解决各个问题过程中有什么区别和联系？（3）试从问题图式角度诠释此问题的本质构造.（4）在解决此类问题中，发现图式结构有哪些优势和不足？发现了什么新问题？有其他的方法吗？

      效能分析 从求解三角形面积角度探究直角三角形纸片折叠问题，沿用问题图式思路首先在Rt△CFD中求出线段FD长度，通过添作辅助线DH、FG，通过深层图式问题的目标引导，巧妙转化为等腰Rt△DHB和等腰Rt△AFG，求解线段ED、DH的长度是化解认知难点，再次构建问题图式的突破口，引导学生自觉分析，自发领悟问题图式的内涵，二次构建问题图式，用已有的知识、方法聚焦Rt△DEH，求出线段DE长度，由图形对称变换模式梳理出高级表征关系，提炼解题方法的内在本质，达到以不变应万变的境界.

      拓展2 如图10，矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G.如图11，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求折痕EM的长度.

      

      解析 Rt△EMD中，

，得到EN//DC，配合第一次折叠中DN平分∠EDC，等腰△DEN，得EN=ED.

      根据题目条件，易得MN=3cm.

      设EM=x cm，

      则ED=EN=（x+3）cm.

      在Rt△EMD中，得

，

      解之，所以

      问题图式表征 （1）解决纸片二次折叠问题的方法发生了变化吗？（2）将条件中的数量与比值一般化后，会有怎样的结论？（3）回顾反思问题中的图形与基本的“问题图式”比较，是“形似”，还是“神似”，说出你的理由？

      效能分析 问题中的“再折叠一次”又是先确定了一组对应点后进行的折叠，所得到的EN是AD的垂直平分线是解决这个问题的难点，两个点重合而进行的折叠或在折叠完成后某个点的对应点恰好出现在特殊位置，可以将对应点连接起来，运用对称轴和对应点连线得到EN⊥AD，AE=DE=EN，AN=DN=BN的位置和数量关系构建几何模型，迁移方法，对复杂的几何图形进行分解，从中找出基本图形，挖掘知识点之间的有效联系，通过构建问题图式把纸片二次折叠衍生的与之相关的更有价值的内容揭示出来，突出了对问题本质的认识，体现了问题图式良好的教学导向.

      三、实践后的反思

      本例中的问题图式教学设计，设置了纸片折痕问题的递进式探究，通过一图演绎，多题归一等题组学习，帮助学生理解问题图式，懂其原理，知其方法，通其变化；通过变式拓展，完善对一类折纸问题的概括性内部表征，从而实现图式的内化，使学生能在本质性变化的问题情境中应用问题图式解决新问题.

      笔者在教学实践中深切感受到，在问题解决中，问题图式不仅影响着学生对问题的感知和理解，还影响着问题解决策略、方法的获得与使用，相关问题图式的激活、内化能帮助学生迅速理解问题本质，获得解决问题的有效方法.因此，为了改变当前数学解题教学中普遍存在的机械重复、注重技巧而忽视本质的现状，我们必须加强问题图式教学.

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