“算术平方根”的教学设计及其对数学概念教学的启示，本文主要内容关键词为：平方根论文,对数论文,算术论文,教学设计论文,启示论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、“算术平方根”的教学实践
1.情境导入，初步感知
上课开始，教师提出问题.
问题1：小明的妈妈有两块面积为1平方米的正方形布料（如图1（1）），现准备把它拼成一个面积为2平方米的大正方形，她想，如果按如图1（2）所示拼接，面积虽然为2平方米，但不是正方形.小明的妈妈很困惑，你能帮助小明的妈妈解决这个困惑吗？
由于问题的背景为学生所熟知，因此它激活了学生已有的知识经验，激发了学生的好奇心和求知欲，学生自觉地尝试着自己去想办法帮助小明的妈妈解开这个困惑.
学生先独立操作（学生用剪刀剪正方形纸片并进行拼凑，剪刀和正方形纸片教师课前已让学生准备），接着是小组交流和班级交流.
有的同学是这样操作的（如图2）.
也有的同学是这样操作的（如图3）.
还有的同学是这样操作的（如图4）.
在交流的基础上，最后师生归纳：利用正方形的性质，如轴对称性和中心对称性（小学学过）等是分割正方形的常用策略.
学生解决了问题1，教师趁热打铁，继续提出问题.
问题2：小明的妈妈很想知道面积为2平方米的正方形的边长为多少？你能帮她算一算吗？
这样，学生的不同想法就出来了.
师：同学们能够提出这些高水平的问题是自己深入思考的结果，对提出的问题穷追不舍、追根究底、不断追问是勇于探索、勤于思考、不迷信、不盲从的表现.
（受到教师的鼓励、表扬，部分同学脸上露出了笑容.）
师：事实上，从上面的实际问题中我们看到，正方形边长x在我们日常生活中确实是存在的，而且它是正数，即x＞0，但到底是怎样的数？我们现在还不知道，如果是我们学过的有理数，那它应该是多少？如果这个数我们没有学过，那么我们又应该怎样去研究它呢？
（学生鸦雀无声，静静地思考.）
2.形成概念，类比理解
师：好，就照你们的办.为此，我们从特殊的情形，即特殊的正方形面积和边长入手思考，请同学们填写表1和表2.
（学生很快填好表格，接着教师继续启发学生.）
师：表1与表2中的两种运算有什么关系？
师：怎样用数学语言准确地定义？我们来翻开教材阅读算术平方根的严格定义.
（教师板书算术平方根的定义，即如果一个正数x的平方等于a，即
，那么这个正数x叫做a的算术平方根，规定：0的算术平方根是0.）
师：一般地，乘方的逆运算我们称之为“开方运算”.今天我们学习的算术平方根是一种特殊的开方运算.
3.初步应用，辨析概念
概念定义是从具体到抽象的升华与凝聚，是概念学习的高级阶段，现代认知心理学的数学概念学习理论告诉我们：概念只有在运用中才能得到真正的理解.而概念的运用有多级水平，先是具体辨别水平的运用，再转到思维水平上的运用.
例1 判断下列说法是否正确.如正确，则说明理由；如不正确，则举出反例.
（1）5是25的算术平方根；
（2）任何数都有一个算术平方根；
（3）0的算术平方根是0；
（4）0.01是0.1的算术平方根；
（5）一个正方形的边长是这个正方形的面积的算术平方根；
（6）-25的算术平方根是-5.
例2 求出下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）
；（3）0.0001.
学生完成例1、例2后，教师及时引导学生反思，在不同学生反思的基础上，最后师生共同归纳得到：任何正数都有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
4.引入符号，渗透历史
接着，教师继续启发学生.
师：给出了算术平方根的定义后，根据以往的经验，接下去你打算研究什么？
例3 填空：
例4 下列各式是否有意义，为什么？
5.估算感知，拓展网络
师：很好，下面请同学们利用计算器，按生13提供的方法进行尝试.
师：你能举一个小数位数无限而且不循环的数吗？
数学概念教学的最终目标应当是通过运用形成以概念为中心的网络，进而将此网络凝聚为一点，各点相互联系，形成概念体系.这里把无理数纳入实数范围，形成实数体系.接着结合教材第180页“阅读与思考”，向学生介绍由于
是无理数，引发数学史上的第一次危机：历史上首先发现无理数的是毕达哥拉斯学派中最杰出的数学家希帕索斯，约在公元前5世纪，他发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即不是有理数.他的发现对于所有古希腊人的理念：“崇尚万物皆数，信奉宇宙间的一切现象都能归结为整数与整数之比的信条”是一个极大的冲击，在当时直接导致了人们认识上的危机，这是历史上的“第一次数学危机”.希帕索斯本人也因泄密而作为“叛逆”被他的同伴处死.以此向学生渗透数学家为追求真理而不懈努力甚至献出生命的价值取向.
二、“算术平方根”的教学设计对数学概念教学的启示
1.数学概念形成过程的教学应是自然、水到渠成的知识发生发展过程的教学
数学新课程中的数学内容是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展是自然的，所以数学课堂的学习与教学要充分体现数学的自然性，使数学课堂教学的过程成为自然的数学教学的过程.所谓自然的、水到渠成的数学概念的形成过程，是一种数学概念知识发生发展的原过程与学生数学认知过程的融合.只有自然的，才是最好的.
美国数学教育家杜宾斯基认为：“学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达成理解.”而这一建构过程涉及操作阶段（包括外在的活动操作与内在的智力操作，如动手操作、归纳、演绎、讨论等）、过程阶段（对操作的活动进行反省内化，抽象出概念所特有的性质）、对象阶段（通过全面的抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精确化，成为具体的一个对象.在以后的学习中，以此为对象去进行新的活动）、图式阶段（数学概念的图式是由相应的活动、过程、对象，以及与某些一般原理相联系的其他图式所形成的一种存在于个体头脑中的认知框架）.
回到本课例“算术平方根”的教学设计，教师创设问题1的生活情境让学生操作，学生在操作中体验，从而得到数学模型
，此时学生虽然不知道如何去求中的x，但已感受到算术平方根概念产生的直观背景，理解了数学知识与现实生活之间的联系，为真正理解算术平方根概念积累了活动经验.这是因为问题1的生活情境是算术平方根概念产生的“源头”，是学生身边的数学，它引起了学生的学习兴趣，引发了学生的认知冲突，学生自觉地去尝试解决问题.接着，教师很自然地带领学生围绕着中的x是什么？用启发性、探索性的语言，顺着学生的思维让学生独立思考来驱动学生对操作活动阶段进行反思、抽象，使学生形成了丰富的算术平方根概念的表象，从而水到渠成地得出算术平方根的定义，帮助学生实现从“过程阶段”上升到“对象阶段”.最后，教师通过设计正反例的变式训练，通过对的探究，得出无理数的概念，将有理数集扩充到实数集，促进了算术平方根概念图式的形成.这样的教学，从提出问题到顺着学生的思维自然地分析和解决问题，将学生的认知过程与算术平方根概念发生发展的原过程自然地融合，体现了数学概念教学的自然性.相反，如果在数学概念教学中，“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，或者只是让学生接受、记忆、模仿和练习，那么这样的数学概念教学就不自然，对人的素质培养不利.因此，数学概念教学应该把握本质，顺其自然，追求自然，让学生的数学素养在数学概念教学中自然地养成.
2.数学概念教学应“有意识”地落实数学思想方法、思维方法及研究方法
数学概念是数学思维的细胞，是学生学习数学知识的基础，也是数学思维的起点，在数学教学中具有重要的地位.概念形成过程所蕴含的数学思想方法、思维方法、数学研究方法更是数学学习的精髓所在.从教育的角度来看，数学的思想方法、思维方法及研究方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，数学的思想方法、思维方法及研究方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益一时，数学的思想方法、思维方法及研究方法将使学生受益终生.因此，在数学概念教学过程中必须“有意识”地加以落实.所谓“有意识”，就是对数学概念教学的过程进行精心设计，将凝结在数学概念中的数学家的观察、试验、归纳、概括、逻辑推理与证明等思维活动打开，并设计一定的载体（如，教学情境、教师讲解、学生探究和反思、变式训练等），用以展开这些数学思维活动，从而使数学的思想方法、思维方法及研究方法得以渗透和提炼.在落实中，教师要重在引导学生主动地用眼看、用脑想、用手做，努力提供机会让学生在他们自己的水平上感悟.
例如，在“算术平方根概念”的教学中，让学生在“操作”的基础上反省抽象.在这个过程中，教师提出问题：怎样分割正方形或分割正方形的规律是什么？让学生讨论、归纳得出结论，给学生留下了很深的印象.同时，观察、分析和综合、归纳和演绎等数学思维方法得到了很好的培养.又如，当学生对中如何求x的问题产生了困惑，这涉及如何用化归方法进行数学研究的常用套路，这时，教师不是直接地给出、点出，而是有意识地启发学生讨论问题：怎样去研究？怎样想到这样去研究？这样强化了数学方法论在数学概念教学中的应用.通过“操作”，丰富算术平方根概念的表象.引导学生归纳用字母a和x来表达算术平方根的定义，实际上也是使学生经历由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想方法的过程.用生活情境引入新概念，用表格情境引导新意义探索，符合一般科学研究的方法.
探究有多大，需要用“夹逼”的方法去试验估算，这里教师“有意识地”让学生说出自己的思考方法，并让学生自己去体验计算，虽然没有提炼出“夹逼法”，实际上是“有意识地”渗透了“夹逼的方法”.
教好数学概念的前提是教师自己先学好数学概念，只有教师自己对数学概念背后所蕴含的数学思想方法、思维方法及研究方法有较好的理解，才能在数学概念的教学中自觉地转达给学生.相反，如果教师在数学概念的教学中只讲逻辑，不讲思想或者教师只把数学思想挂在嘴上，而没有“有意识”地进行落实，那么学生只掌握一套死板的知识，不能取得有效的教学效果.
3.在数学概念教学中融入数学的人文精神
数学概念的定义、名称、符号表示及应用，表明它只揭示现实世界中抽象的一面，没有揭示现实世界中丰富多彩的那一面.著名科学家钱学森曾说过：“科学和人文是一个硬币的两面.”数学教育只有在传授知识、培养能力的同时注重人文精神的渗透，才是健全的、完整的教育，才能成为真正意义上的数学教育.所谓人文精神，是一种以人道、人生、人性、人格为本位的知识意向、价值意向.人文精神的实质一般指的是以人为本，强调要尊重人，充分肯定人的价值，重视文化教育，优化人性，提高人的素质和精神境界，树立高尚的人格理想和道德追求，使人得到全面的发展.数学概念教学不仅是知识的传授、能力的培养，更应是一种人文精神的传播.在数学概念教学中关注人文价值，使得对学生的科学精神和人文精神的培养能和谐地统一起来，培养学生形成一种良好的人生观，引导他们更好地洞察人生、完善心智、净化灵魂、理解人生的意义与目的、找到正确的生活方式.
在“算术平方根概念”的教学中，教师先提出问题1、问题2，让学生从已有的知识经验出发，通过动手操作、自主探索与合作交流的方式进行学习，学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型进行解释与探索的过程.在这个过程中，学生充分展示出自己的思考方法和探究过程，既反映了学生善于独立思索、善于分析问题解决问题、善于追求独特新颖的思考方式的思维品质，也无声地向学生转达了在处事时不盲从、有条理、善思辨，在错综复杂的问题面前不被表面现象所迷惑，而能够透过现象洞察事物的本质，揭示事物相互之间的关系等人文价值.
从上述“算术平方根”教学设计的过程中我们看到，在算术平方根概念学习过程中还贯穿着另一条线索，就是无理数从无到有的产生过程，进而是数集的扩充过程.在这个过程中，由于教师渗透了数学史（数学史上的第一次数学危机）知识，这对学生人文底蕴的加深会起到一定的助益，对真理的热爱与追求，求真、求实、客观的精神；对新事物的好奇、探索与独立思考，合理怀疑、批判、创新的精神；实事求是、顽强执著、锲而不舍的精神；勤奋、自强，不懈努力，为科学献身，为真理而奋斗的精神，都会对学生产生一定程度的影响.另外，伴随着无理数的产生、数集的扩充过程，学生还受到了“有限”与“无限”的辩证思维的训练.
用符号来表示非负数的算术平方根是教学中的难点，学生往往感到符号表示的突然性，为突破难点，笔者不是得到算术平方根的定义后直接给出符号表示，而是让学生通过例1和例2的练习和反思后，在学生的心理需要上再给出算术平方根的符号表示，接着简要介绍符号“
”的发展小史，这种自然的教学处理，既融入符号表示的数学简单美，又融入数学的发展史，挖掘数学中蕴含的审美教育素材，引导学生去发现美、创造美、感受美，唤醒学生对美的欣赏和追求.这样，数学概念学习就不再枯燥而变得主动、有趣.
最后，值得指出的是，要教好数学概念，要把概念的定义、名称、符号等学术形态的知识转化为教育形态的知识.一是靠教师对数学的理解；二是借助于人文精神的融合.只有这样，数学的概念教学才能散发出巨大的魅力，体现数学的价值，揭示数学的本质，感染学生，激励学生.